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Funktionenbegriff

Eine Funktion ist eine Abbildung, die je ein Element aus einer Menge, dem Definitionsbereich, auf genau ein Element aus einer anderen Menge, dem Wertebereich, abbildet. Meistens sagt man "Funktion", aber die Begriffe "Abbildung" oder "Zuordnung" bedeuteten (fast) dasselbe. In der Schule sind Definitions- und Wertebereich im Allgemeinen die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder Teilmengen davon.

Einfach ausgedrückt ist der Definitionsbereich "alles, was man in die Rechenvorschrift einsetzen kann", der Wertebereich ist "alles, was herauskommen kann". Wenn der Definitionsbereich angegeben wird, so meist in folgender Form: $x\in \mathbb {R}$. Das $\in$ bedeutet hier "ist ein Element von"; $x\in \mathbb {R}$ bedeutet also nichts anderes, als das x jede beliebige Reelle Zahl sein kann. $x\in \left(-3....3\right)$ bedeutet also, "x ist irgendeine beliebige zahl zwischen minus Drei und Drei". Wenn man eine Funktion zeichnet, so heißt diese Zeichnung "Graph", "Graph der Funktion" oder "Funktionsgraph".

Definitionsbereich	Funktion	Wertebereich
$\mathbb {R}$	$y=3x$	$\mathbb {R}$
$\mathbb {R}$	$y=x^{2}$	$\mathbb {R} ^{+}$
$\mathbb {R} ^{+}$	$y={\sqrt[{}]{x}}$	$\mathbb {R} ^{+}$
$\mathbb {R} \geq 3$	$y={\sqrt[{}]{x-3}}$	$\mathbb {R} ^{+}$

Man unterscheidet zwischen 4 verschiedenen Arten von Funktionen:

Injektive Funktionen

geben jedem x-Wert seinen eigenen y-Wert. Das heißt kein y-Wert wird zweimal getroffen, es kann aber durchaus sein, daß y-Werte gar nicht "getroffen" werden. Diese Funktion wird auch als eineindeutig beschrieben. Falls $x\in \mathbb {R}$ ist, gilt z.B.

Beispiel: injektiv und nicht surjektiv Die Funktion $f(x)=1.5^{x}$; negative y-Werte werden nicht getroffen.

Die Bildmenge - also, diejenigen Werte, die den x-Werten zugeordnet wird, kann bei einer injektiven Funktion durchaus kleiner sein als die Zielmenge, hier können nur Werte auf $\mathbb {R} ^{+}$ "erreicht" werden. Schränkt man den Wertebereich (gleichbedeutend mit "die Bildmenge") von y auf die positiven Zahlen $\mathbb {R} ^{+}$ ein, so wird f außerdem noch surjektiv und damit bijektiv.

Surjektive Funktionen

geben jedem y-Wert mindestens einen x-Wert. Das heißt, jedes y wird mindestens einmal getroffen.Es können jedoch durchaus verschiedene x-Werte zum selben y-Wert führen, aber es gibt kein y, zu dem kein x-Wert gehört.

Beispiel: surjektiv und nicht injektiv Die Funktion $f(x)=0.2x^{3}-x$ einige y-Werte werden doppelt getroffen.

Bijektive Funktionen

heißen Funktionen, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind. Sie ordnen jedem x-Wert seinen y-Wert zu und treffen dabei jeden y-Wert. Das geht nur, wenn Definitions- und Wertebereich gleichmächtig sind (d.h. gleich viele Elemente haben).

Beispiel: surjektiv und injektiv

Bijektive Funktionen sind immer umkehrbare Funktionen.

alle anderen

Beispiel: weder surjektiv noch injektiv (y-Werte werden doppelt getroffen, y-Werte kleiner als -2 werden nicht getroffen)

Man kann solche Funktionen aber stückweise injektiv(surjektiv) machen, indem man Definitions- und Wertebereich auf Mengen kleiner als $\mathbb {R}$ einschränkt. Im obigen Fall wäre eine auf den Wertebereich $y\in \mathbb {R} >-2$ eingeschränkte Funktion injektiv und mit einer Einschränkung des Definitionsbereiches auf $x\in \mathbb {R} ^{+}$ surjektiv ; mit beiden Einschränkungen wäre die Funktion bijektiv.

Zum Nachdenken und Üben

1.) Wenn ich jeder meiner Katzen einen Namen gebe, ist die Zuordnung $Katze\mapsto Name$ Injektiv, Surjektiv oder Bijektiv?

2.) Ist die Kreisgleichung $y^{2}+x^{2}=r^{2}$ eine Funktion?

3.) Bestimme den Wertebereich folgender Funktionen, falls $x\in \left(-4...4\right)$. Lege dazu eine Wertetabelle an und zeichne den Funktionsverlauf.

$y=2x+3$	$y=2x-3$	$y=0.5x-3$
$y={\frac {2}{3}}x-4$	$y=-{\frac {5}{4}}x+6$	$y=-{\sqrt {x+4}}-2$
$y={\frac {4}{x-2}}$	$y=-{\frac {6}{x}}$	$y=x^{3}-4x$