Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Beispiele für Ringe

Ring der linearen Abbildungen in zwei Variablen

$\mathbb {R}$-Lineare Abbildungen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ sind Abbildungen der Form

${\begin{aligned}&f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\\&{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}(x)\\f_{2}(x)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

mit Konstanten $a,b,c,d\in \mathbb {R}$. Abbildungen dieser Form treten in vielen verschiedenen Kontexten auf. Hier ein sehr einfaches Beispiel: Die Abbildung $s:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\-y\end{pmatrix}}$ spiegelt den Vektor ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ an der $x$-Achse. Auch Stauchungen, Streckungen und Drehungen sind lineare Abbildungen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ und jede lineare Abbildung aus $M$ kann als Hintereinanderausführung von Stauchungen bzw. Streckungen und Drehungen dargestellt werden.

Sei $M$ die Menge der $\mathbb {R}$-linearen Abbildungen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$. Im Folgenden werden wir aus Bequemlichkeit nur noch linear schreiben, aber $\mathbb {R}$-linear meinen. Man kann zwei lineare Abbildungen $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ zu einer neuen Abbildung $f\boxplus g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ aufaddieren, die einem Tupel ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ die Summe seiner beiden Bilder zuordnet. Die Bilder $f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})$ und $g({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})$ werden dabei wie bei der Vektoraddition komponentenweise addiert.

To-Do:

Bild zu Abbildung s einfügen die Menge M umbenennen, sodass sie die Bezeichnung, die später für die Menge der reellen 2x2-Matrizen verwendet wird, erhält. Z.B. $Mat_{2\times 2}(\mathbb {R} )$ oder $M_{2}(\mathbb {R} )$ Anschauung für lineare Abbildungen

Außerdem kann man lineare Abbildungen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ miteinander verketten. Man erhält so eine Abbildung $f\boxdot g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, die ein Tupel ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ auf $f(g({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})$ abbildet.

Die Menge der linearen Abbildungen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ bildet unter diesen beiden Verknüpfungen einen Ring. Dies werden wir im Folgenden zeigen.

1. Unter der Addition bildet $M$ eine abelsche Gruppe
   • Abgeschlossenheit: Seien
     $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ zwei beliebige lineare Abbildungen mit $f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$ und $g({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}px+ry\\qx+sy\end{pmatrix}}$
     . Dann ist
     $(f\boxplus g)({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}px+ry\\rx+sy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by+px+ry\\cx+dy+rx+sy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(a+p)x+(b+r)y\\(c+r)x+(d+s)y\end{pmatrix}}$
     für alle ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$, und somit selbst wieder eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$. Somit ist $M$ ist abgeschlossen unter der Addition $\boxplus$.
   • Assoziativität: Seien $f,g,h\in M$ drei bliebige lineare Abbildungen. Aufgrund der Abgeschlossenheit von $M$ unter $\boxplus$ sind $f\boxplus (g\boxplus h)$ und $(f\boxplus g)\boxplus h$ lineare Abbildungen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$. Die Funktionswerte an einem beliebigen Punkt $p={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ sind gegeben durch
     $\left(f\boxplus (g\boxplus h)\right)(p)={\begin{pmatrix}f_{1}(p)+(g_{1}(p)+h_{1}(p))\\f_{2}(p)+(g_{2}(p)+h_{2}(p))\end{pmatrix}}$ und $\left((f\boxplus g)\boxplus h\right)(p)={\begin{pmatrix}(f_{1}(p)+g_{1}(p))+h_{1}(p)\\(f_{2}(p)+g_{2}(p))+h_{2}(p)\end{pmatrix}}$
     Da die einzelnen Summanden $f_{1}(p),...,h_{2}(p)$ reelle Zahlen sind, folgt mit der Assoziativität der Addition reeller Zahlen, dass
     $(f_{1}(p)+(g_{1}(p)+h_{1}(p))=(f_{1}(p)+g_{1}(p))+h_{1}(p)$
     und
     $f_{2}(p)+(g_{2}(p)+h_{2}(p))=(f_{2}(p)+g_{2}(p))+h_{2}(p)$
     , und daher gilt
     $\left(f\boxplus (g\boxplus h)\right)(p)=\left((f\boxplus g)\boxplus h\right)(p)$
     für alle Punkte $p\in \mathbb {R} ^{2}$. Folglich gilt für beliebige Abbildungen $f,g,h\in M$, dass
     $f\boxplus (g\boxplus h)=(f\boxplus g)\boxplus h$
     , die Addition $\boxplus$ ist also assoziativ.
   • Kommutativität: Die Addition ist zudem kommutativ, dies folgt ebenfalls aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen. Denn für beliebige Abbildungen $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ gilt, dass $f\boxplus g,g\boxplus f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, und der Funktionswert an einem Punkt $p=(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ ist gegeben durch
     ${\begin{aligned}\left(f\boxplus g\right))(p)={\begin{pmatrix}f_{1}(p)+g_{1}(p)\\f_{2}(p)+g_{2}(p)\end{pmatrix}}&\\[0.3em]\ &{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität von }}+{\text{ in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}g_{1}(p)+f_{1}(p)\\g_{2}(p)+f_{2}(p)\end{pmatrix}}=g(\boxplus f)(p)\end{aligned}}$

     Es gilt demnach $f\boxplus g=g\boxplus f$ für alle linearen Abbildungen $f,g\in M$, also ist die Verknüpfung $\boxplus$ kommutativ.

   • Neutrales Element: Die Nullabbildung $f_{0}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ ist das neutrale Element bezüglich der Addition.
   • Inverse Zu jeder Abbildung $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ ist die Abbildung
     $-f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-f_{1}({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\\-f_{2}({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\end{pmatrix}}$
     ebenfalls linear und das zu f additiv-inverse Element.

   $(M,\boxplus )$ bildet demnach eine abelsche Gruppe.

2. Auch die Verkettung $\boxdot$ erfüllt die Anforderungen, die in der Definition des Rings an die multiplikative Verknüpfung gestellt werden:
   • Abgeschlossenheit: Seien $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ zwei beliebige lineare Abbildungen mit $f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$ und $g({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}px+ry\\qx+sy\end{pmatrix}}$. Es gilt $f\boxdot g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $(f\boxdot g){\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=f{\begin{pmatrix}px+qy\\rx+sy\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a(px+qy)+b(rx+sy)\\c(px+qy)+d(rx+sy)\end{pmatrix}}=$\Distributivität, Kommutativität =${\begin{pmatrix}(ap+br)x+(aq+bs)y\\(cp+dr)x+(cq+ds)y\end{pmatrix}}$. Da $(ap+qr),...,(cq+ds)\in \mathbb {R}$, ist auch $f\boxdot g$ eine lineare Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$. $M$ ist also abgeschlossen unter der Verkettung $\boxdot$.
   • Assoziativität: Aufgrund der Abgeschlossenheit von $M$ unter der Verkettung $\boxdot$ ist die Übereinstimmung der Funktionswerte zweier Abbildungen in allen Punkten $p={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ eine notwendige und zugleich hinreichende Bedingung für deren Gleichheit. Seien $f,g,h\in M$ beliebige lineare Abbildungen. Der Funktionswert ihrer Verkettungen im Punkt
     $p={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ ist gegeben durch $\left(f\boxdot (g\boxdot h)\right)({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=f(\left(g(h({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\right))=f\left(g(h({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\right)$
     Und
     $\left((f\boxdot g)\boxdot h\right)({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=f(g\left(h({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\right))=f(g(h({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})))=f\left(g(h({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\right)$
     . Folglich gilt $f\boxdot (g\boxdot h)=(f\boxdot g)\boxdot h$, für alle linearen Abbildungen $f,g,h\in M$. Das heißt $\boxdot$ verhält sich assoziativ.
   • Neutrales Element: Die Abbildung $id:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ ist linear, und für alle Abbildungen $f\in M$ gilt
     $(f\boxdot id)({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=f\left(id({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\right)=f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})$
     und
     $(id\boxdot f)({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})=id({\begin{pmatrix}f_{1}({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\\f_{2}({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\end{pmatrix}})=({\begin{pmatrix}f_{1}({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\\f_{2}({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})$
     . Folglich ist $id$ das neutrale Element bezüglich $\boxdot$.
3. Distributivität: Für lineare Abbildungen $f:D\to W$ gilt stets für alle $p,q\in D$, dass $f(p+q)=f(p)+f(q)$.(**) Wobei $+$ die komponentenweise Vektoraddition bezeichnet. In unserem Spezialfall mit $D=W=\mathbb {R} ^{2}$ sieht man das so: $Seif\in M$ eine beliebige lineare Abbildung mit $f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$. Seien $p={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ und $q={\begin{pmatrix}v\\w\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$ beliebig. Es gilt
   ${\begin{aligned}f(p+q)=f({\begin{pmatrix}x+v\\y+w\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}a(x+v)+b(y+w\\c(x+v)+d(y+w))\end{pmatrix}}\\\ &{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität un Distriutivität von }}+{\text{ und }}\cdot {\text{ in }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&={\begin{pmatrix}(ax+by)+(av+bw)\\(cx+dy)+(cv+dw)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}av+bw\\cv+dw\end{pmatrix}}=f(p)+f(q)\end{aligned}}$

   Seien nun $f,g,h\in M$ beliebig. $f\boxdot (g\boxplus h)$ und $f\boxdot g\boxplus f\boxdot h$ sind lineare Abbildungen von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$, denn $M$ ist bgeschlossen unter $\boxplus$ und $\boxdot$.

   Der Funktionswert von $f\boxdot (g\boxplus h)$ im Punkt $({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})\in \mathbb {R} ^{2}$ berechnet sich durch
   $f(g\boxplus h({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}))=f(g(p)+h(p))$
   . Da $g(p),h(p)$ in $\mathbb {R} ^{2}$ liegen folgt mit (**), dass
   $f\boxdot (g\boxplus h)(p)=f(g(p))+f(h(p))=f\boxdot g(p)\boxplus f\boxdot h(p)$
   . Es gilt daher $f\boxdot (g\boxplus h)=f\boxdot g\boxplus f\boxdot h$. Ebenso kann man zeigen, dass für alle linearen Abbildungen $f,g,h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ gilt, dass
   $(g\boxplus h)\boxdot f=g\boxdot f\boxplus h\boxdot f$
   .

   Hieraus folgt dann die Distrbutivität von $\boxplus$ und $\boxdot$ über $M$.

Wir haben somit gezeigt, dass die linearen Abbildungen unter den Operationen $\boxplus$ und $\boxdot$ einen Ring bilden. Dieser Ring ist NICHT kommutativ, da die Verkettung $\boxdot$ nicht kommutativ ist, ebenso wie die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Zum Beispiel gilt für die Abbildungen $f,g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ mit $f({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$ und $g({\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$, dass $(f\boxdot g)({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})=f({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}})=({\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}})$ aber $(g\boxdot f)({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})=g({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ und somit $f\boxdot g\neq g\boxdot f.$

Ring der reellen Polynome

Ein reelles Polynom ist eine endliche Summe von reellen Vielfachen von Potenzen einer Variablen. Man kann reelle Polynome wie folgt schreiben: $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}\cdot x^{i}$ mit Koeffizienten $a_{i}\in \mathbb {R} ,N\in \mathbb {N} _{0}$.

Auf der Menge $P$ der reellen Polynome kann man eine Addition und eine Multiplikation definieren. Diese beiden Operaionen verknüpfen ganze Polynome miteinander. Wir setzen

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{max\{N,M\}}(a_{i}+b_{i})x^{i}\\\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i}\boxdot \sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}=(\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i})\cdot (\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i})=\sum _{i=0}^{N+M}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}x^{i}\end{aligned}}$

Wobei für $i>N$ bzw. $i>M$ die Konvention $a_{i}$ bzw. $b_{i}=0$ getroffen wird.

Zum Beispiel gilt $x^{3}-2x+5\boxplus x^{2}-1=x^{3}+x^{2}-2x+(5-1)$ und $x^{3}-2x+5\boxdot x^{2}-1=x^{5}-3x^{3}+5x^{2}+2x-5$

Wir werden im Folgenden zeigen, dass die Menge der reellen Polynome $P$ unter den Verknüpfungen $\boxplus$ und $\boxdot$ einen kommutativen Ring bildet.

Aufgabe ($(P,\boxplus )$als abelsche Gruppe)

Zeige, dass $P$ unter der Verknüpfung $\boxplus$ eine abelsche Gruppe bildet! Falls Du dabei Unterstützung brauchst, findest Du hier eine Anleitung, wie man zeigt, dass etwas eine Gruppe bildet. Vielleicht ist auch das Beispiel der reellen Funktionen aus der Einleitung zu diesem Artikel hilfreich für Dich.

Lösung ($(P,\boxplus )$als abelsche Gruppe)

• Abgeschlossenheit: Die Summe zweier reeller Polynome ergibt stets wieder ein reelles Polynom. Denn für Polynome $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i}$ und $Q(x)=\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}$ gilt $P(x)\boxplus Q(x)=\sum _{i=0}^{max{N,M}}c_{i}x^{i}$ mit $c_{i}=a_{i}+b_{i}\in \mathbb {R}$. Folglich ist $P$ abgeschlossen unter der Addition $\boxplus$.
• Assoziativität: Für beliebige reelle Polynome $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i},Q(x)=\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}$ und $S(x)=\sum _{i=0}^{K}c_{i}x^{i}$ gilt
  $P(x)\boxplus (Q(x)\boxplus R(x))=\sum _{i=0}^{max{M,N,K}}(a_{i}+(b_{i}+c_{i}))x^{i}$
  Wegen der Assoziativität der Addition reeller Zahlen gilt für alle $i\in \{0,...,max\{M,N,K\}\}$, dass $a_{i}+(b_{i}+c_{i})=(a_{i}+b_{i})+c_{i}$. Daraus folgt, dass
  $P(x)\boxplus (Q(x)\boxplus R(x))=\sum _{i=0}^{max{M,N,K}}(a_{i}+b_{i})+c_{i}x^{i}=(P(x)\boxplus Q(x))\boxplus R(x)$
  gilt.

  Das heißt, die Addition $\boxplus$ ist assoziativ.

• Kommutativität: Die Kommutativität der Addition $\boxplus$ folgt ebenfalls aus der Kommutativität der Addition reller Zahlen.
• Neutrales Element: Das Nullpolynom $P_{0}$ mit $P_{0}(x)=0x^{0}=0$ ist das neutrale Element bezüglich der Addition.
• Inverse: Für alle reellen Polynome $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i}$ ist $(-P(x))=\sum _{i=0}^{N}(-a_{i})x^{i}$ wieder ein reelles Polynom, und es gilt
  $P(x)\boxplus (-P(x))=\sum _{i=0}^{N}0x^{i}=0x^{0}=P_{0}$
  .

  Das heißt, für alle Polynome $P(x)$ existieren additiv-inverse Polynome $-P(x)$.

Wir haben somit gezeigt, dass die Menge der Polynome unter der Verknüpfung $\boxplus$ eine abelsche Gruppe bildet.

Nun werden wir noch zeigen, dass auch die Multiplikation $\boxdot$ die Eigenschaften aus der Definition des Rings erfüllt.

• Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier reeller Polynome $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i}$ und $Q(x)=\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}$ ergibt das reelle Polynom $\sum _{i=0}^{N+M}c_{i}x^{i}$ mit $c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\in \mathbb {R} .$. Die Menge der Polynome $P$ ist also abgeschlossen unter der Multiplikation.
• Assoziativität: Nun zeigen wir, dass die Verknüpfung $\boxdot$ assoziativ ist. Vorüberlegung: Zwei Polynome $P(x)=\sum {i=0}^{N}a_{i}x^{i}$ und $Q(x)=\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}$ sind gleich, falls für alle $i\in \mathbb {N}$ gilt $a_{i}=b_{i}$. Man kann zeigen, dass dies genau dann der Fall ist, wenn für alle reellen Zahlen $r$ gilt: $P(r)=Q(r)$. Seien $P(x),Q(x),R(x)$ beliebige reelle Polynome. Dann gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation reeller Zahlen für alle reellen Zahlen $r$, dass$P(r)\cdot (Q(r)\cdot R(r))=(P(r)\cdot Q(r))\cdot R(r)$. Denn $P(r),Q(r)$ und $R(r)$ sind reelle Zahlen. Folglich muss auch gelten $P(x)\boxdot (Q(x)\boxdot R(x))=(P(x)\boxdot Q(x))\boxdot R(x)$, das heißt $\boxdot$ ist assoziativ. Im Folgenden werden wir die Assoziativität explizit zeigen. Seien $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i},Q(x)=\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}$ und $R(x)=\sum _{i=0}^{N}c_{i}x^{i}$ beliebige reelle Polynome. Dann gilt
  ${\begin{aligned}(P(x)\boxdot Q(x))\boxdot R(x)&=\left(\sum _{i=0}^{M+N}(\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k})x^{i}\right)\boxdot R(x)\\[0.5em]&=\sum \nolimits _{i=0}^{M+N+K}(\sum \nolimits _{k=0}^{i}(\sum \nolimits _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l})c_{i-k})x^{i}\\[0.3em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde {k}}=k-l\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{M+N+K}(\sum _{k=0}^{i}(\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{\tilde {k}})c_{i-l-{\tilde {k}}})x^{i}\\&=\sum _{i=0}^{M+N+K}(\sum _{k=0}^{i}\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{\tilde {k}}c_{i-l-{\tilde {k}}})x^{i}\\&=\sum {i=0}^{M+N+K}(\sum _{{\tilde {k}}+i=0}^{i}\sum _{l=0}^{{\tilde {k}}+i}a_{l}b_{\tilde {k}}c_{i-l-{\tilde {k}}})x^{i}\\&=\sum _{i=0}^{M+N+K}(\sum _{l=0}^{i}\sum _{{\tilde {k}}=0}^{i-l}a_{l}b_{\tilde {k}}c_{i-l-{\tilde {k}}})x^{i}\\&=\sum _{i=0}^{M+N+K}(\sum _{{\tilde {k}}+i=0}^{i}a_{l}\sum _{l=0}^{{\tilde {k}}+i}b_{\tilde {k}}c_{i-l-{\tilde {k}}})x^{i}\\&=\sum _{i=0}^{M+N+K}(\sum _{l=0}^{i}\sum _{{\tilde {k}}=0}^{i-l}a_{l}b_{\tilde {k}}c_{i-l-{\tilde {k}}})x^{i}\\&=\sum _{i=0}^{M+N+K}(\sum _{{\tilde {k}}+i=0}^{i}a_{l}(\sum _{l=0}^{{\tilde {k}}+i}b_{\tilde {k}}c_{i-l-{\tilde {k}}})x^{i}\\&=(\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i})\boxdot (\sum _{i=0}^{M+K}\sum _{k=0}^{i}b_{k}c_{i-k}x^{i})\\&=P(x)\boxdot (\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}\boxdot \sum _{i=0}^{K}c_{i}x^{i})\\&=P(x)\boxdot (Q(x)\boxdot R(x))\end{aligned}}$

  Die Multiplikation $\boxdot$ ist also assoziativ.

• Kommutativität: Die Multiplikation ist sogar kommutativ, denn für beliebige relle Polynome $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i},Q(x)=\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}$ gilt
  ${\begin{aligned}P(x)\boxdot Q(x)=\sum _{i=0}^{N+M}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}x^{i}\\&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde {k}}=k-i\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{N+M}\sum _{{\tilde {k}}=0}^{i}a_{i-{\tilde {k}}}b_{\tilde {k}}x^{i}\\&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Die Multiplikation reeller Zahlen ist kommutativ}}\right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{N+M}\sum _{{\tilde {k}}=0}^{i}b_{\tilde {k}}a_{i-{\tilde {k}}}x^{i}=Q(x)\boxdot P(x)\end{aligned}}$
• Das $1$-Polynom $P_{1}$ mit $P_{1}(x)=1x^{0}$ ist ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, denn für ein beliebiges Polynom $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i}$ gilt $P_{1}\boxdot P=\sum _{i=0}^{N}\sum _{k=0}^{i}p_{1k}a_{i-k}x^{i}=\sum _{i=0}^{N}p_{10}a_{i}x^{i}+\underbrace {\sum _{k=0}^{N}p_{1k}a_{i-k}x^{i}} _{=0}=\sum _{i=0}^{N}\underbrace {p_{10}} _{=1}a_{i}x^{i}=P(x)$ Aufgrund der Kommutativität von $\boxdot$ gilt zudem $P(x)\boxdot P_{1}(x)=P(x)$.
• Distributivität: Verbleibt nur noch zu zeigen, dass $\boxplus$ und $\boxdot$ sich distributiv verhalten. Seien $P(x)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}x^{i},Q(x)=\sum _{i=0}^{M}b_{i}x^{i}$ und $R(x)=\sum _{i=0}^{K}c_{i}x^{i}$ beliebige relle Polynome. Es gilt
  ${\begin{aligned}P(x)\boxdot (Q(x)\boxplus R(x))&=P(x)\boxdot \sum _{i=0}^{\max\{M,K\}}(b_{i}+c_{i})x^{i}\\&=\sum _{i=0}^{N+max\{M,K\}}\sum _{k=0}^{i}a_{k}(b_{i-k}+c_{i-k})x^{i}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität von Addition und Multiplikation über }}\mathbb {R} \right.}\\[0.3em]&=\sum _{i=0}^{\max\{N+M,N+K\}}\sum _{k=0}^{i}(a_{k}b_{i-k}+a_{k}c_{i-k})x^{i}=\sum _{i=0}^{N+M}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}x^{i}\boxplus \sum _{i=0}^{N+K}\sum _{k=0}^{i}a_{k}c_{i-k}x^{i}\\&=P(x)\boxdot R(x)\boxplus P(x)\boxdot Q(x)\end{aligned}}$
  Mit der Kommutativität der Multiplikation $\boxdot$ folgt, dass für beliebige reelle Polynome $P(x),Q(x),R(x)$ ebenfalls gilt, dass
  $(Q(x)\boxplus R(x))\boxdot P(x)=P(x)\boxdot (Q(x)\boxplus R(x))=P(x)\boxdot R(x)\boxplus P(x)\boxdot Q(x)=R(x)\boxdot P(x)\boxplus Q(x)\boxdot P(x)$
  . Wir haben somit gezeigt, dass $\boxplus$ und $\boxdot$ sich distributiv verhalten.

Es folgt, dass die Menge der reellen Polynome $P$ unter den Verknüpfungen $\boxplus ,\boxdot$ einen kommutativen Ring bildet.