Körper stellen eine Struktur bereit, auf der sich die Operationen Addition und Multiplikation durchführen lassen. Dies impliziert durch Existenz von additiven und multiplikativen Inversen auch die Subtraktion und die Division.
Ein Körper
K
{\displaystyle K}
+
:
K
×
K
→
K
{\displaystyle +\colon K\times K\to K}
⋅
:
K
×
K
→
K
{\displaystyle \cdot \colon K\times K\to K}
(
K
,
+
)
{\displaystyle (K,+)}
(
K
∖
{
0
}
,
⋅
)
{\displaystyle (K\setminus \{0\},\cdot )}
a
,
b
,
c
∈
K
{\displaystyle a,b,c\in K}
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}
Ein Körper
K
{\displaystyle K}
endlich , falls
|
K
|
<
∞
{\displaystyle |K|<\infty }
Die Mengen
Q
,
R
{\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} }
Die Menge der ganzen Zahlen
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
keinen Körper, denn etwa zu
2
∈
Z
∖
{
0
}
{\displaystyle 2\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
F
2
:=
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbb {F} _{2}:=\{0,1\}}
+
:
F
2
×
F
2
→
F
2
,
(
0
,
0
)
↦
0
,
(
0
,
1
)
↦
1
,
(
1
,
0
)
↦
1
,
(
1
,
1
)
↦
0
{\displaystyle +\colon \mathbb {F} _{2}\times \mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2},(0,0)\mapsto 0,(0,1)\mapsto 1,(1,0)\mapsto 1,(1,1)\mapsto 0}
⋅
:
F
2
×
F
2
→
F
2
,
(
0
,
0
)
↦
0
,
(
0
,
1
)
↦
0
,
(
1
,
0
)
↦
0
,
(
1
,
1
)
↦
1
{\displaystyle \cdot \colon \mathbb {F} _{2}\times \mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2},(0,0)\mapsto 0,(0,1)\mapsto 0,(1,0)\mapsto 0,(1,1)\mapsto 1}
