Komplex-differenzierbare Funktionen/ Singularitäten und Laurent-Entwicklung

Satz (Casorati‒Weierstraß):

Es sei $U$ eine offene Teilmenge von $\mathbb {C}$, $z_{0}\in U$ und $f:U\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion, die in $z_{0}$ eine wesentliche Singularität habe. Dann ist $f(U\setminus \{z_{0}\})$ dicht in $\mathbb {C}$.

Beweis: Angenommen, $f(U\setminus \{z_{0}\})$ wäre nicht dicht in $\mathbb {C}$. Dann gäbe es ein $w_{0}\in \mathbb {C}$ und ein $\epsilon >0$, sodass $B_{\epsilon }(w_{0})\subseteq \mathbb {C} \setminus f(U\setminus \{z_{0}\})$ wäre. Dann wäre aber die Funktion $f(z)-w_{0}$ von Null weg beschränkt, und daher die reziproke Funktion $g(z)=1/(f(z)-w_{0})$ nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz auf ganz $U$ holomorph. Aber dann wäre die Funktion $f(z)=1/g(z)+w_{0}$ auf $U$ als Translation einer Umkehrfunktion einer meromorphen Funktion selbst meromorph und hätte insb. keine wesentliche Singularität in $z_{0}$. $\Box$