Komplex-differenzierbare Funktionen/ Struktur einer holomorphen Abbildung nahe einem bestimmten Punkt

Satz (Analytizität eindimensionaler holomorpher Funktionen):

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen und $f:U\to \mathbb {C}$ holomorph. Es sei ferner $z_{0}\in U$. Wenn dann die abgeschlossene Kreisscheibe ${\overline {B_{r}(z_{0})}}$ in $U$ enthalten ist, so gibt es eine Potenzreihenentwicklung

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n}$ (wobei die $c_{n}\in \mathbb {C}$ gewisse Konstanten sind, siehe unten),

die in $B_{r}(z_{0})$ konvergiert. Überdies gelten die Formeln

$c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz$.

Beweis: Die Cauchy-Integralformel besagt, dass

$\forall z\in B_{r}(z_{0}):f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{w-z}}dw$.

Da aber in dieser Situation $|w-z_{0}|>|z-z_{0}|$ ist, wissen wir, dass die geometrische Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}\right)^{n}={\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}$

konvergiert. Dies hilft uns, denn es gilt

${\frac {1}{w-z}}={\frac {1}{w-z_{0}-(z-z_{0})}}={\frac {1}{w-z_{0}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{w-z_{0}}}}}$.

Wir setzen dies nun in die Cauchyformel ein und erhalten aus dem Satz von Fubini‒Tonelli, dass

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-z_{0})^{n}\overbrace {{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{r}(z_{0})}{\frac {f(w)}{(w-z_{0})^{n+1}}}dw} ^{=:c_{n}}$. $\Box$

Satz (Satz von Liouville in einer Dimension):

Sei $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine ganze Funktion, und sei $n\in \mathbb {N}$, sodass (in Bachmann-Notation) $f(z)\in O(|z|^{n})$ für $|z|\to \infty$ ist. Dann ist $f$ ein Polynom vom Grad $n$.

Beweis: Da $f$ holomorph auf ganz $\mathbb {C}$ ist, können wir es in eine Potenzreihe um Null entwickeln, die auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$, wobei $c_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{r}(0)}{\frac {f(z)}{z^{k+1}}}dz$.

Es sei nun $k>n$. Dann gilt, da die Integralformeln für die Koeffizienten der Potenzreihe von $f$ für alle $r>0$ richtig sind:

$|c_{k}|\leq \ell (\partial B_{r}(0))C\max _{|z|=r}{\frac {|z|^{n}}{|z|^{k+1}}}$ für $|z|$ hinreichend groß,

wobei $C>0$ die Konstante aus der Bachmann-Notation $f(z)\in O(|z|^{n})$ ist. Setzt man die Formel für den Umfang eines Kreises des Radius $r$ ein und benutzt, dass $k+1\geq n+2$, so erhält man

$|c_{k}|\leq 2\pi {\frac {1}{r}}$.

Da dies für alle $r>0$ gilt, ist der Satz bewiesen. $\Box$

Satz (Riemannscher Hebbarkeitssatz):

Es sei $S\subseteq \mathbb {C}$ eine Teilmenge der komplexen Zahlenebene, und es sei $z_{0}\in S$ ein Punkt. Ferner sei $f:S\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Wenn es eine offene Umgebung $U$ von $z_{0}$ gibt, auf welcher $f$ beschränkt ist, dann kann $f$ holomorph auf ganz $S$ erweitert werden.

Beweis: Wir betrachten die Funktion

$g(z):={\begin{cases}(z-z_{0})^{2}f(z)&z\neq z_{0}\\0&z=z_{0}\end{cases}}$,

die also auf ganz $S$ definiert ist. $g$ ist holomorph, denn

$\lim _{h\to 0}{\frac {g(z_{0}+h)-g(z_{0})}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h^{2}g(z_{0}+h)}{h}}=0$.

Da sehen wir gleich, dass auch die Ableitung von $g$ in Null verschwindet, sodass die Potenzreihe von $g$ erst beim $(z-z_{0})^{2}$-Glied anfängt, weshalb die Funktion

${\tilde {f}}(z):={\frac {g(z)}{(z-z_{0})^{2}}}$,

die ja in der ganzen Menge $S$ definiert ist, auch holomorph ist. Dies ist also die gewünschte Fortsetzung von $f$. $\Box$