Maßtheorie/ Konvergenzsätze

Satz (Konvergenzsatz von Fatou):

Es sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von nichtnegativen Funktionen auf einem Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$. Dann gilt:

$\liminf _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\mu (dx)\geq \int _{\Omega }\liminf _{n\to \infty }f_{n}\mu (dx)$.

Satz (Majorisierte Konvergenz):

Es sei $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von Funktionen auf einem Maßraum $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$, sodass es eine weitere nicht-negative Funktion $G$ auf dem Maßraum gibt, sodass $|f_{n}|\leq G$ fast überall gilt. Dann gilt

$f_{n}\to f$ punktweise $\Rightarrow f_{n}\to f$ in $L^{1}$.

Beweis: Die Funktion $G-f_{n}$ ist stets nichtnegativ. Daher können wir den Konvergenzsatz von Fatou anwenden:

$\liminf _{n\to \infty }\int _{\Omega }(G-f_{n})\mu (dx)\geq \int _{\Omega }\left(\liminf _{n\to \infty }G-f_{n}\right)\mu (dx)$,

ie.

$\liminf _{n\to \infty }\int _{\Omega }-f_{n}\mu (dx)\geq \int _{\Omega }\left(\lim _{n\to \infty }-f_{n}\right)\mu (dx)$,

ie.

$\limsup _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\mu (dx)\leq \int _{\Omega }f\mu (dx)$.

Die Ungleichung

$liminf_{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\mu (dx)\geq \int _{\Omega }f\mu (dx)$

wird genauso bewiesen, nur stattdessen mit der Funktion $f_{n}+G$. $\Box$