Satz (Konvergenzsatz von Fatou):
Es sei
eine Folge von nichtnegativen Funktionen auf einem Maßraum
. Dann gilt:
.
Beweis: Die Funktion
ist stets nichtnegativ. Daher können wir den Konvergenzsatz von Fatou anwenden:
,
ie.
,
ie.
.
Die Ungleichung
![{\displaystyle liminf_{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}\mu (dx)\geq \int _{\Omega }f\mu (dx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c8c9ccf6382a4f010b22bc0819954b9d866d0f)
wird genauso bewiesen, nur stattdessen mit der Funktion
.