Linearisierung von resistiven Sensoren/ Einleitung

Verschiedene resistive Sensoren, welche in der elektrischen Messtechnik eingesetzt werden, weisen einen nichtlinearen Zusammenhang zwischen der zu messenden, physikalischen Größe X und dem ohmschen Widerstand R des Sensors auf. Die physikalische Größe X kann beispielsweise Temperatur wie bei Temperatursensoren, Druck bei Drucksensoren oder Helligkeit bei Fotowiderständen sein. Zwar wird bei der Herstellung und Konstruktion von resistiven Sensoren ein möglichst linearer, das heisst proportionaler Zusammenhang, zwischen Messgröße X und Widerstandswert R angestrebt, dies läßt sich jedoch nicht immer erreichen. Eine besondere Rolle insbesondere bei hohen Genauigkeitsanforderungen spielt die nichtlineare Kennlinie des Sensors, welche durch geeignete Verfahren und unter Beachtung der Genauigkeitsanforderung in einen proportionalen Zusammenhang überführt wird.

Der Zusammenhang zwischen einer allgemeinen Messgröße X und dem Widerstandswert R des Sensors im benötigten Messintervall wird als eine Funktion

$R=f(X)\,$

ausgedrückt. Im allgemeinen ist f(X) ein Polynom höheren Grades der Form

$f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},n\geq 0\,$

bei dem insbesondere die niedrigen Potenzen, wie der quadratische Anteil mit dem Koeffizienten $a_{2}$, einen dominanten Anteil aufweisen. Durch die Linearisierung wird die obige Gleichung näherungsweise, d.h. in Abhängigkeit der Genauigkeitsanforderungen, auf eine lineare Gleichung der Form

$f(x)\approx f_{p}(x)=a_{1}x+a_{0}\,$

überführt. Dazu existieren verschiedene Verfahren die im folgenden dargestellt sind.

Linearisierungswiderstand

Linearisierung einer quadratischen Sensorkennlinie (blau) mit parallelgeschaltenen, linearen Widerstand (konstanter Wert, grüne Gerade) zu der linearisierten Kennlinie in rot

Erlauben die Genauigkeitsanforderungen, dass nur der quadratische Anteil kompensiert werden muss - dabei werden höhere Potenzen aufgrund der kleinen Vorfaktoren vernachlässigt - ergibt sich eine einfache Möglichkeit nur mit einem einzigen so genannten Linearisierungswiderstand die Linearisierung direkt in der elektrischen Schaltung zu erzielen. Diese Methode ist im Kapitel Kaltleiter an einem konkreten Beispiel eines resistiven Temperatursensors durchgerechnet.

Die konkrete Art der Schaltung des Widerstandes hängt davon ab, ob der Sensor von einer Konstantspannungsquelle oder einer Konstantstromquelle gespeist wird. Im letzteren Fall wird der Linearisierungswiderstand R_lin parallel zum Sensor geschaltet, bei einer Kostantspannungsquelle in Reihe zur Spannungsquelle.

Die Größe des Linearsisierungswiderstandes, dies entspricht der Höhe der Position der grünen, waagrechten Geraden im rechts dargestellten Diagramm, hängt neben den Sensor und seiner Kennlinie R_x unter anderem vom gewählten Messbereich ab. Zur Ermittlung wird über den gesamten Messbereich von der unteren Grenze $X_{u}$ bis zur oberen Grenze $X_{o}$ eine möglichst geringere Abweichung vom idealen geraden Verlauf angestrebt. Durch geeignete Wahl des Linearisierungswiderstand R_lin lässt sich der Messfehler in den beiden Endpunkten des Messintervalls und bei der Messgröße im mittleren Bereich $X_{m}$ auf Null abgleichen, was zu der in rot dargestellten Kennlinie R_x || R_lin führt. Dazu wird der Widerstand R_lin bestimmt zu:

$\mathrm {R_{lin}={\frac {R_{m}\cdot (R_{u}+R_{o})-2\cdot R_{u}\cdot R_{o}}{R_{u}+R_{o}-2\cdot R_{m}}}} \,$

Die Werte R_u, R_m und R_o stellen den Widerstandswert des Sensors am unteren Messbereich, in der Mitte und am oberen Messbereichsende dar. Der so gebildete Linerasierungswiderstand ist sowohl bei Speisung aus einer Konstantstromquelle und Parallelschaltung als auch Speisung aus einer Konstantspannungsquelle in Reihenschaltung wertmäßig identisch. Die Widerstandsänderung im unteren Bereich der linearisierten Kennlinie Δr₁ entspricht dann der Widerstandsänderung im oberen Bereich Δr₂.

Wesentlich bei der schaltungstechnische Umsetzung bei diesem Verfahren ist das Vorzeichen des quadratischen Terms der Sensorkennlinie. Ist der Faktor des quadratischen Terms $a_{2}$ positiv, ergibt sich ein im Wert positiver Linearisierungswiderstand. Damit kann der Linearisierungswiderstand als herkömmliches Bauelement (Messwiderstand) in die Schaltung eingebaut werden. Bei manchen Sensoren wie beispielsweise den Pt100-Temperatursensoren, ist der quadratische Term negativ. Damit weist auch der Linearisierungswiderstand einen negativen Wert auf, was sich nicht mit herkömmlichen Widerständen erzielen lässt. Diese Form von negativen Widerständen werden dann als eine elektronische Schaltung, mit entsprechend höheren Schaltungsaufwand, in Form eines Negativen Impedanzkonverters realisiert.

Zurück zum Inhaltsverzeichnis