MathGymOS/ Analysis/ Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Für das Finden von Integralen ist der Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung von Bedeutung:

$\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

Man findet also von $f(x)$ die Stammfunktion, setzt als Argument die Obergrenze $b$ ein und subtrahiert davon die Stammfunktion $F$ mit $a$ als Argument. Die wesentliche Schwierigkeit beim Integrieren besteht also im Finden der Stammfunktion.

Beispiel

Gesucht ist $\int _{0}^{3}x^{2}+2x+1\ \mathrm {d} x$. Wir suchen dafür zuerst eine Funktion $F(x)$ mit $F'(x)=x^{2}+2x+1$. Wir gehen also schrittweise vor.

$g'(x)=x^{2};\quad g(x)=?$ Hier finden wir $g(x)={\frac {1}{3}}x^{3}$, die Herleitung wurde bereits gezeigt.

$h'(x)=2x;\quad h(x)=?$ Hier finden wir – und das weiß man wahrscheinlich auch auswendig – $h(x)=x^{2}$.

$k'(x)=1;\quad k(x)=?$ Hier finden wir – und das sollte man ebenfalls schon beim Hinsehen erkennen – $k(x)=x$.

Lösung: $F(x)={\frac {1}{3}}x^{3}+x^{2}+x$. Daraus folgt $\int _{0}^{3}x^{2}+2x+1\ \mathrm {d} x={\frac {3^{3}-0^{3}}{3}}+3^{2}-0^{2}+3-0=9+9+3=21$.