Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Browniebeispiel für lineare Abbildungen

1. Die skalare Multiplikation eines Brownies

Stellen wir uns vor, dass unsere Oma Geburtstag hat und wir ihr deswegen einen Kuchen backen möchten. Wir entscheiden uns für einen Brownie. Als gewissenhafte Wissenschaftlerin oder gewissenhafter Wissenschaftler testen wir den Brownie natürlich im Vorhinein. Dabei stellen wir fest, dass er noch leckerer als ursprünglich erwartet schmeckt. Die einzig logische Schlussfolgerung ist für uns: wir backen gleich die dreifache Menge.

[Bild: Schritt 1, die skalare Multiplikation von einem auf 3 Brownies]

Dass die lineare Abbildung die Struktur erhält, bedeutet in unserem Fall, dass die lineare Abbildung für das 1-fache Rezept die gleiche Struktur hat wie das 3-fache Rezept. Der Kuchen wird nicht plötzlich zu einem Kirschkuchen, es bleibt ein Brownie. Allgemeiner ausgedrückt wurde unser Teig erfolgreich durch skalare Multiplikation linear abgebildet.

2. Die Addition der Brownies

Wenn uns dann allerdings die Nachricht erreicht, dass unsere Tante Erna kommt, müssen wir umdenken. Sie isst grundsätzlich keine Kuchen ohne Alkohol und wird unseren für gut befundenen Brownie überhaupt gar nicht mögen. Nur für sie backen wir also einen Rum-Brownie, der leicht anders zubereitet wird und andere Zutaten verwendet.

Wir geben unserem Programm also den Input "3 Brownies, 1 Brownie mit Rumgeschmack". Unser Zutatenlistengenerator errechnet dann eine gemeinsame Zutatenliste, sodass wir nur mit einer Liste einkaufen gehen müssen. ...

Die strukturerhaltende Eigenschaft bedeutet, dass der Teig bei einer linearen Abbildung seine grundlegende Zusammensetzung nicht verändert. Es ist bei unserer Backstunde unerheblich, in welcher Reihenfolge wir arbeiten:

1. Gemeinsame Einkaufsliste: Wir können mit einer gemeinsamen Einkaufsliste einkaufen gehen und beide Brownies damit zubereiten.
2. Einzelne Zutatenlisten: Wenn wir ohne unser Programm arbeiten müssten und mit zwei seperaten Listen einkaufen gehen würden, würden wir trotzdem mit den gleichen Zutaten vom Einkaufen zurückkommen.

Wenn wir uns wundern, dass lineare Abbildungen sehr simpel seien, haben wir da sehr recht. Denn: sobald es nicht mehr so einfach wie das Brownie-Beispiel ist, ist es im Allgemeinen keine lineare Abbildung mehr.

Nicht alle Abbildungen haben allerdings die strukturerhaltende Eigenschaft der linearen Abbildungen. Stellen wir uns vor, dass wir die Zutaten in einem Paralleluniversum quadrieren müssen, um die doppelte Menge zu backen. Dann könnten wir z.B. den 1-fach skalierten Brownie-Teig nicht zum 3-fach skalierten Brownie-Teig hinzufügen, ohne einen wirklich unleckeren Brownie zu erhalten. Es wäre strukturell nicht mehr der gleiche Brownie.

Mit dem Wissen, dass der Brownie ein Beispiel für eine lineare Abbildung ist, könnten wir unserer Oma an ihrem Geburtstag mit folgender Erklärung beeindrucken: Wir haben den Kuchen mit einem Zutatenlistengenerator linear abgebildet, um einkaufen zu gehen. Wir wollten eine gemeinsame Einkaufsliste erschaffen, um für die skalare Multiplikation der 3 Brownies und Tante Ernas Extra-Brownie mit Rum-Geschmack nicht vier verschiedene Listen zu besitzen. Die gemeinsame Einkaufsliste ist unsere lineare Abbildung. Vom Ur-Bild der "3 Brownies, 1 Brownie mit Rum-Geschmack" sind wir zum Bild, der Zutatenliste, gelangt. Die Liste spannt einen Vektorraum $\mathbb {R} ^{6}$ auf, da wir 6 verschiedene Zutaten haben.

Die Struktur des Vektorraums bleibt bei der Transformation erhalten, so haben beide Vektorräume 9-dimensionale Vektoren als Basisvektoren:

Ei-Vektor, Mehl, Butter

Wir werden uns im Folgenden genau mit dieser Art Abbildungen beschäftigen: Lineare Abbildungen können durch Addition oder skalare Multiplikation, in unserem Fall Verdreifachung, erstellt werden. Sie erlauben uns mit dem Ur-Bild so zu arbeiten wie mit dem anschließend erzeugten Bild.