𝕯𝖎𝖊 𝕮𝖆𝖚𝖈𝖍𝖞‒𝕽𝖎𝖊𝖒𝖆𝖓𝖓-𝕲𝖑𝖊𝖎𝖈𝖍𝖚𝖓𝖌𝖊𝖓

Satz (Cauchy‒Riemann-Gleichungen in einer Variablen):

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge und es sei $f:U\to \mathbb {C}$ eine Funktion, die aufgefasst als Funktion $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ (wobei der Imaginär- und Realteil einer komplexen Zahl als die zwei Koordinaten verstanden werden) stetig differenzierbar ist. Dann ist $f$ genau dann holomorph, wenn es die zwei sog. Cauchy‒Riemannschen Differenzialgleichungen, die lauten

${\frac {d}{dx}}\Re f(x+iy)={\frac {d}{dy}}\Im f(x+iy)$ und ${\frac {d}{dx}}\Im f(x+iy)=-{\frac {d}{dy}}\Re f(x+iy)$,

erfüllt.

Beweis: Es sei zunächst $f$ holomorph. Es existiert also der Limes

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$,

egal wie sich $h$ in $\mathbb {C}$ der Null nähert; z. B. könnte sich $h$ der Null auf der x-Achse oder der y-Achse nähern. Nennen wir diesen Limes einmal $c=a+ib$ mit $a,b\in \mathbb {R}$. Es gilt also insbesondere

$\lim _{\alpha \to 0}{\frac {f(z+\alpha )-f(z)}{\alpha }}=c$ und $\lim _{\alpha \to 0}{\frac {f(z+i\alpha )-f(z)}{i\alpha }}=c$,

wobei nun $\alpha \in \mathbb {R}$. Dies sind aber gerade die Richtungsableitungen von $f$, und durch Nehmen der Real- bzw. Imaginärteile auf beiden Seiten und anschließendes Gleichsetzen mit $a$ bzw. $b$ erhalten wir die Cauchy‒Riemann-Gleichungen.

Umgekehrt erfülle $f$ die Cauchy‒Riemannschen Differenzialgleichungen. Da $f$ als Funktion $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ stetig differenzierbar ist, ist nach einem Grundsatz der reellen Analysis das Differenzial von $f$ in $(x,y)$ gleich der linearen Abbildung, die durch die Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {d}{dx}}\Re f(x+iy)&{\frac {d}{dy}}\Re f(x+iy)\\{\frac {d}{dx}}\Im f(x+iy)&{\frac {d}{dy}}\Im f(x+iy)\end{pmatrix}}$

gegeben ist. Wir fügen nun die Cauchy‒Riemann-Gleichungen ein und setzen, um die Notation zu vereinfachen, $a:={\frac {d}{dx}}\Re f(x+iy)$ und $b:={\frac {d}{dy}}\Re f(x+iy)$. Somit gilt also, unter Verwendung der häufig gebrauchten Landau-Notation,

$f(z+h)=f(z)+{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}+o(|h|)$.

Aber ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}$ kann durch die komplexe Multiplikation auch als $c\cdot h$ geschrieben werden, wobei $c=a+ib$ und $h=h_{1}+ih_{2}$. Deswegen gilt

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=c$. $\Box$