Komplex-differenzierbare Funktionen/ Definition der komplexen Differenzierbarkeit

Definition (komplexe Differenzierbarkeit für univariate Funktionen):

Es sei $S\subseteq \mathbb {C}$ eine Teilmenge und $f:S\to \mathbb {C}$ eine Funktion. Diese Funktion heißt komplex differenzierbar oder auch kurz holomorph genau dann, wenn der Limes

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$

für jedes $z\in \mathbb {C}$ existiert. $h$ ist dabei eine kleine komplexe Zahl.

Definition (komplexe Differenzierbarkeit):

Es seien $n,m\in \mathbb {N}$, $S\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ und $f:S\to \mathbb {C} ^{m}$ eine Funktion. Dann sagt man, dass $f$ komplex differenzierbar oder holomorph ist, genau dann, wenn für jedes $j\in \{1,\ldots ,n\}$, jedes $k\in \{1,\ldots ,m\}$ und für alle festen Konstanten $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{j-1},c_{j+1},c_{j+2},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {C}$ die Funktion

$z\mapsto f_{k}(c_{1},\ldots ,c_{j-1},z,c_{j+1},\ldots ,c_{n})$

dort, wo sie definiert ist, als univariate Funktion holomorph ist. Hierbei ist $f_{k}$ die $k$-te Komponente von $f$.

Definition (ganze Funktion):

Eine holomorphe Funktion $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$, die also eindimensional, auf der ganzen komplexen Ebene definiert und holomorph ist, nennt man eine ganze Funktion.