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Vom Differenzquotient zum Differentialquotient

Im vorangehenden Abschnitt hatten wir gelernt, wie man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten ermitteln kann. Jetzt machen wir den Schritt von der Sekanten- zur Tangentensteigung; also der Steigung in einem Punkt.

Zur Erinnerung: Die Sekantensteigung konnten wir mittels des Differenzquotienten

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x_{0}+\epsilon )-f(x_{0})}{(x_{0}+\epsilon )-x_{0}}}$

berechnen. Wenn wir nun die Steigung im Punkt $(x_{0},f(x_{0}))$ berechnen wollen, müssten wir $\epsilon =0$ einsetzen. Das führt aber zu dem sinnlosen Ausdruck ${\frac {0}{0}}$, da dann die beiden Punkte zusammenfallen und man keine Gerade mehr bestimmen kann. Wohl aber können wir immer kleinere Werte für $\epsilon$ einsetzen, um so eine  Folge zu erhalten, deren  Grenzwert die Tangentensteigung ist. Die mathematische Notation dafür ist:

$m=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+\epsilon )-f(x_{0})}{(x_{0}+\epsilon )-x_{0}}}$

Mit diesem Konstrukt können wir, mit etwas Aufwand, die Steigung einer beliebigen Funktion an einem beliebigen Punkt ausrechnen, indem wir einfach einsetzen und vereinfachen.

Beispiel:

$f(x)=x^{2}$. Wir wüssten gerne die Steigung am Punkt $x=2$. Dazu setzen wir erstmal ein

$m=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {(2+\epsilon )^{2}-2^{2}}{\epsilon }}$

Man beachte die Klammern um $2+\epsilon$. Es ist wichtig, dass man $x_{0}+\epsilon$ in Klammern gesetzt in die Funktion einsetzt, damit das Richtige rauskommt.

Jetzt wenden wir die  Binomische Formel an und vereinfachen:

$m=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {2^{2}+4\epsilon +\epsilon ^{2}-2^{2}}{\epsilon }}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\epsilon (4+\epsilon )}{\epsilon }}$

Jetzt sind wir an einem interessanten Punkt angekommen, da wir durch Ausklammern von $\epsilon$ kürzen können und dadurch das $\epsilon$ aus dem Nenner wegbekommen. Damit ist es uns dann erlaubt tatsächlich 0 für $\epsilon$ einzusetzen (vorher hätten wir durch 0 teilen müssen). Dadurch können wir den Grenzwert bestimmen:

$m=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}4+\epsilon =4$

Die Steigung der Funktion im Punkt $x=2$ beträgt also 4.

 

Allgemeine Ableitung

Am obigen Beispiel haben wir gesehen, dass die Berechung der Steigung mit Hilfe des Differentialquotienten ein bisschen umständlich ist. Wenn man nicht nur die Steigung an einem, sondern an vielen (oder gar an allen) Punkten wissen möchte, bedeutet das einen enormen Rechenaufwand. Es wäre günstig, wenn man eine Funktion $f'(x)$ hätte, die zu jedem Wert x die Steigung der Ausgangsfunktion $f(x)$ liefert. Für praktisch alle Funktionen (denen man in der Schule begegnet) gibt es eine solche Funktion $f'(x)$. Man nennt sie die erste Ableitung (es gibt auch höhere Ableitungen, deren Nutzen wir im Kapitel Kurvendiskussion lernen).

Beispiel:

Wir versuchen jetzt mit den bereits gelernten Methoden die erste Ableitung von $f(x)=x^{2}$ zu finden.

Zunächst bilden wir wieder den Differentialquotienten, diesmal aber ohne einen bestimmten Wert für x einzusetzen:

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {(x+\epsilon )^{2}-x^{2}}{\epsilon }}$

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2x\epsilon +\epsilon ^{2}-x^{2}}{\epsilon }}$

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {2x\epsilon +\epsilon ^{2}}{\epsilon }}$

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\epsilon (2x+\epsilon )}{\epsilon }}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}2x+\epsilon$

Jetzt können wir $\epsilon =0$ setzen und sind fertig. Die Ableitung von $f(x)=x^{2}$ ist damit $f'(x)=2x$.

 

Diese Methode um die Ableitung zu bestimmen ist ziemlich aufwändig, vor allem wenn man kompliziertere Funktionen als die aus dem Beispiel hat, aber theoretisch funktioniert sie für alle (differenzierbaren) Funktionen. Im nächsten Abschnitt lernen wir eine einfache Methode um eine wichtige Gruppe von Funktionen, die ganzrationalen Funktionen, abzuleiten.

Notation von Ableitungen

Zum Abschluss dieses Kapitels, bevor wir uns den Rechenregeln zuwenden, noch ein kurzer, technischer Einschub. Wir schreiben Ableitungen in diesem Buch für gewöhnlich in der Schreibweise $f'(x)$, $f''(x)$, wobei die Anzahl der Striche angibt, die wievielte Ableitung wir betrachten.

Historisch und an den Universitäten gibt es aber noch andere Ableitungen. Der Grund dafür ist, dass die obige Schreibweise nicht einfach erweiterbar ist auf Ableitungen von Funktionen mit mehreren Variablen, die in der Schulmathematik nicht behandelt werden. In den Ingenieurwissenschaften und in der Physik findet man daher meist die sogenannte Leibniz-Schreibweise. Dort gilt:

$f'(x)={\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}$

Höhere Ableitungen werden durch Quadrate gekennzeichnet:

$f''(x)={\frac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}$

Dieser Bruch ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ darf dabei natürlich nicht als Bruch betrachtet werden. Insbesondere darf man eigentlich nicht kürzen. Es handelt sich hierbei lediglich um einen Operator, der vereinfacht gesagt besagt, dass die Funktion $f(x)$ nach ihrer Variablen $x$ differenziert werden soll. Hat eine Funktion mehrere Variablen, so ist der Vorteil dieser Schreibweise evident, da immer klar ist, nach welcher Variablen die Ableitung gebildet werden muss.

Die Mathematiker verwenden meist noch weitere Schreibweisen, die aber hier den Rahmen sprengen würden.

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