MathGymOS/ Analysis/ Folgen und Reihen/ Konvergenz und Divergenz von Reihen

Reihen im Vergleich zu Folgen

Wir haben eine Reihe als Folge von Partialsummen definiert. Eine Reihe ist also im Grunde eine Folge. Dementsprechend gelten natürlich alle Konvergenzbedingungen, die wir für Folgen hergeleitet haben, auch für Reihen. Insbesondere das Monotoniekriterium kann häufig nützlich sein, da eine Reihe mit positiven Koeffizienten stets monoton steigend ist und eine Reihe mit negativen Koeffizienten stets monoton fallend.

notwendiges Konvergenzkriterium

Eine erstaunlich große Zahl von Reihen lässt sich bereits mit dem notwendigen Konvergenzkriterium für Reihen behandeln. Dieses besagt:

Wenn die Folge $\{a_{n}\}$ der Koeffizienten der Reihe $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}$ keine Nullfolge ist, so divergiert die Reihe.

Der Umkehrschluss, dass die Reihe dann notwendigerweise konvergiert ist nicht gültig, daher der Name notwendiges Konvergenzkriterium: Ist dieses Kriterium nicht erfüllt, so kann die Reihe nicht konvergent sein, ist es erfüllt, muss sie dennoch nicht notwenigerweise konvergent sein.

Beispiel: Divergenz mittels notwendigem Konvergenzkriterium

Betrachten wir die Reihe: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }n=1+2+3+4+5+\ldots$

Es sollte klar sein, dass diese Reihe nicht konvergiert - die Summe wird immer größer.

Betrachten wir also die Folge ihrer Koeffizienten, also die Folge mit $a_{n}=n$. Wie sofort klar ist, konvergiert diese Folge nicht gegen Null. Sie konvergiert überhaupt nicht. Damit ist die Reihe nach dem notwendigen Kriterium divergent.

 

Beispiel: Divergenz mittels notwendigem Konvergenzkriterium

Betrachten wir die Reihe: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}=-1+1-1+1-1\ldots$

Diese Reihe ist bereits etwas schwieriger. Sie ist natürlich beschränkt - alles was im vorherigen Schritt hinzukommt, wird im nächsten wieder abgezogen. Aber wie man auch erkennt, oszilliert sie immer zwischen -1 und 0 - sie kann daher nicht konvergieren.

Betrachten wir also die Folge ihrer Koeffizienten, also die Folge mit $a_{n}=(-1)^{n}$. Wie auch hier sofort klar ist, konvergiert diese Folge nicht gegen Null - sie ist immer entweder $1$ oder $-1$. Sie konvergiert überhaupt nicht. Damit ist die Reihe nach dem notwendigen Kriterium divergent.

 

absolute Konvergenz

Bei Reihen gibt es neben dem herkömmlichen Konvergenzbegriff noch den Begriff der absoluten Konvergenz:

Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ konvergent ist.

Man vernachlässigt also lapidar gesagt für die absolute Konvergenz die Vorzeichen der Koeffizienten. Das ergibt den Vorteil, dass die neue Reihe in jedem Fall monoton steigend ist. Zusätzlich ist die absolute Konvergenz ein viel stärkeres Kriterium. So folgt aus der absoluten Konvergenz auch stets die einfache Konvergenz - umgekehrt ist das aber nicht der Fall.

Es gibt eine Reihe von Kriterien, um die absolute Konvergenz von Reihen zu untersuchen (Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium), die aber hier den Rahmen sprengen würden.

weiterführendes Beispiel: die harmonische Reihe

Beispiel: harmonische Reihe

Die harmonische Reihe ist definiert als: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\ldots$

Aus dem vorherigem Kapitel wissen wir bereits, dass die Folge mit den Folgengliedern $a_{n}={\frac {1}{n}}$ eine konvergente Nullfolge ist. Das notwendige Kriterium ist also erfüllt. Aber diese Reihe zeigt, dass das notwendige Kriterium nicht hinreichend ist, denn die harmonische Reihe ist divergent.

Um dies zu zeigen müssen wir uns einer für die Schulmathematik recht komplizierter Abschätzung bedienen. Daher ist dies auch als ein weiterführendes Beispiel zu verstehen.

Betrachten wir die Partialsumme (also nicht bis unendlich, sondern nur bis $n$): $\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\ldots$

Wir klammern nun immer so ein, dass wir gerade 2,4,8,16... Glieder umfassen.

$=1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)\ldots$

Dann ersetzen jede Zahl in den Klammern durch die kleinste Zahl der Klammer. Damit machen wir, das sollte klar sein, unsere Summe kleiner.In diesem Schritt, in dem wir die Reihe nach unten abschätzen liegt das Kernstück unseres Beweises.

$>1+{\frac {1}{2}}+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)\ldots$

Die in einer Klammer zusammengefassten Glieder ergeben nun immer ${\frac {1}{2}}$

$=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\ldots$

Damit haben wir eine neue Partialsumme gefunden, die zwar erheblich weniger Glieder hat, aber immer kleiner ist, als unsere ursprüngliche Partialsumme. Wenn wir nun nicht die Partialsumme, sondern die unendliche Reihe betrachten, so spielt aber die Anzahl der Glieder keine Rolle mehr. In beiden Fällen ist sie unendlich.

Damit haben wir gefunden:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\ldots <\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$.

Die Reihe auf der linken Seite konvergiert nicht - sie wird beliebig groß. Das sagt uns das notwendige Konvergenzkriterium, da $a_{n}={\frac {1}{2}}$ keine Nullfolge ist. Weil aber die rechte Seite immer größer ist als die linke, muss sie auch irgendwann beliebig groß werden.

Die harmonische Reihe ist also bestimmt divergent. Sie wird beliebig groß - ein vielleicht sehr verblüffendes Ergebnis.

 

Damit beschließen wir das Kapitel über Folgen und Reihen für die Schule.