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Es ist immer wieder erstaunlich, wie die Mathematik Verbindungen aufdeckt, wo es scheinbar keine gibt. In diesem Kapitel werden wir einen verblüffenden und einfachen Zusammenhang zwischen fünf fundamentalen mathematischen Konstanten herstellen: der eulerschen Zahl $e$, der imaginären Einheit $\mathrm {i}$, der Kreiszahl $\pi$, der Zahl 1 und 0. Darüber hinaus decken wir auch einen Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus auf. Um all das herzuleiten, wollen wir zuerst einmal den Ausdruck $e^{\mathrm {i} \varphi }$ in eine Taylorreihe entwickeln. Dazu können wir die uns bereits bekannte Potenzreihe der Exponentialfunktion verwenden, nur das $x$ müssen wir durch $\mathrm {i} \varphi$ ersetzen:

$e^{\mathrm {i} \varphi }=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =1+\mathrm {i} \varphi +{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{2}}{2!}}+{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{3}}{3!}}+{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{4}}{4!}}+{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{5}}{5!}}+{\frac {(\mathrm {i} \varphi )^{6}}{6!}}\ldots$

$=1+\mathrm {i} \varphi -{\frac {\varphi ^{2}}{2!}}-{\frac {\varphi ^{3}}{3!}}\mathrm {i} +{\frac {\varphi ^{4}}{4!}}+{\frac {\varphi ^{5}}{5!}}\mathrm {i} -{\frac {\varphi ^{6}}{6!}}\ldots$

Wie es sich für eine komplexe Zahl gehört ordnen wir auch diese Reihe nach Real- und Imaginärteil und fügen aus später ersichtlichen Gründen noch mehr Terme hinzu:

$e^{\mathrm {i} \varphi }=(1-{\frac {\varphi }{2!}}+{\frac {\varphi ^{4}}{4!}}-{\frac {\varphi ^{6}}{6!}}+{\frac {\varphi ^{8}}{8!}}-\ldots )+(\varphi -{\frac {\varphi ^{3}}{3!}}+{\frac {\varphi ^{5}}{5!}}-{\frac {\varphi ^{7}}{7!}}+{\frac {\varphi ^{9}}{9!}}-\ldots )\mathrm {i}$

Der Real- und Imaginärteil sollte eine uns bereits bekannte Form haben. Im Kapitel über Taylorreihen haben die Potenzreihen für Sinus und Cosinus hergeleitet. Vergleichen wir nun den Real- und Imaginärteil der Potenzreihe der komplexen Exponentialfunktion mit den Potenzreihen für Sinus und Cosinus, so stellen wir fest, dass sie übereinstimmen! Wir können also schreiben

$e^{\mathrm {i} \varphi }=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$

Wir stellen ausserdem fest, dass der Teil auf der rechten Seite des Gleichheitszeichen genau dem $\operatorname {cis} (\varphi )$ entspricht. Somit haben wir eine weitere Darstellungsform für komplexe Zahlen gefunden:

$z=x+\mathrm {i} \cdot y=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )=r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi }$

Bisher haben wir für den Winkel $\phi$ immer einen Winkel im Gradmass benutzt. Viel eleganter ist es jedoch, wenn wir stattdessen den Winkel im Bogenmass angeben: $\varphi \in [0,2\pi ]$ Wir können uns jetzt fragen, was mit der komplexen Exponentialfunktion geschieht, wenn wir für $\phi$ 180°, beziehungsweise $\pi$ wählen. Die Antwort ist ziemlich einfach und zugleich sehr elegant:

$e^{\mathrm {i} \pi }=\cos(\pi )+\mathrm {i} \sin(\pi )=-1\,$

Diese Beziehung, die so genannte euler'sche Formel, wird häufig auch in etwas anderer Form notiert:

$e^{\mathrm {i} \pi }=-1\quad \Rightarrow \quad e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$

Das ist die weiter oben erwähnte Beziehung zwischen fundamentalen mathematischen Grössen. Einfach erstaunlich, wenn man bedenkt, dass die imaginäre Einheit eine völlig abstrakte Grösse ist, gar nichts wirklich Fassbares.

Fassen wir nun noch zwei Eigenschaften von Sinus und Cosinus ins Auge:

$\sin(-\varphi )=-\sin(\varphi )$

$\cos(-\varphi )=\cos(\varphi )$

Und nun wollen wir einfach folgendes ausprobieren:

$e^{\mathrm {i} \varphi }+e^{-\mathrm {i} \varphi }=(\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))+(\cos(-\varphi )+\mathrm {i} \sin(-\varphi ))=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )+\cos(\varphi )-\mathrm {i} \sin(\varphi )$

$=2\cdot \cos(\varphi )$

$e^{\mathrm {i} \varphi }-e^{-\mathrm {i} \varphi }=(\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))-(\cos(-\varphi )+\mathrm {i} \sin(-\varphi ))=\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )-\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi )$

$=2\cdot \mathrm {i} \cdot \sin(\varphi )$

Teilen wir durch $2$, beziehungsweise durch $2\mathrm {i}$, so können wir Sinus und Cosinus durch linear Kombinationen der komplexen Exponentialfunktion ausdrücken.

$\cos(\varphi )={\frac {e^{\mathrm {i} \varphi }+e^{-\mathrm {i} \varphi }}{2}}$

$\sin(\varphi )={\frac {e^{\mathrm {i} \varphi }-e^{-\mathrm {i} \varphi }}{2\mathrm {i} }}$

Auf Grund dieser Beziehungen können wir auch den Sinus und den Cosinus mit komplexem Argument bestimmen:

$\cos(\mathrm {i} \varphi )={\frac {e^{\mathrm {i} ^{2}\varphi }+e^{-\mathrm {i} ^{2}\varphi }}{2}}={\frac {1}{2}}(e^{-\varphi }+e^{\varphi })$

$\sin(\mathrm {i} \varphi )={\frac {e^{\mathrm {i} ^{2}\varphi }-e^{-\mathrm {i} ^{2}\varphi }}{2\mathrm {i} }}=\mathrm {i} \,{\frac {e^{-\varphi }-e^{\varphi }}{2\cdot \mathrm {i} ^{2}}}={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \,(e^{\varphi }-e^{-\varphi })$

Ein Blick in eine Formelsammlung verrät uns, dass es sich hierbei um die Definition der hyperbolischen Funktionen handelt.

$\cos(\mathrm {i} \varphi )={\frac {1}{2}}(e^{-\varphi }+e^{\varphi })=\cosh(\varphi )$

$\sin(\mathrm {i} \varphi )={\frac {1}{2}}\mathrm {i} \,(e^{\varphi }-e^{-\varphi })=\mathrm {i} \,\sinh(\varphi )$

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