Maßtheorie für Einsteiger/ Messbare Funktionen

Messbare Funktion (Definition)

Eine Funktion $f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ deren Definitionsbereich der Messraum $(X_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ und deren Bildbereich der Messraum $(X_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ ist wird als messbare Funktion bezeichnet, wenn das Urbild jeder Menge aus der Bildmenge $X_{2}$ messbar bezüglich ${\mathcal {A}}_{1}$ ist, wenn also

$f^{-1}(A_{2})\in {\mathcal {A}}_{1}$ für alle Mengen $A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}$

gilt . Man sagt in diesem Fall auch, dass $f{\mathcal {A}}_{1}{\mathcal {A}}_{2}$-messbar ist.

Prüfung auf Messbarkeit mittels Erzeugendensystem

Um zu zeigen, dass es sich bei einer Abbildung $f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ um eine messbare Funktion handelt, müsste nach der Definition einer messbaren Funktion für jede Menge $A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}$ geprüft werden, ob das Urbild $f^{-1}(A_{2})$ in der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}$ enthalten ist.

Falls ein Mengensystem ${\mathcal {T}}$ existiert, das Erzeuger der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{2}$ ist, vereinfacht sich die Prüfung auf Messbarkeit. Unter diesen Voraussetzungen lässt sich zeigen, dass $f$ die Eigenschaften einer messbaren Funktion erfüllt, wenn die Urbilder $f^{-1}(T)$ aller in ${\mathcal {T}}$ enthaltenen Mengen $T$ in der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}$ enthalten sind. Dies hat vor allen Dingen einen praktischen Nutzen, da das Erzeugendensystem einer $\sigma$-Algebra im Allgemeinen wesentlich weniger Elemente enthält als die entsprechende $\sigma$-Algebra. Je nach Konstellation reduziert sich die Anzahl der Mengen, bei denen geprüft werden muss, ob das Urbild in ${\mathcal {A}}_{1}$ enthalten ist daher deutlich.