Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Beispiele für Ringe

Ring der linearen Abbildungen in zwei VariablenBearbeiten

 -Lineare Abbildungen von   nach   sind Abbildungen der Form

 

mit Konstanten  . Abbildungen dieser Form treten in vielen verschiedenen Kontexten auf. Hier ein sehr einfaches Beispiel: Die Abbildung   spiegelt den Vektor   an der  -Achse. Auch Stauchungen, Streckungen und Drehungen sind lineare Abbildungen von   nach   und jede lineare Abbildung aus   kann als Hintereinanderausführung von Stauchungen bzw. Streckungen und Drehungen dargestellt werden.

Sei   die Menge der  -linearen Abbildungen von   nach  . Im Folgenden werden wir aus Bequemlichkeit nur noch linear schreiben, aber  -linear meinen. Man kann zwei lineare Abbildungen   zu einer neuen Abbildung   aufaddieren, die einem Tupel   die Summe seiner beiden Bilder zuordnet. Die Bilder   und   werden dabei wie bei der Vektoraddition komponentenweise addiert.

To-Do:

Bild zu Abbildung s einfügen die Menge M umbenennen, sodass sie die Bezeichnung, die später für die Menge der reellen 2x2-Matrizen verwendet wird, erhält. Z.B.   oder   Anschauung für lineare Abbildungen

Außerdem kann man lineare Abbildungen von   nach   miteinander verketten. Man erhält so eine Abbildung  , die ein Tupel   auf   abbildet.

Die Menge der linearen Abbildungen von   nach   bildet unter diesen beiden Verknüpfungen einen Ring. Dies werden wir im Folgenden zeigen.

  1. Unter der Addition bildet   eine abelsche Gruppe
    • Abgeschlossenheit: Seien
        zwei beliebige lineare Abbildungen mit   und  
      . Dann ist
       
      für alle  , und somit selbst wieder eine lineare Abbildung von   nach  . Somit ist   ist abgeschlossen unter der Addition  .
    • Assoziativität: Seien   drei bliebige lineare Abbildungen. Aufgrund der Abgeschlossenheit von   unter   sind   und   lineare Abbildungen von   nach  . Die Funktionswerte an einem beliebigen Punkt   sind gegeben durch
        und  
      Da die einzelnen Summanden   reelle Zahlen sind, folgt mit der Assoziativität der Addition reeller Zahlen, dass
       
      und
       
      , und daher gilt
       
      für alle Punkte  . Folglich gilt für beliebige Abbildungen  , dass
       
      , die Addition   ist also assoziativ.
    • Kommutativität: Die Addition ist zudem kommutativ, dies folgt ebenfalls aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen. Denn für beliebige Abbildungen   gilt, dass  , und der Funktionswert an einem Punkt   ist gegeben durch
       

      Es gilt demnach   für alle linearen Abbildungen  , also ist die Verknüpfung   kommutativ.

    • Neutrales Element: Die Nullabbildung   ist das neutrale Element bezüglich der Addition.
    • Inverse Zu jeder Abbildung   ist die Abbildung
       
      ebenfalls linear und das zu f additiv-inverse Element.

      bildet demnach eine abelsche Gruppe.

  2. Auch die Verkettung   erfüllt die Anforderungen, die in der Definition des Rings an die multiplikative Verknüpfung gestellt werden:
    • Abgeschlossenheit: Seien   zwei beliebige lineare Abbildungen mit   und  . Es gilt   mit  \Distributivität, Kommutativität = . Da  , ist auch   eine lineare Abbildung von   nach  .   ist also abgeschlossen unter der Verkettung  .
    • Assoziativität: Aufgrund der Abgeschlossenheit von   unter der Verkettung   ist die Übereinstimmung der Funktionswerte zweier Abbildungen in allen Punkten   eine notwendige und zugleich hinreichende Bedingung für deren Gleichheit. Seien   beliebige lineare Abbildungen. Der Funktionswert ihrer Verkettungen im Punkt
        ist gegeben durch  
      Und
       
      . Folglich gilt  , für alle linearen Abbildungen  . Das heißt   verhält sich assoziativ.
    • Neutrales Element: Die Abbildung   ist linear, und für alle Abbildungen   gilt
       
      und
       
      . Folglich ist   das neutrale Element bezüglich  .
  3. Distributivität: Für lineare Abbildungen   gilt stets für alle  , dass  .(**) Wobei   die komponentenweise Vektoraddition bezeichnet. In unserem Spezialfall mit   sieht man das so:   eine beliebige lineare Abbildung mit  . Seien   und   beliebig. Es gilt
     

    Seien nun   beliebig.   und   sind lineare Abbildungen von   nach  , denn   ist bgeschlossen unter   und  .

    Der Funktionswert von   im Punkt   berechnet sich durch
     
    . Da   in   liegen folgt mit (**), dass
     
    . Es gilt daher  . Ebenso kann man zeigen, dass für alle linearen Abbildungen   gilt, dass
     
    .

    Hieraus folgt dann die Distrbutivität von   und   über  .

Wir haben somit gezeigt, dass die linearen Abbildungen unter den Operationen   und   einen Ring bilden. Dieser Ring ist NICHT kommutativ, da die Verkettung   nicht kommutativ ist, ebenso wie die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Zum Beispiel gilt für die Abbildungen   mit   und  , dass   aber   und somit  

Ring der reellen PolynomeBearbeiten

Ein reelles Polynom ist eine endliche Summe von reellen Vielfachen von Potenzen einer Variablen. Man kann reelle Polynome wie folgt schreiben:   mit Koeffizienten  .

Auf der Menge   der reellen Polynome kann man eine Addition und eine Multiplikation definieren. Diese beiden Operaionen verknüpfen ganze Polynome miteinander. Wir setzen

 


Wobei für   bzw.   die Konvention   bzw.   getroffen wird.

Zum Beispiel gilt   und  

Wir werden im Folgenden zeigen, dass die Menge der reellen Polynome   unter den Verknüpfungen   und   einen kommutativen Ring bildet.

Aufgabe ( als abelsche Gruppe)

Zeige, dass   unter der Verknüpfung   eine abelsche Gruppe bildet! Falls Du dabei Unterstützung brauchst, findest Du hier eine Anleitung, wie man zeigt, dass etwas eine Gruppe bildet. Vielleicht ist auch das Beispiel der reellen Funktionen aus der Einleitung zu diesem Artikel hilfreich für Dich.

Lösung ( als abelsche Gruppe)

  • Abgeschlossenheit: Die Summe zweier reeller Polynome ergibt stets wieder ein reelles Polynom. Denn für Polynome   und   gilt   mit  . Folglich ist   abgeschlossen unter der Addition  .
  • Assoziativität: Für beliebige reelle Polynome   und   gilt
     
    Wegen der Assoziativität der Addition reeller Zahlen gilt für alle  , dass  . Daraus folgt, dass
     
    gilt.

    Das heißt, die Addition   ist assoziativ.

  • Kommutativität: Die Kommutativität der Addition   folgt ebenfalls aus der Kommutativität der Addition reller Zahlen.
  • Neutrales Element: Das Nullpolynom   mit   ist das neutrale Element bezüglich der Addition.
  • Inverse: Für alle reellen Polynome   ist   wieder ein reelles Polynom, und es gilt
     
    .

    Das heißt, für alle Polynome   existieren additiv-inverse Polynome  .

Wir haben somit gezeigt, dass die Menge der Polynome unter der Verknüpfung   eine abelsche Gruppe bildet.

Nun werden wir noch zeigen, dass auch die Multiplikation   die Eigenschaften aus der Definition des Rings erfüllt.

  • Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier reeller Polynome   und   ergibt das reelle Polynom   mit  . Die Menge der Polynome   ist also abgeschlossen unter der Multiplikation.
  • Assoziativität: Nun zeigen wir, dass die Verknüpfung   assoziativ ist. Vorüberlegung: Zwei Polynome   und   sind gleich, falls für alle   gilt  . Man kann zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn für alle reellen Zahlen   gilt:  . Seien   beliebige reelle Polynome. Dann gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation reeller Zahlen für alle reellen Zahlen  , dass . Denn   und   sind reelle Zahlen. Folglich muss auch gelten  , das heißt   ist assoziativ. Im Folgenden werden wir die Assoziativität explizit zeigen. Seien   und   beliebige reelle Polynome. Dann gilt
     

    Die Multiplikation   ist also assoziativ.

  • Kommutativität: Die Multiplikation ist sogar kommutativ, denn für beliebige relle Polynome   gilt
     
  • Das  -Polynom   mit   ist ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, denn für ein beliebiges Polynom   gilt   Aufgrund der Kommutativität von   gilt zudem  .
  • Distributivität: Verbleibt nur noch zu zeigen, dass   und   sich distributiv verhalten. Seien   und   beliebige relle Polynome. Es gilt
     
    Mit der Kommutativität der Multiplikation   folgt, dass für beliebige reelle Polynome   ebenfalls gilt, dass
     
    . Wir haben somit gezeigt, dass   und   sich distributiv verhalten.

Es folgt, dass die Menge der reellen Polynome   unter den Verknüpfungen   einen kommutativen Ring bildet.