Linearisierung von resistiven Sensoren/ Pt100

Einleitung

Definition

Die Eigenschaften eines Pt100 Widerstandes sind in der Norm DIN EN 60751 festgelegt. Die Formel von $R_{t}$ und die darin verwenden Konstanten $a$, $b$ und $c$ stammen aus dieser Norm.

Formel

Bei dem in der industriellen Messtechnik weit verbreiteten Platin-Messwiderstand Pt100 wird der Widerstand im Bereich zwischen - 200 °C und 0 °C durch ein Polynom 4. Grades

$R_{t}=100\;\Omega \cdot (1+a\cdot T+b\cdot T^{2}+c\cdot (T-100\,^{\circ }\mathrm {C} )\cdot T^{3})$

wobei

$a=3,9083\cdot 10^{-3}/^{\circ }\mathrm {C}$

$b=-5,775\cdot 10^{-7}/^{\circ }\mathrm {C^{2}}$

$c=-4,183\cdot 10^{-12}/^{\circ }\mathrm {C^{4}}$

definiert, wobei die Temperatur T die unabhängige Variable ist.

Für ein Thermometer muss entweder

• diese Gleichung nach T aufgelöst werden, was nicht ganz trivial ist oder
• man entnimmt die Temperatur einer Tabelle, die vorher angefertigt und gespeichert wurde. Dann ist - für hohe Genauigkeit - zusätzlich ein Interpolationsverfahren erforderlich.
• eine einfache linearisierte Näherung durch Korrekturterme ergänzt werden.

Diese zuletzt genannte Methode wird schrittweise erklärt.

Tabelle erzeugen

Kalkulationsblatt zur Linearisierung des Pt100

In den Spalten A und B wird der Widerstand des Pt100 mit der oben angegebenen Formel für den Temperaturbereich von -200 °C bis 0 °C berechnet. Für die Berechnung der Spalte C wird nicht die komplette Gleichung nach T aufgelöst, sondern nur der Anfangsteil, um eine lineare Näherung zu erhalten.

$R_{t}=100\;\Omega \cdot (1+a'\cdot T)$

Die Algebra liefert

$T=(R_{t}/100\;\Omega -1)/a'$

Der Parameter a' wird zunächst gleich dem Tabellenwert a =0,0039083 gesetzt, um erste Zwischenergebnisse zu erhalten. Diese werden in der Spalte C berechnet. Da die Parameter b und c in der Originalformel fast Null sind und kleine Korrekturen darstellen, sollten die Werte der Spalte C denen der Spalte A gleichen. Die Differenzen werden in Spalte D (Name: diff-0) berechnet, die Grafik zeigt einen Parabelast.

Linearität optimieren

Der einzige änderbare Wert dieser linearisierten Formel, der Parameter a' im Feld C3, wird nun gemäß folgenden Regeln variiert:

• Der Zahlenbereich der Differenzen in Spalte D soll so klein wie möglich werden.
• Die absoluten Werte dieser Spalte sind nicht ausschlaggebend, sie sollen nur möglichst gleich groß sein.
• Das Gesamtbild der Funktion darf nicht nur monoton steigen oder fallen; es sollte etwa achsensymmetrisch sein.
• Wenn alle Werte gleich sind, ist die Linearität perfekt.

Für den Pt100 wird das Optimum für a' = 0,00407 erreicht. Es ist im Bild rechts dargestellt und gleicht einer leicht schiefen Parabel. In der Funktion "Trendlinie hinzufügen" des Kalkulationsprogrammes passt die "Polynomische Regression" vom Grad drei besonders gut zur schiefen Parabel. Das Ergebnis der Regression:

$y=6\cdot 10^{-6}x^{3}-0,0025x^{2}+0,2294x-3,6131$

Die Koeffizienten werden als p, q, r und s in die Tabelle übertragen und dienen zur Berechnung des Korrekturpolynoms für jede Zeile der Spalte E. Die Ergebnisse gleichen recht gut den Erwartungswerten der Spalte A und können durch Feinabgleich von p, q, r und s weiter verbessert werden. Das kann entweder mit Versuch-und-Irrtum oder mit der eingebauten "Zielwertsuche" geschehen.

Temperaturfehler des linearisierten Pt100

Das Resultat kann sich sehen lassen: Die größte Abweichung tritt in der Mitte des Temperaturbereiches bei -90 °C auf und beträgt nur 0,019 °C - das entspricht 0,02 % und ist deutlich besser als die Genauigkeitsklassen des Pt100 angeben.

Weitere Verbesserung der Linearität

Die im Bild rechts gezeigte Abweichung der berechneten von der wahren Temperatur im Temperaturbereich von -200 °C bis 0 °C hat W-Form - ein Zeichen, dass bei der Berechnung der Trendlinie ein Polynom vierten Grades besser gewesen wäre. Die vorliegende Abweichung ist mit 0,019 °C so gering, das keine Verbesserung nötig ist. Der scharfe Knick bei 100 Ohm ist ein Indiz, dass der Gültigkeitsbereich der Ausgangsformel erreicht ist. Rechts davon nimmt der Fehler rasch zu, deshalb muss für höhere Temperaturen die andere Formel verwendet werden.

Zusammenfassung

Die Gesamtformel lautet damit in Form einer Zahlenwertgleichung:

$T=(R_{t}/100\;-1)/0,00407-(5,67\cdot 10^{-6}\cdot R_{t}^{3}-0,002498437\cdot R_{t}^{2}+0,229364156\cdot R_{t}-3,6222)$

Die Beträge der Widerstandswerte sind in Ohm einzusetzen, für das Ergebnis gilt die Einheit Grad Celsius. Mit ein wenig Algebra lässt sich die Formel zusammenfassen:

$T=-5,67\cdot 10^{-6}\cdot R_{t}^{3}+0,0024984\cdot R_{t}^{2}+2,22764\cdot R_{t}-242,078$

Das ursprüngliche Polynom 4. Grades ist verkleinert und damit leichter berechenbar geworden.

Umstellen der Gesamtformel

Die Gesamtformel lautet:

$T=(R_{t}/100\;-1)/0,00407-(5,67\cdot 10^{-6}\cdot R_{t}^{3}-0,002498437\cdot R_{t}^{2}+0,229364156\cdot R_{t}-3,6222)$

Da das Hantieren mit Zahlenwerten unübersichtlich ist, verwenden wir Variablen zum umstellen:

$T=(R_{t}/100\;-1)/a'-(p\cdot R_{t}^{3}+q\cdot R_{t}^{2}+r\cdot R_{t}+s)$

wobei

$a'=4,07\cdot 10^{-3}$

$p=5,67\cdot 10^{-6}$

$q=-2,498437\cdot 10^{-3}$

$r=229,364156\cdot 10^{-3}$

$s=-3,6222$

Die Namen der Variablen sind die gleichen wie in der Tabellenkalkulation.

Gleichung	Schritt
$T=(R_{t}/100\;-1)/a'-(p\cdot R_{t}^{3}+q\cdot R_{t}^{2}+r\cdot R_{t}+s)$	Ausmultiplizieren von ${\frac {1}{a'}}$
$T={\frac {R_{t}}{100\cdot a'}}-{\frac {1}{a'}}-(p\cdot R_{t}^{3}+q\cdot R_{t}^{2}+r\cdot R_{t}+s)$	Auflösen von $-(...)$
$T={\frac {R_{t}}{100\cdot a'}}-{\frac {1}{a'}}-p\cdot R_{t}^{3}-q\cdot R_{t}^{2}-r\cdot R_{t}-s$	Sortieren von $R_{t}^{3}$ zu $R_{t}^{0}(=1)$
$T=-p\cdot R_{t}^{3}-q\cdot R_{t}^{2}+R_{t}\cdot ({\frac {1}{100\cdot a'}}-r)-s-{\frac {1}{a'}}$	Im Nächsten Schritt definieren wir neue Konstanten, mit denen wir die Faktoren substituieren:
$T=t\cdot R_{t}^{3}+u\cdot R_{t}^{2}+v\cdot R_{t}+w$	wobei:
$t=-p$ $u=-q$ $v=-r+{\frac {1}{100\cdot a'}}$ $w=-s-{\frac {1}{a'}}$	Einsetzen
$t=-5,67\cdot 10^{-6}$ $u=2,498437\cdot 10^{-3}$ $v=-229,364156\cdot 10^{-3}+{\frac {1}{100\cdot 4,07\cdot 10^{-3}}}$ $w=3,6222-{\frac {1}{4,07\cdot 10^{-3}}}$	ausrechnen
$t=-5,67\cdot 10^{-6}$ $u=2,498437\cdot 10^{-3}$ $v=2,22764$ $w=-242,078$	Die Konstanten setzen wir nun in die Gleichung ein:
$T=-5,67\cdot 10^{-6}\cdot R_{t}^{3}+0,0024984\cdot R_{t}^{2}+2,22764\cdot R_{t}-242,078$	So erhalten wir die vereinfachte Zahlenwertgleichung.

Einzelnachweise

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