Management Science: Matrizen

In diesem Abschnitt sollen Matrizen kurz erläutert werden, damit wir eine Basis für unsere linearen Verfahren haben.

Definition

Eine Matrix ist eine Zusammenstellung von Objekten in einer Tabelle, die aus m Zeilen und n Spalten besteht. Ein Objekt in der Matrix nennt man Element, Komponente oder Eintrag. Die Tabelle wird mit einer Klammer links und rechts abgeschlossen. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man eine (m×n)-Matrix. Allgemein betrachtet sieht eine Matrix A mit dem Element a_ij (i = 1, ..., m; j = 1, ... ,n) so aus:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1j}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2j}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{i1}&a_{i2}&\ldots &a_{ij}&\ldots &a_{in}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mj}&\ldots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}\,,$

Man bezeichnet eine (m×n)-Matrix A auch mit A_m×n oder (a_ij)_m×n.

Die Elemente $a_{ii}$ werden Hauptdiagonalelemente genannt. Sie liegen auf der Hauptdiagonalen der Matrix.

Spezielle Matrizen

Vektoren

Eine (m×1)-Matrix ist ein Spaltenvektor, eine (1×n)-Matrix ein Zeilenvektor. Vektoren werden i.a. kleinbuchstabig bezeichnet und häufig, vor allem im physikalischen Kontext, mit einem Pfeil hervorgehoben. Meistens geht man bei einem Vektor von einem Spaltenvektor aus und betrachtet den Zeilenvektor als transponierten Spaltenvektor.

Skalar

Ein Skalar ist eine Matrix mit nur einem Element:

$[a]=a$.

Ein Skalar kann wie eine reelle Zahl behandelt werden.

Transponierte Matrix A^T zur Matrix A

Die Transponierte der Matrix

$A=(a_{ij})_{m\times n}$

ist die Matrix

$A^{T}=(a_{ji})_{n\times m}$.

Die ite Zeile von ${\underline {A}}$ wird die ite Spalte von ${\underline {A}}^{T}$.

Beispiel:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{pmatrix}}\rightarrow {\underline {A}}^{T}={\begin{pmatrix}1&0&-2\\2&-2&4\end{pmatrix}}$

Quadratische Matrix A

A hat n Zeilen und n Spalten.

Beispiel:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\-0,5&1&2\end{pmatrix}}$

Diagonalmatrix A

Diese Matrix ist von der Ordnung n×n und besitzt nur auf der Hauptdiagonalen Elemente ungleich Null.

$a_{ij}={\begin{cases}a_{ii}&{\text{fuer }}i=j\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Beispiel:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1,67&0\\0&0&100\end{pmatrix}}$

Ein Spezialfall der Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix${\underline {I}}$, die auf der Hauptdiagonalen nur Nullen hat.

Beispiel:

${\underline {I}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

Matrix mit Trapezgestalt

Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind 0 und die untersten Zeilen können auch Nullzeilen sein.

Beispiele:

${\begin{pmatrix}2&1&0&1&3\\0&1&2&0&-2\\0&0&1&3&1\end{pmatrix}},$    ${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&2\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}.$

Dreiecksmatrix

Obere Dreiecksmatrix A_n×n: Alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen sind 0. A ist ein Spezialfall der Trapezmatrix.

Beispiel:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$

Untere Dreiecksmatrix: Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen sind 0.

Beispiel:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\-0,5&1&2\end{pmatrix}}$

Ein Spezialfall der Dreiecksmatrix ist die Diagonalmatrix

Symmetrische Matrix A_n×n

Die ite Zeile ist gleich der jten Spalte. Es gilt

$a_{ij}=a_{ji}$

bzw.

$A=A^{T}$

Die Elemente der Matrix spiegeln sich bezüglich der Hauptdiagonalen.

Beispiel:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\{\sqrt {2}}&-2&1\\3&1&2\end{pmatrix}}$

Nullmatrix O_m×n

Die Nullmatrix enthält nur Nullen. Sie entspricht der Null mit Matrizenkalkül:

${\underline {A}}\cdot {\underline {O}}={\underline {O}}$

Beispiel:

${\underline {O}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

Inverse Matrix A_1

Als A^-1_n×n bezeichnet man als die zur Matrix A inverse Matrix, wobei ${\underline {A}}$ invertierbar sein muss. Es gilt dann

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\underline {I}}$

Im Matrizenkalkül bezeichnet also ${\underline {A}}^{-1}$ das zu $A$ inverse Element.

Beispiel:

Die Inverse zu ${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&1&-1&1\\0&1&1&0\\1&-1&0&0\end{pmatrix}}$

ist

${\underline {A}}^{-1}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&0&-{\frac {1}{2}}\\1&0&-1&-1\end{pmatrix}}$

Die Probe ergibt ${\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}={\underline {I}}$

Rechenregeln für Matrizen

Größenrelationen

Gegeben sind die Matrizen A_m×n und B_m×n mit den Elementen a_ij und b_ij (i = 1, ... , m; j = 1, ... , n). Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}{\text{ falls }}a_{ij}=b_{ij}{\text{ fuer alle }}i,j$

und

${\underline {A}}\leq {\underline {B}}{\text{ falls }}a_{ij}\leq b_{ij}{\text{ fuer alle }}i,j$

Entsprechendes gilt auch für <, >, ≥. Vergleiche sind nur für Matrizen gleicher Ordnung definiert.

Addition und Subtraktion

Gegeben sind A_m×n, B_m×n und C_m×n. Es soll C = A + B sein bzw.

$(c_{ji})_{m\times n}=(a_{ji}+b_{ji})_{m\times n}$.

Es werden also zwei Matrizen addiert, indem ihre entsprechenden Elemente addiert werden. Es können nur Matrizen gleicher Ordnung addiert werden.

Beispiel:

Addition:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&3\\8&-6\\3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&5\\8&-8\\1&5\end{pmatrix}}$

Subtraktion:

${\underline {A}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&3\\8&-6\\3&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\-8&4\\-5&3\end{pmatrix}}$

Multiplikation

Multiplikation mit einem Skalar

Wird eine Matrix mit einem Skalar a multipliziert, werden alle Elemente a_ij mit a multipliziert: $a\cdot {\underline {A}}_{m\times n}=(a\cdot a_{ji})_{m\times n}$

Beispiel:

$3\cdot {\begin{pmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&6\\0&-6\\-6&12\end{pmatrix}}$

Multiplikation zweier Matrizen

Gegeben sind A_m×r, B_r×n. Das Element c_ij des Produktes C = A B ergibt sich, indem man die ite Zeile von A mit der jten Spalte von B elementweise multipliziert und die Produkte aufaddiert:

$c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}\cdot b_{kj}$.

Es muss also die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B sein.

Beispiele:

${\begin{pmatrix}-1&5&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\dot {\begin{pmatrix}2&1&0&1\\-3&0&2&0\\1&-2&1&3\end{pmatrix}}}=$

${\begin{pmatrix}-1\cdot 2+5\cdot (-3)+0\cdot 1&-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot (-2)&-1\cdot 0+5\cdot 2+0\cdot 1&-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot 3\\1\cdot 2+2\cdot (-3)+1\cdot 1&1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot (-2)&1\cdot 0+2\cdot 2+1\cdot 1&1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 3\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-2-15+0&-1+0+0&0+10+0&-1+0+0\\2-6+1&1+0-2&0+4+1&1+0+3\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-17&-1&10&-1\\-3&-1&5&4\end{pmatrix}}.$

Es gilt speziell bei einem Zeilenvektor ${\underline {a}}^{T}$ und einem Spaltenvektor ${\underline {b}}$ der Ordnung n:

${\underline {a}}^{T}\cdot {\underline {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$

Man nennt diese Art des Produkts Skalarprodukt, weil das Produkt der Vektoren ein Skalar ergibt.

Beispiele:

Es ist ${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1+4+3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\end{pmatrix}}$,

aber

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2&1\\-2&4&2\\-3&6&3\end{pmatrix}}$.

Umformung von Matrizengleichungen

Additive Erweiterung

Man kann eine Matrizengleichung additiv von links oder rechts erweitern, wobei die Ordung der Matrizen übereinstimmen muss.

Beispiel

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {C}}_{m\times n}$. Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Leftrightarrow$     $\quad {\underline {A}}+{\underline {C}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {C}}+{\underline {A}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$   ${\underline {A}}-{\underline {C}}=-{\underline {C}}+{\underline {B}}$

Multiplikative Erweiterung

Man kann eine Matrizengleichung multiplikativ erweitern, wobei die Ordung der Matrizen den Multiplikationsgesetzen entsprechend sein muss.

Von links:

Beispiel

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {C}}_{r\times m}$. Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Leftrightarrow$     ${\underline {C}}\cdot {\underline {A}}={\underline {C}}\cdot {\underline {B}}$

Ausklammern:

${\underline {C}}\cdot {\underline {A}}+{\underline {C}}\cdot {\underline {B}}={\underline {C}}\cdot ({\underline {B}}+{\underline {A}})$

Es ist auch

${\underline {A}}+{\underline {C}}\cdot {\underline {A}}=({\underline {I}}+{\underline {C}}){\underline {A}}$

Von rechts:

Beispiel

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {D}}_{n\times s}$. Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Leftrightarrow$     ${\underline {A}}\cdot {\underline {D}}={\underline {B}}\cdot {\underline {D}}$

Ausklammern:

${\underline {B}}\cdot {\underline {D}}-{\underline {A}}\cdot {\underline {D}}=({\underline {B}}-{\underline {A}}){\underline {D}}$

Umformungen wie ${\underline {A}}\cdot {\underline {C}}={\underline {C}}\cdot {\underline {A}}$ sind im allgemeinen nicht zulässig und auch oft gar nicht definiert.

Spezielle Rechenregeln

Gegeben sind ${\underline {A}}_{n\times n}$ und invertierbar, ${\underline {B}}_{n\times n}$ und invertierbar, ${\underline {C}}_{n\times m}$ und ${\underline {O}}_{m\times r}$.

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}={\underline {I}}$

${\underline {A}}\cdot {\underline {I}}={\underline {A}}$

${\underline {C}}\cdot {\underline {O}}={\underline {O}}$

$({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{T}={\underline {A}}^{T}\cdot {\underline {B}}^{T}$

$({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{-1}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {B}}^{-1}$

Skalare werden wie Zahlen behandelt. Insbesondere können die Seiten der Gleichung wahlweise von links und von rechts mit einem Skalar multipliziert werden.

Beispiel:

$[5]\cdot {\underline {A}}=\cdot {\underline {A}}\cdot [5]=5\cdot {\underline {A}}$

Beispiele für Umformungen

Gegeben ist die Gleichung ${\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}};$ ${\underline {A}}$ ist invertierbar. Gesucht ist ${\underline {x}}$:

${\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}\quad \Leftrightarrow$     ${\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}^{-1}\quad \Leftrightarrow$   ${\underline {I}}\cdot {\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}\quad \Leftrightarrow$   ${\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}$

Gegeben ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {C}},$  wobei $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})$ invertierbar ist. Gesucht ist ${\underline {X}}$:

${\underline {A}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {A}}\cdot {\underline {X}}-{\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}={\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$     $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot ({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {I}}\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}$

Gegeben ist ${\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}$  mit ${\underline {X}}_{n\times m},\,{\underline {I}}_{n\times n}$. Gesucht ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}$:

Es ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}\cdot {\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}.$

Mit $({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}\cdot {\underline {X}}={\underline {I}}$ erhalten wir

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {X}}\cdot {\underline {I}}\cdot ({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}={\underline {A}}$

Es ist also ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}$. Man nennt die Matrix ${\underline {A}}$ idempotent.

Rang einer Matrix

Man kann sich eine Matrix als aus Spaltenvektoren zusammengesetzt vorstellen. Es ist dann die Matrix ${\underline {X}}_{m\times n}$

${\underline {X}}={\begin{bmatrix}{\underline {x}}_{1},&{\underline {x}}_{2},&\ldots &{\underline {x}}_{j}&\ldots &{\underline {x}}_{n}\end{bmatrix}}$

mit einem Vektor ${\underline {x}}_{j}={\begin{bmatrix}x_{1j}\\x_{2j}\\\vdots \\x_{ij}\\\vdots \\x_{mj}\\\end{bmatrix}}$.

Linearkombinationen von Vektoren

Gegeben sind n Spaltenvektoren ${\underline {x}}_{j}$ (j = 1, ..., n) der Ordnung m. Kann man beispielsweise ${\underline {x}}_{n}$ darstellen als

${\underline {x}}_{n}=\sum _{j=1}^{n-1}a_{j}\cdot {\underline {x}}_{j}$

($a_{j}\in R$) wobei mindestens ein Vektor ungleich dem Nullvektor sein soll, ${\underline {x}}_{j}\neq {\underline {o}}$ (j = 1, ..., n-1), nennt man ${\underline {x}}_{n}$ eine Linearkombination der ${\underline {x}}_{j}$.

Beispiel

${\begin{pmatrix}-2,5\\7\\4,5\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}+0,5\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$

Der linke Vektor ist eine Linearkombination aus den beiden rechten Vektoren.

Allgemein nennt man die Vektoren ${\underline {x}}_{j}$ (j = 1, ..., n) der Ordnung m linear abhängig, wenn sich der Nullvektor als Linearkombination der xj darstellen lässt:

${\underline {o}}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\cdot {\underline {x}}_{j},$

wobei mindestens ein x-Vektor ungleich dem Nullvektor sein soll.

Äquivalent dazu ist die Aussage:

Die n Vektoren $x_{j}$ nennt man linear unabhängig, wenn

${\underline {o}}=\sum _{i=1}^{n}a_{j}\cdot {\underline {x}}_{j},$

nur dann gilt, wenn alle $a_{j}=0$ sind.

Beispiel:

Die Vektoren ${\underline {x}}={\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}$ und ${\underline {y}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$ sind linear unabhängig. Wir wollen also untersuchen, ob ${\underline {o}}=a\cdot {\underline {x}}+b\cdot {\underline {y}}$ ist. Dazu zerlegen wir die Gleichung in Einzelgleichungen:

${\begin{matrix}-1\cdot a+1\cdot b=0\\2\cdot a+2\cdot b=0\\1\cdot a+3\cdot b=0\end{matrix}}$

Die erste Gleichung ergibt $a=b$. In die zweite eingesetzt erhalten wir $2b=-2b$. Das ist nur wahr, wenn $b=0$ ist. Dann muss aber auch $a=0$ sein. Also sind die beiden Vektoren unabhängig.

Der Rang einer Matrix gibt an, wie viel linear unabhängige Vektoren eine Matrix hat. Man könnte sagen, der Rang informiert uns über den Informationsgehalt einer Matrix.

Der Rang einer (m×n)-Matrix kann maximal $\min(m;n)$ betragen. So hat eine quadratische Matrix der Ordung n maximal den Rang n, sie kann also aus n linear unabhängigen Vektoren bestehen.

Den Rang einer Matrix kann man beispielsweise ermitteln, indem man mit Hilfe der Zeilentransformationen die Matrix auf Trapezgestalt bringt. Dann ist der Rang der Matrix die Zahl der Zeilen minus Zahl der Nullzeilen.

Beispiele:

${\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&2\\0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}$ hat den Rang 3. ${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}$ hat den Rang 3.

${\begin{pmatrix}1&{\sqrt {2}}&3\\0&-2&1\\0&0&0\end{pmatrix}}$ hat den Rang 2. ${\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&1&1&1\\\end{pmatrix}}$ hat den Rang 2.

${\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\\end{pmatrix}}$ hat den Rang 1.

Sind genau n Vektoren der Ordnung n linear unabhängig, nennt man sie eine Basis. D.h. mit einer Linearkombination dieser n Vektoren kann man alle anderen Vektoren der gleichen Ordnung erzeugen. Eine spezielle Basis sind die n Einheitsvektoren, das sind die Vektoren $[{\underline {i}}_{1}\ldots {\underline {i}}_{n}]$, die zusammengefasst die Einheitsmatrix ${\underline {I}}$ ergeben.

Beispiele:

Die Vektoren der Ordnung 3, ${\underline {x}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\1\end{pmatrix}}\quad$, ${\underline {y}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}\quad$ und ${\underline {z}}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}$

bilden eine Basis, denn sie sind linear unabhängig, es lässt sich also jeder Vektor ${\underline {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\quad$ der Ordnung 3 aus diesen drei Vektoren erzeugen:

${\begin{matrix}v_{1}=-{\frac {1}{2}}\cdot a+{\frac {1}{2}}\cdot b+1\cdot c\\v_{2}={\frac {1}{2}}\cdot a-{\frac {1}{2}}\cdot b+0\cdot c\\v_{3}=1\cdot a+0\cdot b-1\cdot c\end{matrix}}$

Wir erhalten

$a=v_{1}+v_{2}+v_{3}$ ,

$b=v_{1}-v_{2}+v_{3}$ und

$c=v_{1}+v_{2}$.

So ist dann etwa der Vektor $v={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\quad$ mit den Koeffizienten

$a=v_{1}+v_{2}+v_{3}=1+2+3=6$ ,

$b=v_{1}-v_{2}+v_{3}=1-2+3=2$ und

$c=v_{1}+v_{2}=1+2=3$

eine Linearkombination aus

$6\cdot {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}+3\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{2}}+{\frac {2}{2}}+3\\{\frac {6}{2}}-{\frac {2}{2}}+0\\6+0-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$

Die Berechnung der Koeffizienten ist bei Verwendung der Einheitsvektoren als Basis besonders einfach:

${\underline {v}}={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}=a\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Hier ist also

$a=v_{1},\,b=v_{2},\,c=v_{3}.$

Wie berechnen sich nun die Koeffizienten, wenn die Basis gegen eine andere eingetauscht wird?

Wir fassen nun die Basisvektoren ${\underline {a}}_{1},{\underline {a}}_{2},{\underline {a}}_{3}$, zur nxn-Matrix ${\underline {A}}$ und die Koeffizienten zum Vektor ${\underline {a}}$ zusammen und können den Vektor ${\underline {v}}$ schreiben als

${\underline {v}}={\begin{pmatrix}{\underline {a}}_{1}&{\underline {a}}_{2}&{\underline {a}}_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\underline {a}}={\underline {A}}\cdot {\underline {a}}$.

Rechnen Sie zur Übung nach, ob das äquivalent zu unserer obigen Darstellung von $v$ ist.

Es ist also

${\underline {A}}\cdot {\underline {a}}={\underline {v}}={\underline {B}}\cdot {\underline {b}}$ bzw.

${\underline {A}}\cdot {\underline {a}}={\underline {B}}\cdot {\underline {b}}$.

Wenn wir die Gleichung von links mit ${\underline {B}}^{-1}$ multiplizieren, ergibt sich für ${\underline {b}}$

${\underline {b}}={\underline {B}}^{-1}\cdot {\underline {A}}\cdot {\underline {a}}$

Invertierbarkeit

Die obige Gleichung funktioniert natürlich nur, wenn vor allem ${\underline {B}}$, aber auch letztlich, wenn ${\underline {A}}$ invertierbar sind. Wann sind sie invertierbar?

Eine Matrix ${\underline {A}}_{n\times n}$ ist invertierbar, wenn sie vollen Rang hat, d.h. wenn ihr Rang n ist.

Äquivalent dazu ist:

• Die Vektoren der Matrix A bilden eine Basis.
• Die Determinante ist ungleich Null. (Die Determinante wird hier nicht behandelt)
• Die Matrix kann durch elementare Zeilenoperationen in eine Dreiecksmatrix oder Diagonalmatrix transformiert werden.

Man nennt eine invertierbare Matrix auch regulär oder nichtsingulär.

Mit einer invertierbaren Matrix kann man also ein Gleichungssystem der Art

${\underline {A}}{\underline {x}}={\underline {b}}$

lösen und wir erhalten mit

${\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}{\underline {b}}$

genau eine Lösung. Praktisch verfährt man so, dass man A und b zu einer Matrix $({\underline {A}},\,{\underline {b}})$ zusammenfasst und diese Matrix transformiert, bis A Dreiecksgestalt hat. Will man die Lösungen sofort ablesen, transformiert man die Matrix weiter, bis statt die Einheitsmatrix entsteht. Jetzt steht rechts die Lösung ${\underline {x}}$.

$({\underline {A}},\,{\underline {b}})\rightarrow ({\underline {I}},\,{\underline {x}})$

Beispiel:

Es ist das lineare Gleichungssystem

${\begin{aligned}&I&&\,2\cdot B+1\cdot T+3\cdot K=300\\&II&&\,1\cdot B+2\cdot T+2\cdot K=240\\&III&&\,2\cdot B+1\cdot T+2\cdot K=270\end{aligned}}$

gegeben. Mit der Koeffizientenmatrix ${\underline {A}}={\begin{pmatrix}2&1&3\\1&2&2\\2&1&2\end{pmatrix}}$ erhalten wir die erweiterte Matrix ${\begin{pmatrix}2&1&3&300\\1&2&2&240\\2&1&2&270\end{pmatrix}}$, die dann ${\begin{pmatrix}1&0&0&80\\0&1&0&50\\0&0&1&30\end{pmatrix}}$ ergibt.

Kein voller Rang

Eine (mxn)-Matrix ${\underline {A}}$ ($m\neq n$) kann keinen vollen Rang haben. Hat beispielsweise ${\underline {A}}$ den Rang r, kann man durch Zeilentransformationen den oberen linken Teil von ${\underline {A}}$ in eine Einheitsmatrix mit dem Rang r erzeugen. Es ergibt sich dann die so genannte kanonische Form ${\underline {A}}*$ als

${\underline {A}}*={\begin{matrix}{\begin{matrix}\mathrm {1} &\mathrm {2} &\ldots &\mathrm {r} &\;&\mathrm {r+1} &\ldots &\mathrm {n} \end{matrix}}\\\\{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}1&0&\ldots &0&\;\\0&1&\ldots &0&\;\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\;\\0&0&\ldots &1&\;\end{matrix}}&{\begin{matrix}r_{1;r+1}&\ldots &r_{1n}\\r_{2;r+1}&\ldots &r_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\r_{r;r+1}&\ldots &r_{rn}\end{matrix}}\\\\{\begin{matrix}0&0&\ldots &0&\;\\0&0&\ldots &0&\;\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\;\\0&0&\ldots &0&\;\end{matrix}}&{\begin{matrix}0&\ldots &0\\0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0\end{matrix}}\end{bmatrix}}&{\begin{matrix}1\\2\\\vdots \\r\\\\r+1\\r+2\\\vdots \\m\end{matrix}}\\\end{matrix}}$

oder, wenn man die Blöcke als Matrizen bezeichnet

${\underline {A}}*={\begin{bmatrix}{\underline {I}}_{r\times r}&{\underline {R}}_{r\times n-r}\\{\underline {O}}_{m-r\times r}&{\underline {O}}_{m-r\times n-r}\end{bmatrix}}.$

Selbstverständlich gilt die Beziehung auch für singuläre quadratische Matrizen.

Wir wollen anhand eines Beispiel erkunden, was wir dieser kanonischen Form entnehmen können.

Es ist die Koeffizientenmatrix $A={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&0&1&0&1&0\\1&0&0&1&0&0\\1&1&2&2&3&3\end{pmatrix}}$

gegeben. Wir wollen zunächst den Rang von A ermitteln. Wir erhalten durch elementare Zeilentransformationen

$A={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\0&2&2&4&4&6\\0&0&1&-1&1&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

und sehen, dass A den Rang 3 hat. Nun werden wir diese Matrix in die kanonische Form bringen. D.h. wir transformieren A weiter, bis wir oben links eine 3x3-Matrix erhalten:

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&\;&1&0&0\\0&1&0&\;&3&1&3\\0&0&1&\;&-1&1&0\\&&&\;&&&\\0&0&0&\;&0&0&0\end{pmatrix}}$

Die erste Zeile dient nur zur Bezeichnung der Spalten und ist nicht Inhalt der Matrix. Betrachten wir nun ein lineares Gleichungssystem, das die obige Matrix A enthält:

${\begin{pmatrix}{_{\color {Green}\mathrm {x_{1}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{2}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{3}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{4}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{5}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{6}} }}\\1&2&3&4&5&6\\1&0&1&0&1&0\\1&0&0&1&0&0\\1&1&2&2&3&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}50\\10\\10\\30\end{pmatrix}}$

.

Wenn wir nun mit Hilfe elementarer Zeilentransformationen dieses System so umformen, dass A in die kanonische Form überführt wird, erhalten wir

${\begin{pmatrix}{_{\color {Green}\mathrm {x_{1}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{2}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{3}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{4}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{5}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{6}} }}\\1&0&0&1&0&0\\0&1&0&3&1&3\\0&0&1&-1&1&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\20\\0\\0\end{pmatrix}}$

.

Wir wollen nun, analog zur invertierbaren Matrix A, mit Hilfe von $I_{3\times 3}$ die Lösungen direkt ablesen:

$x_{1}=10-x_{4};$

$x_{2}=20-3\cdot x_{4}-x_{5}-3\cdot x_{6};$

$x_{3}=x_{4}-x_{5}.$

Als Lösungsvektor ergäbe das eine Basislösung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10-x_{4}\\20-3\cdot x_{4}-x_{5}-3\cdot x_{6}\\x_{4}-x_{5}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{pmatrix}}$

Man sieht, dass die Variablen $x_{4}$, $x_{5}$ und $x_{6}$ frei variierbar sind. Je nachdem, welche Werte sie annehmen, errechnen sich die Werte von $x_{1}$ bis $x_{3}$. Eine spezielle Basislösung ergibt sich, wenn man die Variablen $x_{4}$, $x_{5}$ und $x_{6}$ Null setzt. Dann erhalten wir den Lösungsvektor

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\\x_{5}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\20\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$.

Wir könnten nun andere Vektoren von $A$ zu Basisvektoren erklären und dann durch wieder die kanonische Form ermitteln. Wir ersetzen beispielsweise den Basisvektor von x3 durch einen neuen Basisvektor von x5. Dazu sortieren wir zunächst die Vektoren um, was kein Problem ist, wenn man nicht vergisst, was sie bedeuten.

$A={\begin{pmatrix}{_{\color {Green}\mathrm {x_{1}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{2}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{5}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{4}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{3}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{6}} }}\\1&0&0&1&0&0\\0&1&1&3&0&3\\0&0&1&-1&1&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Wir formen nun A* so um, dass links oben wieder die Einheitsmatrix steht. Das lässt sich hier leicht bewerkstelligen, wenn man die dritte Zeile von der zweiten subtrahiert und das Ergebnis als neue zweite Zeile einträgt:

$A={\begin{pmatrix}{_{\color {Green}\mathrm {x_{1}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{2}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{5}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{4}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{3}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{6}} }}\\1&0&0&1&0&0\\0&1&0&4&-1&3\\0&0&1&-1&1&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Wenn wir zugleich den Vektor b transformieren, erhalten wir das neue LGS

$A={\begin{pmatrix}{_{\color {Green}\mathrm {x_{1}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{2}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{5}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{4}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{3}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{6}} }}\\1&0&0&1&0&0\\0&1&0&4&-1&3\\0&0&1&-1&1&0\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{5}\\x_{4}\\x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\20\\0\\0\end{pmatrix}}$

Dass der Vektor b hier unverändert ist, ist nur Zufall.

Wir wollen nun wieder mit Hilfe von $I_{3\times 3}$ die Lösungen direkt ablesen:

$x_{1}=10-x_{4};$

$x_{2}=20-4\cdot x_{4}+x_{3}-3\cdot x_{6};$

$x_{5}=x_{4}-x_{3}.$

Als Lösungsvektor ergäbe das eine Basislösung

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{5}\\x_{4}\\x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10-x_{4}\\20-4\cdot x_{4}+x_{3}-3\cdot x_{6}\\x_{4}-x_{3}\\x_{4}\\x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}$

Eine spezielle Basislösung ergibt sich, wenn man die Variablen $x_{4}$, $x_{3}$ und $x_{6}$ Null setzt. Dann erhalten wir den Lösungsvektor

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{5}\\x_{4}\\x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\20\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$.

Eine kleine Übung:

Zeigen Sie, dass sich die letzte Lösung auch direkt ergibt, wenn man im LGS

$A={\begin{pmatrix}{_{\color {Green}\mathrm {x_{1}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{2}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{5}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{4}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{3}} }}&{_{\color {Green}\mathrm {x_{6}} }}\\1&2&5&4&3&6\\1&0&1&0&1&0\\1&0&0&1&0&0\\1&1&3&2&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{5}\\x_{4}\\x_{3}\\x_{6}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}50\\10\\10\\30\end{pmatrix}}$

die Koeffizientenmatrix A zur kanonischen Form umformt.