Lineare Algebra: Allgemeine Vektorräume: Homomorphiesatz und Isomorphiesätze

1. Homomorphiesatz

Seien $U_{1}$ und $U_{2}$ Unterräume eines Vektorraumes. Dann ist

$U_{1}/(U_{1}\cap U_{2})\simeq (U_{1}+U_{2})/U_{2}$

Beweis

Die Abbildung (mit erste Abbildung: Inklusionsabbildung und zweite Abbildung: kanonischer Homomorphismus)

$\varphi :U_{1}\rightarrow U_{1}+U_{2}\rightarrow (U_{1}+U_{2})/U_{2}$

ist surjektiv, denn $\varphi (u_{1})=u_{1}+U_{2};u_{1}\in U_{1}$.

Aus $\varphi (x)=0$ folgt $x\in U_{2}$ somit ist $ker\varphi =U_{1}\cap U_{2}$. Aus dem Homomorphiesatz folgt dann

$U_{1}/(U_{1}\cap U_{2})=U_{1}/ker(\varphi )\simeq im(\varphi )=(U_{1}+U_{2})/U_{2}$

2. Isomorphiesatz

Seien $U_{1}\subseteq U_{2}$ Unterräume eines Vektorraums $U_{3}$. Dann gilt

$(U_{3}/U_{1})/(U_{2}/U_{1})\simeq U_{3}/U_{2}$