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FunktionenbegriffBearbeiten

Eine Funktion ist eine Abbildung, die je ein Element aus einer Menge, dem Definitionsbereich, auf genau ein Element aus einer anderen Menge, dem Wertebereich, abbildet. Meistens sagt man "Funktion", aber die Begriffe "Abbildung" oder "Zuordnung" bedeuteten (fast) dasselbe. In der Schule sind Definitions- und Wertebereich im Allgemeinen die reellen Zahlen   oder Teilmengen davon.

Einfach ausgedrückt ist der Definitionsbereich "alles, was man in die Rechenvorschrift einsetzen kann", der Wertebereich ist "alles, was herauskommen kann". Wenn der Definitionsbereich angegeben wird, so meist in folgender Form:  . Das   bedeutet hier "ist ein Element von";   bedeutet also nichts anderes, als das x jede beliebige Reelle Zahl sein kann.   bedeutet also, "x ist irgendeine beliebige zahl zwischen minus Drei und Drei". Wenn man eine Funktion zeichnet, so heißt diese Zeichnung "Graph", "Graph der Funktion" oder "Funktionsgraph".

Definitionsbereich Funktion Wertebereich
     
     
     
     


Man unterscheidet zwischen 4 verschiedenen Arten von Funktionen:

Injektive FunktionenBearbeiten

geben jedem x-Wert seinen eigenen y-Wert. Das heißt kein y-Wert wird zweimal getroffen, es kann aber durchaus sein, daß y-Werte gar nicht "getroffen" werden. Diese Funktion wird auch als eineindeutig beschrieben. Falls   ist, gilt z.B.
Beispiel: injektiv und nicht surjektiv


 

Die Funktion  ;

negative y-Werte werden nicht getroffen.


Die Bildmenge - also, diejenigen Werte, die den x-Werten zugeordnet wird, kann bei einer injektiven Funktion durchaus kleiner sein als die Zielmenge, hier können nur Werte auf   "erreicht" werden. Schränkt man den Wertebereich (gleichbedeutend mit "die Bildmenge") von y auf die positiven Zahlen   ein, so wird f außerdem noch surjektiv und damit bijektiv.

Surjektive FunktionenBearbeiten

geben jedem y-Wert mindestens einen x-Wert. Das heißt, jedes y wird mindestens einmal getroffen.Es können jedoch durchaus verschiedene x-Werte zum selben y-Wert führen, aber es gibt kein y, zu dem kein x-Wert gehört.
Beispiel: surjektiv und nicht injektiv


 

Die Funktion  

einige y-Werte werden doppelt getroffen.


Bijektive FunktionenBearbeiten

heißen Funktionen, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind. Sie ordnen jedem x-Wert seinen y-Wert zu und treffen dabei jeden y-Wert. Das geht nur, wenn Definitions- und Wertebereich gleichmächtig sind (d.h. gleich viele Elemente haben).
Beispiel: surjektiv und injektiv


 


Bijektive Funktionen sind immer umkehrbare Funktionen.

alle anderenBearbeiten

Beispiel: weder surjektiv noch injektiv


 

(y-Werte werden doppelt getroffen, y-Werte kleiner als -2 werden nicht getroffen)


Man kann solche Funktionen aber stückweise injektiv(surjektiv) machen, indem man Definitions- und Wertebereich auf Mengen kleiner als   einschränkt. Im obigen Fall wäre eine auf den Wertebereich   eingeschränkte Funktion injektiv und mit einer Einschränkung des Definitionsbereiches auf   surjektiv ; mit beiden Einschränkungen wäre die Funktion bijektiv.

Zum Nachdenken und ÜbenBearbeiten

1.) Wenn ich jeder meiner Katzen einen Namen gebe, ist die Zuordnung   Injektiv, Surjektiv oder Bijektiv?

2.) Ist die Kreisgleichung   eine Funktion?

3.) Bestimme den Wertebereich folgender Funktionen, falls  . Lege dazu eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsverlauf.