Lineare Algebra für Mechanik

Dieses Buch steht im Regal Mathematik.

Zusammenfassung des Projekts

„Lineare Algebra für Mechanik“ ist nach Einschätzung seiner Autoren zu 60 % fertig

• Zielgruppe:

Physik-Studenten in der Experimental-Physik Vorlesung Mechanik in Wikiversity

• Lernziele:

Die Leser werden eine Anfänger-Vorlesung in Mechanik mathematisch verstehen können.

• Buchpatenschaft / Ansprechperson:

Ansprechperson: astroboi Das Buch ist Grundmaterial zu dem Wikiversity-Kurs Mathematik für Mechnanik

• Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?

Es wird zunächst ein Kern-Text mit den Kern-Themen gemacht. Später sind Co-Autoren erwünscht. Zunächst bitte alle Vorschläge und Textbausteine auf die Diskussionsseite.

• Richtlinien für Co-Autoren:

Bitte sich abstimmen mit dem Wikiversity-Projekt Mathematische Methoden der Physik

• Projektumfang und Abgrenzung zu anderen Wikibooks:

Das Buch wird nur die Themen aufgreifen, die zum Verständnis einer Anfänger-Vorlesung nötig sind. Es sollen viele Beispiele und Aufgaben aufgenommen werden. Ich werde versuchen, die Begriffsbildungen physikalsch zu motivieren.

• Themenbeschreibung:

Die Themen behandeln die Mathematik so wie es die Mechanik eines Massenpunktes braucht.

• Aufbau des Buches:

Erklärungen der Grundbegriffe

In dem Teilgebiet der Mathematik, das »Lineare Algebra« heißt, haben Vektoren eine etwas andere Bedeutung als in der Physik; wir beschäftigen uns hier jedoch nur mit physikalischen Vektoren und ihrer mathematischen Behandlung. Die mathematische Fassung der Begriffe ist natürlich richtig und die physikalische Auffassung schwammig. Dafür ist die physikalische Auffassung schnell zu begreifen und eigentlich wollen wir uns ja mit Physik beschäftigen. Wir werden deswegen nur so viel mathematisches Reisegepäck mitnehmen, wie wir für das Verständnis der Physik gebrauchen können.

Die Charakterisierungen in einem mathematischen Nachschlagewerk wird ein Anfänger nicht verstehen. Tatsächlich gibt es mehrere Charakterisierungen desselben Begriffes. Wir verwenden für den Anfang naive Charakterisierungen der Grundbegriffe. Zu einem anderen Zeitpunkt werden wir den Begriffsapparat nachschärfen.

Dimension

Physikalische Größen haben Dimensionen Länge, Zeit, Kraft, Arbeit... Die SI-Einheit der physikalischen Größe Länge ist Meter mit dem Symbol m. Eckige Klammer bilden die Dimension auf die Einheit ab. Man schreibt das so: [Länge] = m. Allgemein also [Physikalische Größe]= Einheit.

Skalar

Ein Skalar ist eine Zahl wie 5, -10, i, -i, ${\sqrt {2}}$. Skalare Größenwerte haben Einheiten angehängt 7 m, 7 s, ${\sqrt {2}}V$. Die Arbeit W ist zum Beispiel ein Skalar. Aus der Schule kennt man

W = Kraft x Weg = F·s

Die Formel kann man leider nur anwenden, wenn Kraft und Weg auf einer Linie liegen. Wir lernen später ein besonderes Produkt kennen, das beschäftigt sich mit solchen Fällen: das Skalarprodukt.

Skalare nennt man auch Tensoren 0.Ordnung.

Vektor

Ein Vektor hat einen Angriffspunkt, einen Betrag und eine Richtung. Er kann durch einen Pfeil dargestellt werden, er heißt auch Vektor. Den Begriff Vektor kann man noch viel präziser fassen. Für den Anfang ist das nicht notwendig. Eine vektorielle physikalische Größe ist z.B. die Kraft mit der SI-Einheit N. Bei vektoriellen physikalischen Größen sagen wir nicht Vektorbetrag, sondern besser Größenwert. Die Kraftvektor ${\vec {F}}$ hat z.B. den Betrag 10 und den Größenwert 10 Newton.

Für ein tieferes Verständnis von Vektoren ist es unerlässlich,charakterisieren wir ein genauer

• ein Geometrisches Objekt,
• das einem Vektorraum angehört,
• das durch Koordinaten bezüglich einer Basis dargestellt werden kann,
• das aber nicht von einer bestimmten Basis abhängt, sondern unter Basiswechsel (= Koordinatentransformation) invariant bleibt.

Tensoren

Vektoren nennt man auch Tensoren 1. Ordnung. Zwischen Tensoren verschiedener Stufen kann man Gleichungen aufstellen, wenn man Proportionalitäten einbaut. Ansonsten sind Tensoren verschiedener Stufen nicht vergleichbar. Gleichungen zwischen Tensoren gleicher Stufe können proportional sein. Die Proportionalität ist ein Tensor niedrigerer Stufe.

Beispiel: Dynamische Grundgleichung

F Kraftvektor, Tensor 1.Stufe a Beschleunigungsvektor, Tensor 1.Stufe m Masse, skalar , Tensor 0.Stufe

F= m*a

Die Kraft F ist der Beschleunigung a proportional, aber nicht gleich. Beide sind Tensoren derselben Stufe. Die Gleichheit kann hergestellt werden wenn man die Beschleunigung a mit einem Tensor 0. Stufe und zwar der skalaren Masse multipliziert. Die skalare Masse ist hier die Proportionalität.

 Physikalische Gesetze als Proportionalitäten

(!Hinweis: Es handelt sich um älteren Inhalt der Wikipedia, der in der aktuellen Artikelversion anders enthalten ist!)

Exkurs:

  Tensoren verallgemeinern Begriffe für Skalar, Vektor und Matrix

(!Hinweis: Es handelt sich um älteren Inhalt der Wikipedia, der in der aktuellen Artikelversion anders enthalten ist!)

Klassifizierung physikalischer Vektoren

Freie Vektoren

Freie Vektoren können parallel zu sich selbst im Raum verschoben werden.

Linienflüchtige Vektoren

Linienflüchtige Vektoren (zum Beispiel Kräfte) sind an ihre Wirkungslinie gebunden und nur längs dieser verschiebbar.

Ortsgebundene Vektoren

Ortsgebundene Vektoren können überhaupt nicht verschoben werden. Dazu gehören die Feldvektoren, die einem bestimmten Punkt zugeordnet sind, und die Ortsvektoren, die immer im Ursprung des Basissystems beginnen.

Klassifizierung der Vektoren nach Transformationsverhalten

Vektoren kann man auch durch ihr Verhalten gegen Rauminversion klassifizieren. Eine Rauminversion ist die Spiegelung aller Raumpunkte an einem bestimmten, vorgegebenen Punkt (z.B. Koordinatenursprung).

Polare Vektoren werden negativ bei Inversion. Axiale Vektoren erhalten sich.

Frage: Wie teilst Du diese vektoriellen Größen ein ?

Kraft, Drehmoment, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Frage: Was ist ein Pseudoskalar ?

Ein Nullvektor an einen Vektor angeheftet verändert ihn nicht. Frage: Wie klassifiziert man einen Nullvektor ?

Das Transformationsverhalten von Vektoren beim Basiswechsel wird durch Matrizen vermittelt. Dabei wird eine Matrix von links an den Vektor ranmultipliziert.

Exkurs:

Transformationsverhalten bei Tensoren

Nullvektor

Ein Vektor und sein entgegengesetzter Vektor angeheftet erzeugt den Nullvektor.

Fragen:

• Gibt es Mengen von Vektoren, die man so einander heften kann, dass sie denn Nullvektor ergeben ?
• Kann man einen Vektor und einen entgegengesetzten Vektor zu einem Nullvektor aneinanderheften, wenn sie auf verschiedenen Ebenen liegen.
• Kann man eine Gruppe von Vektoren durch Strecken und Stauchen einzelner Vektoren immer zu einem Nullvektor zusammensetzen ?
• Was geschieht wenn man den Nullvektor streckt oder staucht ?

Lineare Unabhängigkeit

Wir haben eine Menge von Vektoren gegeben auf einer Ebene. Jeder Vektor wird eindeutig mit einem Index i gekennzeichnet. Jeder der Vektoren läßt sich mit einem Streckfaktor $a_{i}$ strecken oder stauchen, je nachdem ob es ein echter Bruch oder ein unechter Bruch ist.

Wenn es unmöglich ist die Vektoren durch aneinanderheften zum Nullvektor zu machen trotz Strecken und Stauchen der Vektoren, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Natürlich ist es verboten, dass alle Streckfaktoren $a_{i}$ gleichzeitig verschwinden.

Koordinatensysteme

Das bekannteste Koordinatensystem sollte das kartesische sein. Hier stehen die Hauptachsen senkrecht zueinander. Daneben gibt es schiefwinklige Koordinatensysteme. Besonders interessant sind die Koordinatensysteme mit den senkrechten Achsen, ihre Basis heißt Orthonormal-Basis (ONB). Mit der Vektoraddition können wir erst anfangen zu rechnen, wenn wir die Komponenten eines Vektors erklärt haben. In der Schule hat bestimmt jeder schon einmal das kartesische Koordinatensystem kennengelernt. Das sind einfach zwei Achsen senkrecht zueinander. Der Schnittpunkt heißt Koordinatenursprung. Wenn man einen Vektor einzeichnet, dann findet man die kartesischen Komponenten des Vektors durch das Lot auf die Abzisse und die Ordinatenachse. Die Abzisse und die Ordinatenachse sind selber Vielfache von Vektoren und zwar ganz besondere mit den Namen Einheits- und Basisvektoren. Außer den kartesischen Basisvektoren gibt es noch andere Sorten.

Kartesisches Koordinatensystem Koordinaten Polarkoordinaten Schiefwinklige Koordinaten

Übung:

Stelle den Punkt (1,1) im Kartesischen Koordinatensystem in Polarkoordinaten dar.

Einheitsvektoren

Wir können eine Schar von Vektoren auswählen. Jeder Vektor aus einer Menge soll sich durch aneinanderheften aus dieser Schar entstehen können. Diese Vektoren aus der Schar nennen wir Einheitsvektoren. Einheitsvektoren haben den Betrag 1. Orthogonale Einheitsvektoren stehen aufeinander senkrecht.

Übung: Was sind die Einheitsvektoren bei den Polarkoordinaten ?

Basis

Die Einheitsvektoren bilden eine Menge genannt Basis.

Komponentendarstellung, Koordinaten

Die Projektion eines Vektors auf einen Einheitsvektor bedeutet das Lot vom Anfangs- und Endpunkt auf den Einheitsvektor finden. Es schneidet einen Abschnitt auf dem Einheitsvektor aus. Wenn der Einheitsvektor einen Maßstab hat, kann man die Endpunkte des Abschnittes mit Skalaren bezeichnen. Ein Anfangs- und ein Endpunkt ergibt in der Ebene zwei Skalare oder ein Paar. Im Raum wäre es ein 3-Tupel mit 3 Skalaren. Die Skalare aus der Projektion des Anfangs- und Endpunktes tragen wir in ( , ,...) ein mit dem Komma als Trennzeichen.

Prototyp: Kartesisches Koordinatensystem

2D: Ebene

(0,0) , (-1,5),...

3D: Raum

(0,0,0) , (-1,4, 5),...

Die Skalare nennen wir Komponenten oder Koordinaten

Satz: (Invarianz gegenüber Basiswechsel)

Ein Vektor ist unabhängig von seiner Darstellung durch die Basis.

Koordinatensysteme auf einer gekrümmten Kurve

Allgemeine Koordinaten Koordinatenlinien Koordinatenraster Geradlinige- & Krummlinige Koordinatenlinien

In jedem Punkt einer gekrümmten Kurve kann man eine ONB konstruieren. Auf diese ONB kann man dann Ortsvektoren in dem Punkt beziehen und in Komponenten zerlegen. Natürlich ändert sich die ONB dann von Punkt zu Punkt und bewegt sich mit der Kurve mit. Das soll hier nur erwähnt werden.

Vektoren

Die Kraft F ist eine Größe mit einer Richtung und einem Betrag, solche Größen nennen wir Vektoren. Ein Skalar ist einfach eine reelle Zahl. In der Tensorsprache heißt ein Skalar auch Tensor 0.ter Ordnung und ein Vektor Tensor 1.Ordnung nur um das einmal gehört zu haben.

Ein Vektor in der Physik bedeutet etwas anderes als ein Vektor in der Mathematik. Ein physikalischer Vektor hat einen Angriffspunkt, einen Betrag und eine Richtung, in der Mathematik wird der Vektor-Begriff axiomatisch gefaßt. Wir bleiben aber im Rahmen des Buches bei dem anschaulicheren Begriff.

Damit wir mit den Vektoren etwas anfangen können, müssen wir damit Zahlen errechnen können. Anders als in der Mathematik geht es uns nicht nur um mathematische Zusammenhänge, sondern wir haben in der Physik auch Zahlwerte aus Messungen.

Elementare Rechenregeln

Gruppe der Vektoren

Wir erklären dem Leser am Anfang den Gruppenbegriff. Das Kapitel hätte auch Rechenregeln für Vektoren heißen können, aber wir erläutern den Gruppenbegriff hier, weil der Leser schon mal die Begriffe in diesem Kurs gehört haben sollte, auf die er ständig in den umfangreicheren Kurs Lineare Algebra treffen wird. Wir empfehlen dem Leser sich gründlich mit der Lineare Algebra zu beschäftigen, auch wenn sie trocken sind. Denn in der Linearen Algebra finden Begriffsbildungen statt, auf die man später immer wieder in der Mathematik zur Quantenmechanik trifft. Es erleichtert das Verständnis, wenn man da Analogie-Brücken von der Begrifflichkeit in der Linearen Algebra aus bauen kann. Übrigens ist Quantenmechanik auch eine ziemlich trockene Angelegenheit.

Die erste Gruppe der Rechenregeln, die wir für die Menge der Vektoren haben, heißt auch Gruppe. Eine Gruppe nennt man eine Menge mit gewissen Verknüpfungsregeln darauf.

Wir bezeichnen einmal die Menge der Vektoren mit V und mit der Verknüpfung + haben wir die Gruppe (V,+) der Vektoren. Das Pluszeichen steht hier für die Gruppen-Operation, im Falle der Vektoren ist das gleichbedeutend mit der Addition. Es hätte auch z.B. * stehen können.

• (G1) Abgeschlossenheit

Zwei Vektoren a und b ergeben wieder einen Vektor a+b. Es ist nicht möglich bei der Addition zweier Vektoren ein Skalar z.B. 1 zu bekommen.

• (G2) Assoziativität

Klammern zählen in der Vektoraddition nicht.

(a+b)+c = a+(b+c)

• (G3) Neutrales Element

Das neutrale Element ist der Nullvektor. Nicht verwechseln mit der Zahl 0.

Nullvektor O.

Diese drei Strukturmerkmale bei dem Paar (Menge, Operation) bilden schon den Gruppenbegriff. Wenn noch weitere Merkmale, wird die Gruppe z.B. eine kommutative Gruppe.

• (G4*)Kommutativität

Die Vektoraddition kann man vertauschen.

a+b = b+a

Die Vertauschbarkeit der Operation gegen die Gruppenelemente kann man nicht aus den drei Gruppen-Geetzen herleiten.

Zur Übung kann der Leser den ersten Satz aus den Gruppen-Gesetzen ableiten.

Satz über das Inverses Element:

Das inverse Element zu a ist erklärt a + inverses Element = neutrales Element (hier O). Das inverse Element bekommt hier das Symbol -a .

a + (-a) = O

Beweis: -> Leser

Aufgabe: Warum sind die nätürlichen Zahlen und die Operation - keine Gruppe ?

Wenn man die inversen Elemente erklärt hat, dann kann man eine abkürzende Schreibweise für die Anordnung

a+(-b) zu dem kürzeren a-b erklären. Das bekommt den neuen Namen Vektor-Subtraktion. Das ist eigentlich keine neue Operation, sondern einfach eine Abkürzung. Die Vektor-Subtraktion ist wie die Vektor-Addition erklärt.

Der Leser hat jetzt begriffen, was eine Gruppe ist. Wir werden in diesem Buch später noch weitere Gruppen kennelernen, nämlich die Gruppe der orthogonalen Drehungen; wenn wir das Koordinatensystem drehen werden.

Um den Begriff Gruppen gibt es die Gruppentheorie. Davon braucht der Leser noch nichts zu wissen.

Die nächste Gruppe der Rechenregeln erklärt die Verknüpfung mit Elementen aus einer anderen Menge als die ursprüngliche Gruppe. Wir nennen sie Multiplikation und die jetzt zusätzlich auftretende Menge nennen wir Skalarkörper. Denn es wird die Menge der reelen Zahlen sein und ihre Elemente heißen Skalare in der Vektorsprache für die richtungslosen Größen.

Die Rechenregeln dazu nennt man Körperaxiome.

• (K1) Skalarmultiplikation

Skalarprodukt

Das skalare Produkt zweier Vektoren soll ein Skalar erzeugen. Das Skalarprodukt mißt die Ähnlichkeit zweier Vektoren

Charakterisierung:

${\mathbf {V} }\cdot {\mathbf {W} }\,=V\cdot W\cdot \cos({\mathbf {V} },{\mathbf {W} }).$

Der Cosinus-Faktor bringt einen Winkel im Bogenmaß hinein. Je kolinearer die Vektoren sind desto näher ist der Cosinus an 1 dran, so ist das Ähnlichkeitsmaß zu verstehen.

Ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt heißt unitärer Raum.

Entsprechend würde ein Sinus-Faktor ausdrücken wie "verschieden" die Vektoren von der kolinearen Lage wären. Das nutzen wir bei dem vektorwertigen oder Vektorprodukt aus.

$\|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b$

Übung: Beweise die Ungleichung, indem Du die Charakterisierung des Skalarproduktes mit dem Cos-Faktor ausnutzt !

Anwendung

Für eine ortsunabhängige Kraft ${\vec {F}}$, die entlang eines geraden Weges ${\vec {s}}$ wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=F\cdot s\cdot \cos \alpha \,,$

wobei $\alpha \,$ der Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges ist und F und s die Beträge der entsprechenden Vektoren sind.

Wenn die wirkende Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges angreift und konstant ist, dann vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

$W=F\cdot s\,.$

Übung: Zerlege die Kraft ${\vec {F}}$ in einen parallelen Anteil zur Wirkungslinie also kolinear zu ${\vec {s}}$.

Der Ausdruck sollte sein

${\vec {F}}_{\|}={\frac {1}{F^{2}}}({\vec {F}}\cdot {\vec {s}}){\vec {F}}$

Kosinussatz

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

$c^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}=a^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \alpha$

Anwendungen des Skalarproduktes

Norm

Das Skalarprodukt erzeugt eine Norm ||V|| charakterisiert als

||V|| = ${\sqrt {V*V}}$

Mit der Norm können wir Vektoren normieren, indem wir den Vektor V durch seine Norm ||V|| teilen. Einheitsvektoren sind immer normiert.

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Raum.

Mit der Norm können wir Vektoren normieren, indem wir den Vektor V durch seine Norm ||V|| teilen. Einheitsvektoren sind immer normiert.

Die Norm hat immer 3 Eigenschaften

1. $\|x\|=0\;\Leftrightarrow \;x=0$ (Definitheit);
2. $\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$ (Homogenität);
3. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (die w: Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Arbeitsbegriff

Für eine ortsunabhängige Kraft ${\vec {F}}$, die entlang eines geraden Weges ${\vec {s}}$ wirkt, ist die Arbeit definiert als das Skalarprodukt

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=F\cdot s\cdot \cos \alpha \,,$

wobei $\alpha \,$ der Winkel zwischen der Richtung der Kraft und der Richtung des Weges ist und F und s die Beträge der entsprechenden Vektoren sind.

Wenn die wirkende Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges angreift und konstant ist, dann vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

$W=F\cdot s\,.$

Projektion

Eine Projektion eines Vektors x auf die Richtung eines anderen Vektors n. Diese Projektion meint das man die Anfangspunkte von a und n aneinanderheften soll. Das Lot von a auf n ergibt einen Schnittpunkt.

Die Projektion von a auf n ist ein Vektor mit den gemeinsamen Anfangspunkt von a,n und den Schnittpunkt als Endpunkt. Die Projektion gibt sozusagen den Anteil von n am Vektor a wieder.

Übung: Zerlege die Kraft ${\vec {F}}$ in einen parallelen Anteil zur Wirkungslinie also kolinear zu ${\vec {s}}$.

Der Ausdruck sollte sein

${\vec {F}}_{\|}={\frac {1}{F^{2}}}({\vec {F}}\cdot {\vec {s}}){\vec {F}}$

Kosinussatz

Kosinussatz

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$

$c^{2}=({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}=a^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+b^{2}$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \alpha$

Projektion, Norm

Satz von Schwarz

Cauchy-Schwarzscher Satz

$\|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b$

$0\leqq ({\vec {a}}+\alpha {\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}+\alpha {\vec {b}})$

$a^{2}+\alpha ^{2}b^{2}+\alpha {\vec {b}}\cdot {\vec {a}}+\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

$a^{2}+\alpha ^{2}b^{2}+2\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

$\alpha \in \mathbb {R}$

$\alpha =-{\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{b^{2}}}\in \mathbb {R}$

$0\leq a^{2}b^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}$

Satz von Thales

Übung: Zeige den Satz von Thales. Hinweis: Identifiziere dabei die Terme in $({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {a}})$ mit den geometrischen Größen im Satz.

Dreiecks-Ungleichung

Dreiecks-Ungleichung

Es muss heißen:

${\Big |}\|{\vec {a}}\|-\|{\vec {b}}\|{\Big |}\leq \|{\vec {a}}\pm {\vec {b}}\|\leq \|{\vec {a}}\|+\|{\vec {b}}\|$

$\|a-b\|\leq \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\leq a+b$

$a^{2}+b^{2}-2ab\leq a^{2}+b^{2}+2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\leq a^{2}+b^{2}+2ab$

$(a-b)^{2}\leq ({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}\leq (a+b)^{2}$ normieren

$\|-ab\leq {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\|\leq a\cdot b$

$\|a-b\|\leq \|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|\leq a+b$

Mehr in der Wikipedia zum Normierten Raum Skalarmultiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Mehrfache Produkte Normierter Vektorraum Komponentenschreibweise

Vektorprodukt

	Schon gewusst? Wie ist der Cosinus und der Sinus im Einheitskreis durch Projektionen auf die Koordinatenachsen erklärt ? Kann man einen Zusammenhang erkennen wie man die Höhenlinie beim Spat bekommt ? Kannst Du auch den Zusammenhang erkennen zwischen inneres und äußeres Produkt ?

Es heißt auch äußeres Produkt, Kreuzprodukt oder Vektorprodukt. Die Charakterisierung unterscheidet sich von dem Skalarprodukt durch die Verwendung eines Sinusfaktors. Übrigens nennt man das Skalarprodukt auch inneres Produkt.

$W=\left|{{\mathbf {U} }\times {\mathbf {V} }}\right|=||U||\cdot ||V||\cdot \sin \varphi \,=U\cdot V\cdot \sin \left({{\mathbf {U} },{\mathbf {V} }}\right).$

Sinussatz

Anwendung: das Drehmoment ${\vec {M}}$

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

Übung: Projiziere die Kraft ${\vec {F}}$ in ihren senkrechten Anteil zu dem Weg s.

Lösung sollte

${\vec {F}}_{\|}={\frac {1}{F^{2}}}{\vec {F}}\times ({\vec {s}}\times {\vec {F}}){\vec {F}}$

Kreuzprodukt

Skalarmultiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Mehrfache Produkte Normierter Vektorraum Komponentenschreibweise

Orthonormalität und Vollständigkeit des Basissystems ONB

Dass man einen Vektor so schreiben kann oder nach einer Basis entwickeln kann ist ein immer wieder auftauchendes Verfahren. Wir wenden das immer an, um bequem rechnen zu können. Am komfortabelsten ist natürlich die Rechnung in einer Basis zu machen, die möglichst einfache Koordinaten liefert. Unter den einfachen Basissystemen ist am prominentesten die orthonormalen Basissystemen, hier stehen die Basisvektoren senkrecht aufeinander, was man mit dem Skalarprodukt feststellen kann, denn das Skalarprodukt orthogonaler Basisvektoren verschwindet.

Die wichtigsten Zusammenhänge sind die Vollständigkeit- , die Orthonormalitäts-Relationen und ein Entwicklungssatz.

Orthonormalität

Das Skalarprodukt der Basisvektoren ergibt paarweise Null.

${\mathbf {e} }_{1}\cdot {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{2}\cdot {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {e} }_{3}\cdot {\mathbf {e} }_{1}=0.$

Nach der Charakterisierung des Skalarproduktes mit dem cos-Faktor stehen die Einheitsvektoren also senkrecht aufeinander. Wenn wir die Einheitsvektoren verlängern dann begrenzen sie einen rechtwinkliges Raster.

Normierung

Normierte Basisvektoren heißen Einheitsvektoren, weil die Norm 1 ist.

${\mathbf {e} }_{1}\cdot {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2}\cdot {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3}\cdot {\mathbf {e} }_{3}=1$

Vollständigkeit

Die Basisvektoren reichen aus, um den gesamten Vektorraum aufzuspannen. Die Vollständigkeitsrelation erklären wir mit dem Kroneckerdelta

$\delta$ ist das sogenannte Kronecker-Symbol. Es verschwindet, wenn die Indizes i $\not =$ j , und es ist 1 bei i = j.

$\delta ={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}i=j\\0,&{\text{wenn }}i\not =j\end{cases}}$

Der Zusammenhang mit unserem Thema steckt in der Gleichung:

$\sum _{k=1}^{3}e_{k,i}\ e_{k,j}=\delta _{ij},$

wobei der erste Index - wie schon oben - den "Namen" des Basisvektors und der zweite Index die Komponente (z.B. x-, y-, oder z-Koordinate im kartesischen Koordinatensystem) bezeichnet: $({\mathbf {e} }_{k})_{i}=e_{k,i}$

Entwicklungssatz

Jeder Vektor kann in der orthonormierten Basis dargestellt werden. Orthonormiert ist ein Kunstwort aus normiert und orthogonal.

${\mathbf {V} }=\left({V_{1},\,V_{2},\,V_{3}}\right)={\mathbf {V} }_{1}+{\mathbf {V} }_{2}+{\mathbf {V} }_{3}=V_{1}{\mathbf {e} }_{1}+V_{2}{\mathbf {e} }_{2}+V_{3}{\mathbf {e} }_{3}.$

Die Darstellung eines Vektors in einem ONB ist eindeutig. ONS steht Orthonormiertes Basis-System.

Die Komponenten/Koordinaten eines Vektors $\mathbf {a}$ bezeichnen wir mit einem angehängten Index $a_{1}$, $a_{2}$ oder $a_{3}$. Dabei bedeuten sie das Produkt aus dem Skalarprodukt Vektor $\mathbf {a}$ mit dem Basisvektor ${\mathbf {e} }_{i}$, i= 1,2,3.

$a_{i}=\mathbf {a} \cdot {\mathbf {e} }_{i}$

Die Darstellung des Vektors a in der Basis wird dann zu einer Summe.

$\mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\ {\mathbf {e} }_{i}=a_{1}\ {\mathbf {e} }_{1}+a_{2}\ {\mathbf {e} }_{2}+a_{3}\ {\mathbf {e} }_{3}$

Zusammenhang mit Vollständigkeit:

Setzt man nun in den Audruck für die k-te Komponente des Vektors $\mathbf {a}$ den obigen Ausdruck für die Koordinaten $a_{i}$ ein, so erhält man:

$({\mathbf {a} })_{k}=a_{k}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}\ ({\mathbf {e} }_{i})_{k}=\sum _{i=1}^{3}(\mathbf {a} \cdot {\mathbf {e} }_{i})\ ({\mathbf {e} }_{i})_{k}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}a_{j}\ e_{i,j}\ e_{i,k}=\sum _{j=1}^{3}a_{j}\sum _{i=1}^{3}e_{i,j}\ e_{i,k}=\sum _{j=1}^{3}a_{j}\ \delta _{jk}=a_{k}$

Beim vorletzten Gleichzeichen wurde die Vollständigkeitsrelation verwendet. Das heißt, dass ein Vektor nur dann vollständig nach einer Basis entwickelt werden kann, wenn die Basisvektoren die Vollständigkeitsrelation erfüllen.

Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung

Wir zeigen, wie man mit die Vektor-Operationen rechnet in der Komponentendarstellung. Wir tun das für das kartesische (kanonische) Basissystem.

Summe und Differenz zweier Vektoren

Man addiert zwei Vektoren, indem man bei gleicher Basis ihre skalaren Komponenten addiert.

$e_{i}\cdot (a+b)=a_{i}+b_{i}=c_{i}$ für i = 1,2,3

$c=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3})$

Addition und Subtraktion

Die Summe der beiden Vektoren

${\vec {a}}=a_{1}{\vec {i}}+a_{2}{\vec {j}}+a_{3}{\vec {k}}\ \mathrm {und} \ {\vec {b}}=b_{1}{\vec {i}}+b_{2}{\vec {j}}+b_{3}{\vec {k}}$

berechnet sich als:

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{1}+b_{1}){\vec {i}}+(a_{2}+b_{2}){\vec {j}}+(a_{3}+b_{3}){\vec {k}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$.

Skalarprodukt zweier Vektoren

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist die Summe der Komponentenprodukte

$(a\cdot b)$

= $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}e_{i})$ $\sum _{j=1}^{3}(a_{j}e_{j})$

= $\sum _{i,j=1}^{3}(a_{i}b_{j})(e_{i}e_{j})$

= $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}b_{j})\delta _{i}j$

$(a\cdot b)$ = $\sum _{i=1}^{3}(a_{i}b_{i})$

$\delta$ ist das sogenannte Kronecker-Symbol. Es verschwindet, wenn die Indizes i :$\not =$ j , und es ist 1 bei i = j.

$\delta ={\begin{cases}1,&{\text{wenn }}i=j\\0,&{\text{wenn }}i\not =j\end{cases}}$

Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als inneres Produkt

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

Die Wurzel daraus ist die Norm des Vektors $\|a\|$.

Vektorprodukt zweier Vektoren

Rechtssystem

Diese Formeln charakterisieren ein Rechtssstem.

${\begin{matrix}{\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3},\quad \,\,\,{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {e} }_{1},\quad \,\,\,{\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2},\\{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{1}=-{\mathbf {e} }_{3},\quad {\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{2}=-{\mathbf {e} }_{1},\quad {\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{3}=-{\mathbf {e} }_{2},\\{\mathbf {e} }_{1}\times {\mathbf {e} }_{1}={\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{2}={\mathbf {e} }_{3}\times {\mathbf {e} }_{3}={\mathbf {0} }.\end{matrix}}$

Diese Formeln für die Basisvektoren in der ONB haben die angenehme Eigenschaft, dass man das Kreuzprodukt recht einfach auf eine komponentenweise Berechnung der Koordinaten zurückführen kann.

Das Prinzip ist wie beim Skalarprodukt.

Vergleich:

a =$\sum _{i=1}^{3}a\cdot e_{i}$ = $a\cdot e_{1}+a\cdot e_{2}+a\cdot e_{3}$

Hier hatten wir die Projektionen auf die Richtung der $e_{i}$ aufsummiert. Nun müssen wir für das Kreuzprodukt $a\times b$ den entstehenden Vektor auf die Richtungen von $e_{i}\times e_{j}$ projizieren und dann die Projektionen aufsummieren. Es sind die Richtungen zu berechnen auf das wir den Produktvektor $a\times b$ projizieren wollen.

Die Kreuzprodukte der Faktoren sind einfach und bilden auf die Koordinaten des Produktvektors ab, wie man an der rechten Seite erkennt.

$e_{1}\times e_{2}=e_{3}$ ,

$e_{2}\times e_{3}=e_{1}$ ,

$e_{3}\times e_{1}=e_{2}$

Es ist nur noch die Projektion zu leisten, dass wir zur Vorbereitung mit einem Basisvektor vornehmen.

$e_{i}\cdot (e_{j}\times e_{k})$ =: $\varepsilon _{ijk}$

Dieses Produkt ist das bekannte Spatprodukt aus den Basisvektoren und ist eine Prominente. Epsilon-Tensor - total antisymmetrischer Tensor. Ein Hinweis darauf, dass die Basis ein Rechtssystem ist.

$\varepsilon _{ijk\dots }={\begin{cases}+1&{\text{falls }}(i,j,k,\dots ){\text{ eine gerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\text{ ist,}}\\-1&{\text{falls }}(i,j,k,\dots ){\text{ eine ungerade Permutation von }}(1,2,3,\dots ){\text{ ist,}}\\0&{\text{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}}\end{cases}}$

Kreuzprodukt

Damit fassen wir die Kreuzprodukte der Basis-Vektoren übersichtlich zusammen

$(e_{i}\times e_{j})$ = $\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}e_{k}$

Mit dem Kreuzprodukt der Basis-Vektoren können wir nun auch komponentenweise das Kreuzprodut anschreiben.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\vec {e_{i}}}=\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\vec {e_{k}}}$

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\;.$

Das ist im Grunde eine Kurzdarstellung der drei Komponenten-Gleichungen

$c_{1}$ = $a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}$ = $a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}$ = $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Das soll der Leser selber mit den obigen Formeln nachrechnen, um den Umgang mit dem $\varepsilon _{ijk}$ zu lernen. Später werden wir diese Fertigkeit bei Beweisen gut gebrauchen können.

Epsilon-Tensor

Das Spatprodukt

Das Spatprodukt kann man einfach formulieren mit den früheren Formeln für das Kreuzprodukt

$a\cdot (b\times c)$

=$\sum _{i,j,k}\color {blue}a_{i}b_{j}c_{k}\color {red}e_{i}\cdot (e_{j}\times e_{k})$

=$\sum _{i,j,k}\color {red}\varepsilon _{i,j,k}\color {blue}a_{i}b_{j}c_{k}$

Eine wichtige Eigenschaft des Spatproduktes ist, das man $\times$ und $\cdot$ vertauschen kann.

Nachrechnen am Epsilon-Tensor !

Das Spatprodukt ist positiv, wenn die Permutation gerade ist und negativ falls ungerade.

Die Reihenfolge der Indizes ist {1,2,3}. Die Reihenfolge kann auch vertauscht sein {2,1,3}, hier ist genau eine Vertauschung der Indizes mit seinem Nachbarn geschehen. Die Permutation ist deswegen ungerade. Wenn ich bei {2,1,3} 1 -> 3 vertausche entsteht die gerade Permutation {2,3,1}.

Zyklische Vertauschung meint im Uhrzeigersinn vertauschen. Antizyklische Vertauschung gegen den Uhrzeigersinn. Dabei schreib man zuerst den Index 1 an im Uhrzeigersinn den Index 2 und dann den Index

Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der antizyklischen Vertauschung ein Vorzeichenwechsel auf:

$\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=-\left({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}\right)$

Zwei gleiche Vektoren lassen ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$ verschwinden:

$\left({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}}\right)=0$

Sonst gelten die vertrauten Eigenschaften von Produkten.

Skalare Multiplikation $\alpha \in \mathbb {R}$ ist assoziativ:

$\left(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=\alpha \cdot \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)$

Distributiv:

$\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}+{\vec {d}}\right)=\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)+\left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {d}}\right)$

Spatprodukt

Vektorprodukt dreier Vektoren (»Entwicklungssatz«)

Wir brauchen die k-te Komponente des doppelten Vektorproduktes a x (b x c). Für uns sind das zwei Vektorprodukte

${\color {Blue}a}\times {\color {Red}(b\times c)}$

Jedes läßt sich mit dem $\epsilon _{i}jk$ Tensor in eine Komponenten-Gleichung schreiben

$[a\times (b\times c)]_{k}$

= $\sum _{i,j}a_{i}(b\times c)_{j}$

= $\sum _{i,j}\sum _{l,m}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmj}a_{i}b_{l}c_{m}$

= $-\sum _{i,j}\sum _{l,m}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{jlm}a_{i}b_{l}c_{m}$

Mit der Formel

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{jlm}$ = $\delta _{il}\delta _{km}-\delta _{im}\delta _{kl}$

Die Herkunft dieser Formel erleben wir in den Übungen. Setze Sie an dieser Stelle einfach ein ohne sich Gedanken zu machen.

$[a\times (b\times c)]_{k}$

= $\sum _{i,l,m}a_{i}b_{l}c_{m}(\delta _{i,m}\delta _{k,l}-\delta _{i,l}\delta _{k,m})$

= $\sum {i}(a_{i}b_{k}c_{i}-a_{i}b_{i}c_{k})$

= $b_{k}(a\cdot c)-c_{k}(a\cdot b)$

= $[b(ac)-c(ab)]_{k}$

Die Merkregel dafür ist einprägsam und hat einen Namen Bac-cab-Regel

Vektoriell ist dies auch als die Graßmann-Identität bekannt:

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {c}}$

Jacobi-Identität

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}$

Lagrange-Identität

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {d}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})({\vec {b}}\cdot {\vec {d}})-({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})({\vec {a}}\cdot {\vec {d}})$

Matrizen

Koordinatentransformation

$e_{1},e_{2},e_{3}$

${\vec {r}}$ = $(x_{1},x_{2},x_{3})$ in $\sum$

${\vec {r}}$ = $(x_{1},x_{2},x_{3})$ in ${\overline {\sum }}$

$\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\vec {e}}_{j}$ = $\sum _{j=1}^{3}{\overline {x}}_{j}{\vec {e}}_{j}$

${\vec {e}}_{j}$ = $\sum _{j=1}^{3}d_{jk}{\vec {e}}_{k}$

${\vec {e}}_{j}$ = $\sum _{k}d_{jk}{\vec {e}}_{k}$

$d_{jm}$ = ${\vec {e}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{m}=cos\phi _{jm}$

$D={\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}&d_{13}\\d_{21}&d_{22}&d_{23}\\d_{31}&d_{32}&d_{33}\end{pmatrix}}$

${\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}=\delta _{ij}=\sum _{k,m}d_{ik}d_{jm}({\vec {e}}_{k}\cdot {\vec {e}}_{m}=\sum _{m}d_{im}d_{jm})$

$\sum _{m}d_{im}d_{jm}=\sum _{m}cos(\phi _{im})\cdot cos(\phi _{jm})=\delta _{ij}$

${\overline {x}}_{i}=\sum _{j=1}^{3}x_{j}({\vec {e}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{i})=\sum _{j=1}^{3}cos\phi _{ij}x_{j}$; i= 1,2,3

${\begin{pmatrix}{\overline {x}}_{1}\\{\overline {x}}_{2}\\{\overline {x}}_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}&d_{13}\\d_{21}&d_{22}&d_{23}\\d_{31}&d_{32}&d_{33}\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ $\Longleftrightarrow$ ${\vec {r}}$ (${\overline {\sum }}$) = $D\cdot {\vec {r}}(\sum )$

$D^{-1}D=DD^{-1}=E$

$D^{-1}{\vec {r}}$ (${\overline {\sum }}$) = $D^{-1}D{\vec {r}}$ ($\sum$) = $E{\vec {r}}$ ($\sum$)

$D^{-1}$ ${\begin{pmatrix}{\overline {x}}_{1}\\{\overline {x}}_{2}\\{\overline {x}}_{3}\end{pmatrix}}$ = $D^{-1}D$ ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = E ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

$x_{i}=\sum _{j=1}{\overline {x}}_{j}({\overline {\vec {e}}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{i})$ = $\sum _{j=1}^{3}cos\phi _{ji}{\overline {x}}_{j}$ i = 1,2,3

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}d_{11}&d_{12}&d_{13}\\d_{21}&d_{22}&d_{23}\\d_{31}&d_{32}&d_{33}\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}{\overline {x}}_{1}\\{\overline {x}}_{2}\\{\overline {x}}_{3}\end{pmatrix}}$ $\Longleftrightarrow$ ${\vec {r}}(\sum )$ = $D^{-1}{\vec {r}}$ (${\overline {\sum }}$)

$D^{-1}=D^{T}=((d_{ij}^{-1}=d_{ji})$

$\delta _{ij}$ = $\sum _{m}d_{im}(d^{-1})_{mj}=\sum d_{im}d_{jm}$

$\delta _{ij}$ = $\sum _{m}(d^{-1})_{im}d_{mj}=\sum d_{mi}d_{mj}$

Determinanten

Rechenregeln für Determinanten

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende $1\times 1$-Matrix $A$ ist

$\det(A)=\det {\begin{pmatrix}a_{11}\end{pmatrix}}=a_{11}$

Geometrische Deutun: Parallelogramm-Fläche

Ist $A$ eine $2\times 2$-Matrix, dann ist

$\det(A)=\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

Geometrische Deutung: Spatvolumen

Für eine $3\times 3$-Matrix $A$ gilt die folgende Formel:

$\det(A)=\det {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$

Will man diese Determinante von Hand berechnen, so stellt die w: Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

Epsilontik

Zwischen dem Epsilon-Tensor und dem Kronecker-Delta gilt die Beziehung

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}=\delta _{il}\delta _{jm}\delta _{kn}+\delta _{im}\delta _{jn}\delta _{kl}+\delta _{in}\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{im}\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{il}\delta _{jn}\delta _{km}-\delta _{in}\delta _{jm}\delta _{kl}$

Übung: Zeige dass gilt

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}$

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}=6$

(wiederum mit Summenkonvention). Sie ist nützlich bei der Vektorrechnung im $\mathbb {R} ^{3}$.

Die Determinante einer $n\times n$-Matrix $A=\left(A_{ij}\right)$ kann mit dem Levi-Civita-Symbol und der Summenkonvention wie folgt geschrieben werden:

$\det A=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}\dots A_{ni_{n}}\;.$

• Berechne:

Die Determinante dieser Matrix

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

• Berechne das Kreuzprodukt

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

• Berechne das Spatprodukt

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Inverse Matrix

Als inverse Matrix $A^{-1}$ wird die Matrix bezeichnet, die die Beziehung

$A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$

erfüllt. In diesem Fall wird $A$ als invertierbar oder auch regulär bezeichnet. Aufgrund der Kommutativität der obigen Beziehung ist $A$ in jedem Fall eine quadratische Matrix. Die inverse Matrix einer quadratischen Matrix $A$ existiert genau dann, wenn die Determinante dieser Matrix nicht verschwindet, wenn also $det(A)\neq 0$ gilt.

Die Berechnung der inversen Matrix kann mittels des Verfahrens von Gauß-Jordan erfolgen. Hierzu wird die Matrix durch Addition und Subtraktion einzelner Zeilen der Matrix mit anderen Zeilen der Matrix sowie Multiplikation und Division einzelner Zeilen mit passenden reellen Zahlen in die Einheitsmatrix umgeformt (dies ist im Fall einer invertierbaren Matrix stets möglich). Indem nun die gleichen Rechenschritte (Addition und Subtraktion einzelner Zeilen sowie Multiplikation und Division einzelner Zeilen mit reellen Zahlen), die zur Umformung der Matrix in die Einheitsmatrix nötig waren auf eine Einheitsmatrix angewandt werden, ergibt sich die inverse Matrix aus der auf diese Weise umgeformten Einheitsmatrix:

${\begin{pmatrix}a_{11}&...&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\a_{n1}&...&...&a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&...&...&0\\0&1&...&...&\\...&...&...&...&...\\...&...&...&1&0\\0&...&...&0&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&0&...&...&0\\0&1&...&...&\\...&...&...&...&...\\...&...&...&1&0\\0&...&...&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{11}&...&...&b_{1n}\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\b_{n1}&...&...&b_{nn}\end{pmatrix}}$

Es gilt:

${\begin{pmatrix}a_{11}&...&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\a_{n1}&...&...&a_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{11}&...&...&b_{1n}\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\b_{n1}&...&...&b_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&...&...&0\\0&1&...&...&\\...&...&...&...&...\\...&...&...&1&0\\0&...&...&0&1\end{pmatrix}}$

Beispiel

Gegeben sei die quadratische Matrix ${\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}$. Offensichtlich lässt sich diese Matrix durch Subtraktion der zweiten Zeile von der ersten Zeile und anschließendes Dividieren der ersten Zeile durch 2 in die Einheitsmatrix umformen. Wendet man die selben Rechenschritte (Subtraktion der zweiten Zeile von der ersten Zeile und anschließendes Dividieren der ersten Zeile durch 2) auf die Einheitsmatrix an, ergibt sich die inverse Matrix: ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}\rightarrow {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&1\end{pmatrix}}$.

Wie man sofort nachrechnen kann ist ${\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$.

Koordinatensysteme

Koordinatenlinien

Alle Koordinatensysteme haben etwas gemeinsam. Sie "überziehen" die Zeichenebene mit einem Muster aus Linien, den Koordinatenlinien. Eine Koordinatenlinie fixen Koordinate und eine veränderliche Koordinate. Die Koordinatenlinien bilden Muster "Koordinaten-Raster". Es erinnert an Längen- und Breitengrade.

Im Fall kartesischer und schiefwinkeliger Koordinaten sind alle Koordinatenlinien gerade. Der Koordinaten-Raster besteht aus zwei Scharen von zueinander parallelen Geraden. Diese Koordinaten werden daher geradlinig genannt.

Polarkoordinaten sind ein Beispiel für krummlinige Koordinaten. Ihre Koordinatenlinien sind

einerseits alle Strahlen ( = Halbgeraden) durch den Ursprung (jene Linien, entlang derer sich der Wert der Koordinate $\phi$ nicht ändert),

andererseits alle Kreise um den Ursprung (jene Linien, entlang derer sich der Wert der Koordinate r nicht ändert).

Für diese Koordinaten macht der Begriff der Achsen überhaupt keinen Sinn!

Probleme können eine typische Symmetrie haben und in einem angepassten Koordinatensystem einfacher berechnet werden.

Die Koordinaten eines Punktes in Bezug auf ein Koordinatensystem können in jene bezüglich eines anderen Koordinatensystems umgerechnet werden. Man spricht dann von einer Koordinatentransformation.

Jacobideterminante

Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z. B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird Funktionaldeterminante genannt.

Für den Fall $m=n$ ist $f$ eine $n\times n$-Abbildung und die Jacobi-Matrix ist quadratisch. Hierfür kann man dann die Jacobi-Determinante berechnen.

Diese Determinante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion $f$ in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Jacobideterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $p$ nicht null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von $p$ invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in $p$ die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Jacobideterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt $p$ gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von $p$ expandiert oder schrumpft.

Die Jacobi-Matrix (nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix genannt) einer differenzierbaren Funktion $f\colon {\mathbb {R} ^{n}}\to {\mathbb {R} ^{m}}\,\!$ ist die $m\times n$-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Genutzt wird sie z. B. in der näherungsweisen Berechnung/Approximation oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Die Jacobi-Matrix bildet die Matrix-Darstellung der ersten Ableitung der Funktion $f$. Sie wird mit $J_{f}$, $Df$ oder ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ bezeichnet.

Bezeichnet man die Koordinaten im Urbildraum $\mathbb {R} ^{n}$ mit $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ und die Komponentenfunktionen von $f$ mit $f_{1},\dots ,f_{m}$, so lautet die Jacobi-Matrix

$J_{f}=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$,

beziehungsweise ausführlich

$J_{f}={\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.$

Sie kann, wenn man sie für einen Punkt $p=(p_{1},\dots ,p_{n})$ ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von $f$ in der Nähe von $p$ verwendet werden:

$f(x_{1},\dots ,x_{n})\approx f(p_{1},\dots ,p_{n})+J_{f}(p_{1},\dots ,p_{n}){\begin{pmatrix}x_{1}-p_{1}\\\vdots \\x_{n}-p_{n}\end{pmatrix}}.$

Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).

Für $m=1$ entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradienten von $f$. Je nach Definition des Gradienten, der manchmal als Zeilenvektor und manchmal als Spaltenvektor definiert wird, unterscheidet sich jedoch in diesem Fall die Jacobi-Matrix als Zeilenvektor vom Gradienten.

Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten.

Beispiel

Zylinderkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten ($r$, $\varphi$, $h$) in kartesische Koordinaten lauten:

$x=r\cos \varphi$

$y=r\sin \varphi$

$z=h$

Die Funktionaldeterminante lautet also:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\varphi ,h)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\\sin \varphi &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r.$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $\mathrm {d} V$:

$\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\varphi ,h)}}\right|\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} h=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} h.$

Genauso gut hätte man eine andere Reihenfolge der Polarkoordinaten wählen können. Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,h,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &0&-r\sin \varphi \\\sin \varphi &0&r\cos \varphi \\0&1&0\end{vmatrix}}=-r.$

In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der Betrag der Determinante ein, also ist das Ergebnis dann unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.

Kugelkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten ($r,\theta ,\varphi$) in kartesische Koordinaten lauten:

$x=r\sin \theta \cos \varphi$,

$y=r\sin \theta \sin \varphi$ und

$z=r\cos \theta \quad$.

Die Funktionaldeterminante lautet also:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $\mathrm {d} V$:

$\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

Zylinderkoordinaten

Polarkoordinaten

Für die Umrechnung von ebenen Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten gilt demnach:

$x=r\cdot \cos \varphi$

$y=r\cdot \sin \varphi$

${\vec {r}}=r\,\cos \varphi \,{\vec {e}}_{x}+r\,\sin \varphi \,{\vec {e}}_{y}$

Winkels im Intervall (−π, π]

Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0\end{cases}}$

Winkels im Intervall [0, 2π)

Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi '={\begin{cases}\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0\\2\pi -\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0\end{cases}}$

Wenn man ein kartesisches Koordinatensystem so ausrichtet, dass die z-Achsen zusammenfallen und die x-Achse in Richtung $\varphi =0$ zeigt, dann ergeben sich die folgenden Umrechnungsformeln:

$x=\rho \,\cos \varphi$

$y=\rho \,\sin \varphi$

$z=z\quad$

Für die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten ergeben sich für $\rho \,$ und $\varphi$ die gleichen Formeln wie bei den Polarkoordinaten.

Polarkoordinaten

Für die Umrechnung von ebenen Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten gilt demnach:

$x=r\cdot \cos \varphi$

$y=r\cdot \sin \varphi$

${\vec {r}}=r\,\cos \varphi \,{\vec {e}}_{x}+r\,\sin \varphi \,{\vec {e}}_{y}$

Winkels im Intervall (−π, π]

Mit Hilfe des Arkuskosinus kommt man mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0\end{cases}}$

Winkels im Intervall [0, 2π)

Die Formel mit dem Arkuskosinus kommt auch in diesem Fall mit nur zwei Fallunterscheidungen aus:

$\varphi '={\begin{cases}\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0\\2\pi -\arccos {\frac {x}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0\end{cases}}$

Kugelkoordinaten

Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten

${r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$;

${\varphi }={\begin{cases}\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y\geq 0,\\[,5em]2\pi -\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ y<0;\end{cases}}$

${\theta }=\operatorname {arccot} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\ =\ {\frac {\pi }{2}}-\arctan {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$.

Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen

$x=r\sin \theta \cos \varphi$

$y=r\sin \theta \sin \varphi$

$z=r\cos \theta \quad$.