MathGymOS/ Analysis/ Kurvendiskussion/ Asymptoten

Der Name „Asymptote“ kommt aus dem griechischen und bedeutet „Nichtzusammenfallende“. Übertragen auf die Analysis bedeutet dies, dass eine Asymptote eine Gerade oder Kurve ist, an die sich ein Graph (zu einem bestimmten Punkt, zum Beispiel im Unendlichen) nur annähert, sie aber nie berührt. Mit Hilfe von Asymptoten kann man das Verhalten einer Funktion besonders an den Rändern ihrer Definitionsgrenzen einfach beschreiben.

In der Oberstufenmathematik unterscheidet man dabei die Asymptoten an Definitionslücken (nur gebrochen-rationale Funktionen) und „im Unendlichen“ (gebrochen-rationale, Hyperbel- und Exponentialfunktionen). Bei der Gruppe der ganzrationalen Funktionen existieren keine Asymptoten - hier entfällt dieser Punkt einer Kurvendiskussion also vollständig.

Asymptoten an Definitionslücken

Viele Funktionen, wie die Quadratwurzelfunktion, die Logarithmusfunktion, der Tangens oder Hyperbelfunktionen sind nicht über den gesamten Bereich der reellen Zahlen definiert. Während manche, zum Beispiel die Wurzelfunktion, nur über Teilbereiche definiert sind, sind andere (wie die Funktion $f(x)={\frac {1}{x}}$, um ein Beispiel zu nennen), nur an einer oder mehreren ganz spezifischen Stellen nicht definiert. Diese Stellen nennt man Definitionslücken und das Verhalten dort muss genau untersucht werden. Man geht folgendermaßen vor:

• Bestimmung der Definitionslücke(n)
• Berechnung des linksseitigen Grenzwerts an einer Definitionslücke
• Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts an der oben genannten Definitionslücke
• Wiederholung des Vorgangs für eventuell vorhandene, weitere Definitionslücken

Existiert ein Grenzwert, so befindet sich an der Definitionslücke keine Asymptote. Man nennt die Definitionslücke in diesem Fall auch einfach „Lücke“. Sind die Ergebnisse der Grenzwertberechnung aber unendlich (kein Grenzwert vorhanden), so gibt es eine senkrechte Asymptote und die Definitionslücke ist eine „Polstelle“ des Graphen

Beispiel: Polstelle

Wir betrachten die Funktion $f(x)={\frac {1}{x-2}}$

• Schritt 1: Wenn der Nenner der Funktion 0 ist, so ist die Funktion nicht definiert, da die Division durch 0 nicht definiert ist. Daher: $D_{f}=\mathbb {R} ^{\neq 2}$.

• Schritt 2: Bildung des linksseitigen Grenzwerts: $\lim \limits _{x\nearrow 2}{\frac {1}{x-2}}=-\infty$

Begründung: Der Nenner geht zwar gegen 0, bleibt aber immer negativ - daher wird der ganze Bruch immer kleiner.

• Schritt 3: $\lim \limits _{x\searrow 2}{\frac {1}{x-2}}=+\infty$

Begründung: Der Nenner geht zwar gegen 0, bleibt aber immer positiv - daher wird der ganze Bruch immer größer.

• Schritt 4 entfällt, es gibt nur eine Definitionslücke.

Interpretation: An der Stelle $x=2$ befindet sich für den Graphen der Funktion $f(x)$ eine Polstelle. Er bestitzt an dieser Stelle also eine senkrechte Asymptote (Asymptotengleichung: $x=2$)

 

Beispiel: Lücke

Wir betrachten die Funktion $f(x)={\frac {x}{x}}$

• Schritt 1: Wenn der Nenner der Funktion 0 ist, so ist die Funktion nicht definiert, da die Division durch 0 nicht definiert ist. Daher: $D_{f}=\mathbb {R} ^{\neq 0}$.

• Schritt 2: Bildung des linksseitigen Grenzwerts: $\lim \limits _{x\nearrow 0}{\frac {x}{x}}=1$

Begründung: Solange $x\neq 0$ (und das ist ja gegeben), ist $f(x)=1$. Damit ist der linksseitige Grenzwert 1.

• Schritt 3: $\lim \limits _{x\searrow 0}{\frac {x}{x}}=1$

Begründung: Wie bei Schritt 2

• Schritt 4 entfällt, es gibt nur eine Definitionslücke.

Interpretation: An der Stelle $x=0$ befindet sich für den Graphen der Funktion $g(x)$ eine Lücke. Er hat dort keine Asymptote - es fehlt lediglich ein Wert.

 

Asymptoten im Unendlichen

Neben Asymptoten an Polstellen treten häufig auch Asymptoten „im Unendlichen“, also bei sehr großen und sehr kleinen x-Werten auf.

Im Unendlichen gibt es verschiedene Typen von Asymptoten. Die häufigste Form in der Oberstufenmathematik ist die Form der waagerechten Asymptote. Diese lässt sich recht leicht berechnen: Sie tritt auf, wenn der Grenzwert der Funktion gegen eine reelle Zahl konvergiert, sprich wenn $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=r$, wobei $r$ eine reelle Zahl darstellt. Die Asymptote hat dann die Gleichung $y=r$ und stellt somit eine Parallele zur x-Achse dar.

Wie schon erwähnt, treten keine Asymptoten bei ganzrationalen Funktionen auf. Bei zwei anderen Funktionstypen (Exponential- und gebrochen-rationale Funktionen) treten sie hingegen sehr häufig auf, daher werden wir diese beispielhaft erläutern.

Asymptoten bei Exponentialfunktionen

Exponentialfunktion - asymptotisches Verhalten links deutlich erkennbar

Um das Verhalten von Exponentialfunktionen im Unendlichen zu bestimmen müssen wir, wie oben beschrieben, den Grenzwert im Unendlichen bilden. Um Methoden für die Grenzwertbildung zu bekommen genügt es, die Grenzwerte der Funktion $f(x)=e^{x}$ zu bestimmen, da jede andere Exponentialfunktion auf eine ähnliche Funktion abgebildet werden kann und auch Vermischungen mit Exponentialfunktionen mit Hilfe der Grenzwertkenntnisse berechnet werden können:

• Bilden wir zunächst $\lim \limits _{x\to +\infty }e^{x}$. Das Einsetzen großer Zahlen zeigt uns, dass diese Funktion sehr schnell wächst - noch schneller gar als irgendwelche Polynomfunktionen. Der Grenzwert im positiven Unendlichen existiert daher nicht, es gilt: $\lim \limits _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$. Es liegt also keine Asymptote vor.

• Nun bilden wir den Grenzwert $\lim \limits _{x\to -\infty }e^{x}$. Da die x-Werte immer negativ sind, können wir den Grenzwert auch umschreiben:

$\lim \limits _{x\to -\infty }e^{x}=\lim \limits _{x\to -\infty }e^{-|x|}$

Da die Betragsstriche verhindern, dass der x-Wert negativ wird, können wir $x$ aber auch positiv unendlich werden lassen - der Betrag ist auch in diesem Fall positiv, nur ist er dann sogar überflüssig. Über die Potenzgesetze erhalten wir dann:

$\lim \limits _{x\to -\infty }e^{x}=\lim \limits _{x\to +\infty }e^{-x}=\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {1}{e^{x}}}$

Dieser Grenzwert lässt sich nun einfach berechnen, da wir den Einzelgrenzwert von $e^{x}$ im positiven Unendlichen bereits berechnet haben. Es gilt:

$\lim \limits _{x\to -\infty }e^{x}={\frac {1}{\infty }}=0$

Aus dem Ergebnis können wir schließen, dass der Funktionswert von $f(x)=e^{x}$ sich im negativen Unendlichen der Zahl 0 annähert, die Funktion dort also eine waagerechte Asymptote - die x-Achse ($y=0$) - besitzt.

Diese Erkenntnisse decken sich gut mit dem uns vertrauten Graphen der Exponentialfunktion.

Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen

Hier sieht man eine gebrochenrationale Funktion (rot). Sie besitzt eine Polstelle mit einer Polstellenasymptote/Polgerade (blau) und eine Asymptote im Unendlichen (grüne Parabel)

Bei gebrochenrationalen Funktionen (wie zum Beispiel auch Hyperbelfunktionen) treten ebenfalls Asymptoten im Unendlichen auf. Diese sind aber nicht unbedingt waagerecht, sondern haben allgemein die Form von Polynomfunktionen.

Um zu berechnen, um welches Form von Asymptote es sich bei einer gegebenen gebrochenrationalen Funktion $f(x)$ handelt, muss man sich - wie schon bei Exponentialfunktionen - den Grenzwert im Unendlichen anschauen. Unsere Funktion habe die Form $f(x)={\frac {a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}x^{0}}{b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+b_{2}x^{m-2}+\ldots +b_{m}x^{0}}}$ mit $a_{0},b_{0}\neq 0$. Das Zählerpolynom hat somit den Grad $n$, das Nennerpolynom den Grad $m$.

Nun fällt folgendes auf:

• Aus den Betrachtungen ganzrationaler Funktionen wissen wir, dass der Zähler und der Nenner im Unendlichen jeweils unendlich werden. Um das Vorzeichen zu kennen, genügt es, sich das Vorzeichen des Monoms mit dem höchsten Grad anzuschauen. Alle kleineren Monome fallen nicht ins Gewicht. Das heißt:

$\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}x^{0}}{b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+b_{2}x^{m-2}+\ldots +b_{m}x^{0}}}=\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {a_{0}x^{n}}{b_{0}x^{m}}}$

• Ist nun $n<m$ bedeutet dies, dass der Grenzwert $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0$ ist. Die Asymptote ist also die x-Achse

• Ist $n=m$ so heißt das: $\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {a_{0}x^{n}}{b_{0}x^{n}}}=\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$. In dem Fall ist der Grenzwert der Funktion im Unendlichen also eine reelle Zahl. Die Asymptote hat also die Form $y={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$

• Ist $n>m$ so ist der Limes unendlich, der Grenzwert existiert also nicht.

Dennoch kann man auch im letzten Fall eine Asymptote finden. Hierzu bedient man sich eines kleinen Tricks, der schon aus dem Bereich der Nullstellen bekannt ist: Der Polynomdivision. Man führt diese nun so lange aus, bis ein Restpolynom übrig bleibt, für das gilt: $n<m$. Nun hat man folglich einen ganzrationalen Funktionsteil und einen gebrochenrationalen Rest für den gilt: $n<m$.

Berechnet man nun den Grenzwert dieser Funktion, so ergibt sich, dass der Grenzwert des gebrochenrationalen Rests gleich 0 ist (da $n<m$. Der Grenzwert ist also gleich dem aus dem ganzrationalen Teil der modifizierten gebrochenrationalen Funktion. Da man aus einer solchen Funktion die Asymptote also direkt ablesen kann, wird diese Darstellungsform der gebrochenrationalen Funktion manchmal auch als Asymptotenform bezeichnet.

Der Grad der so berechneten Asymptote lässt sich im Übrigen auch sofort aus den Gradzahlen von Zähler- und Nennerpolynom bestimmen. Es gilt:

$\mathrm {Grad~der~Asymptotenfunktion} =n-m$

Ergibt diese Rechnung eine negative Zahl, so ist die Asymptote in Übereinstimmung der oben beschriebenen Ergebnisse die x-Achse. Zur Veranschaulichung betrachte man zusätzlich noch die hier angeführten Beispiele.

Beispiele

Beispiel: Exponentialfunktionen

Der Funktionsgraph: Deutlich erkennbar die Annäherung an die Asymptoten (nicht eingezeichnet).

Wir untersuchen die Funktion $f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}$ (logistisches Wachstum). Hierzu führen wir die beiden Grenzwerte einfach auf das bereits gelöste Problem der Grenzwerte der Exponentialfunktion zurück.

• Schritt 1: $\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {1}{1+e^{-x}}}=\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {1}{1+{\frac {1}{e^{x}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{\infty }}}}={\frac {1}{1}}=1$

• Schritt 2: $\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {1}{1+e^{x}}}={\frac {1}{1+\infty }}={\frac {1}{\infty }}=0$

• Schritt 3 (Interpretation): Beide Grenzwerte existieren. Im positiven Unendlichen haben wir eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=1$ und im negativen eine waagerechte Asymptote mit der Gleichung $y=0$ (die x-Achse).

 

Beispiel: gebrochenrationale Funktion

In diesem Beispiel untersuchen wir die gebrochenrationale Funktion $g(x)={\frac {x^{3}-4x^{2}+3x}{2x^{2}+4}}$.

• (Berechnung der Polstelle:)

Zur Berechnung der Polstelle bestimmen wir zunächst den Definitionsbereich von $g(x)$. Da der Nenner hier aber nicht 0 werden kann, hat der Graph keine Definitionslücke und kann somit auch keine Polstelle haben. Es ist $D_{g}=\mathbb {R}$.

• Berechnung im Unendlichen:

Um die Asymptoten zu bestimmen, betrachten wir die Funktion zuerst genauer und transferieren sie dann in die Asymptotenform. Wir sehen, dass der Grad des Zählerpolynoms höher ist, als der Grad des Nennerpolynoms. Wir können feststellen:

$n=3~~\wedge ~~m=2~~\Rightarrow ~~\mathrm {Grad~der~Asymptotenfunktion} =1$

Eine Polynomdivision ergibt: $(x^{3}-4x^{2}+3x):(2x^{2}+4)={\frac {1}{2}}x-2+{\frac {x+8}{2x^{2}+4}}$

Nun berechnen wir den Grenzwert dieser Asymptotenfunktion:

$\Rightarrow \quad \lim \limits _{x\to \infty }\left({\frac {1}{2}}x-2+\underbrace {\frac {x+8}{2x^{2}+4}} _{=0}\right)$

Daraus folgt, dass die Asymptotenfunktion die Gleichung $y={\frac {1}{2}}x-2$ besitzt.