Management Science: Entscheidungen unter Unsicherheit

Zeitschriften-Beispiel

Der Zeitungskioskbetreiber Blätterwald bietet die Wochenzeitschrift Asti (Astrologie für Tiere) an. Er kauft die Zeitschrift für 70 Cents und verkauft sie für 2 €. Astis, die nicht verkauft werden, kann er nicht zurückgeben. Aus langjähriger Erfahrung kennt Blätterwald die Wahrscheinkeit für die Zahl der in einer Woche verkauften Zeitschriften:

Zahl der nachgefragten Zeitschriften|   64    65     66     67     68    69
Wahrscheinlichkeit                  |  0,02  0,14   0,40   0,30   0,10  0,04

Blätterwald hat die Wahl, 64 bis 69 Zeitschriften zu bestellen. Wenn er eine Zeitschrift zu viel bestellt hat, hat er einen Verlust von 70 Cents, wenn er eine Zeitschrift zu wenig bestellt hat, hat er einen Verlust von 2 €. Es soll mit der Erwartungswertmethode die optimale Bestellmenge ermittelt werden.

Die Ereignisse, die Blätterwald nicht beeinflussen kann, sind die Zahl der Zeitschriften, die in einer Woche verkauft werden. Sein Handlungsinstrumentarium ist die Zahl der bestellten Zeitschriften. Was passiert, wenn er 66 Zeitschriften bestellt? Je nach Zahl der verkauften Zeitschriften ergibt sich ein anderer Verlust. Zuerst bestimmen wir den Unterschied von verkaufter Zeitschrift zu bestellter Zeitschrift:

Zahl der nachgefragten Zeitschriften    |   64    65     66     67     68    69
Saldo bei 66 bestellten Zeitschriften   |    2     1      0     -1     -2    -3

Welchen Verlust würden Blätterwald hier jeweils machen?

Zahl der nachgefragten Zeitschriften             |   64    65     66     67     68    69
Verlust bei 66 bestellten Zeitschriften (in €)   |  1,4   0,7    0,0    2,0    4,0   6,0

Es treten allerdings die Käufe mit unterschiedlichen Häufigkeiten auf. Deshalb werden die jeweiligen Verluste noch mit der Wahrscheinlichkeit gewichtet:

Zahl der nachgefragten Zeitschriften             |   64    65     66     67     68    69
Wahrscheinlichkeit                               |  0,02  0,14   0,40   0,30   0,10  0,04
Verlust bei 66 bestellten Zeitschriften (in €)   |  1,4   0,7    0,0    2,0    4,0   6,0
Gewichteter Verlust                              |  0,028 0,098  0,0    0,6    0,4   0,24

Der durchschnittliche wöchentliche Verlust bei 66 bestellten Zeitschriften wäre dann also die Summe der gewichteten Verluste

$0,028+0,098+\ldots +0,24=1,366$

Die Erwartungswerte für die anderen Bestellmengen ergeben sich analog zu dem Beispiel und wir erhalten nun die Erwartungswerte

Zahl der bestellten Zeitschriften|   64    65     66     67     68    69
Durchschnittlicher Verlust (in €)| 4,880 2,934  1,366  0,878  1,200 1,792

Es zeigt sich, dass Herr Blätterwald seinen Verlust bei 67 bestellten Zeitschriften minimieren würde.