Maßtheorie für Einsteiger/ Messbare Funktionen

Messbare Funktion (Definition)

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Eine Funktion   deren Definitionsbereich der Messraum   und deren Bildbereich der Messraum   ist wird als messbare Funktion bezeichnet, wenn das Urbild jeder Menge aus der Bildmenge   messbar bezüglich   ist, wenn also

  für alle Mengen  

gilt [1]. Man sagt in diesem Fall auch, dass  -messbar ist.

Beispiele für messbare Funktionen

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Prüfung auf Messbarkeit mittels Erzeugendensystem

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Um zu zeigen, dass es sich bei einer Abbildung   um eine messbare Funktion handelt, müsste nach der Definition einer messbaren Funktion für jede Menge   geprüft werden, ob das Urbild   in der  -Algebra   enthalten ist.

Falls ein Mengensystem   existiert, das Erzeuger der  -Algebra   ist, vereinfacht sich die Prüfung auf Messbarkeit. Unter diesen Voraussetzungen lässt sich zeigen, dass   die Eigenschaften einer messbaren Funktion erfüllt, wenn die Urbilder   aller in   enthaltenen Mengen   in der  -Algebra   enthalten sind. Dies hat vor allen Dingen einen praktischen Nutzen, da das Erzeugendensystem einer  -Algebra im Allgemeinen wesentlich weniger Elemente enthält als die entsprechende  -Algebra. Je nach Konstellation reduziert sich die Anzahl der Mengen, bei denen geprüft werden muss, ob das Urbild in   enthalten ist daher deutlich.

Treppenfunktionen

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Approximation durch Treppenfunktionen

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Bildmaß

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Quellenangaben

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  1. Artikel zu messbaren Funktionen bei Wikipedia