Interstellare Raumfahrt: Spezifischer Impuls

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Damit wir später die verschiedenen Antriebe vergleichen können, müssen wir zunächst einige Grundlagen klären. Etwas Mathematik lässt sich da nicht vermeiden.

Zunächst ist es die Aufgabe eines jeden Antriebssystemes, die Geschwindigkeit (v) eines Fahrzeugs zu ändern. Die Änderung der Geschwindigkeit nennen wir Beschleunigung (a). Auch Abbremsen ist eine Beschleunigung, dann aber mit negativem Vorzeichen.

Ein Fahrzeug, das eine bestimmt Geschwindigkeit hat, besitzt einen Impuls (p). Umgangssprachlich könnten wir das auch „Schwung“ oder „Wucht“ nennen. Der Impuls hängt zum einen von der Geschwindigkeit und zum anderen von der Masse ab. Die Formel für den Impuls ist p = m * v

Eine Bowlingkugel mit einer Masse von 10kg, die sich mit 10m/s bewegt, hat einen Impuls von 10kg * 10m/s = 100 kg * m / s. Eine Murmel hingegen, die nur 10g Masse hat, wird bei der selben Geschwindigkeit nur einen Impuls von 0,01 kg * 10m/s = 0,1 kg*m / s haben.

Letztlich soll ein Antrieb immer den Impuls eines Fahrzeugs verändern.

Nun gibt es den sogenannten Impulserhaltungssatz. Der Impulserhaltungssatz besagt, dass immer, wenn wir den Impuls von etwas verändern wollen, etwas anderes einen genau entgegengesetzten Impuls bekommen muss. Dadurch bleibt die Gesamtsumme des Impulses gleich null.

Nehmen wir an, eine Eisläuferin hat eine Masse von 50kg und wirft einen Tennisball von 100g mit 10m/s von sich weg. Dann hat der Tennisball einen Impuls von: 0,1 kg * 10 m/s = 1 kg * m / s bekommen. Die Eisläuferin muss einen genauso großen Impuls in die andere Richtung erhalten haben. Weil die Eisläuferin 50kg wiegt, muss sie sich natürlich nicht so schnell wie der Tennisball bewegen, um denselben Impuls zu haben. Sie wird sich also mit V=p/m = 1 kg * m / s / 50kg = 0,02 m/s in die entgegengesetzt Richtung bewegen.

Der Impulserhaltungssatz gilt immer, d.h. jedes Fahrzeug, das beschleunigt, muss immer den Impuls von etwas anderem ändern. Bei einem Auto, das beschleunigt, werden die Räder einen entgegengesetzten Impuls auf die Erde übertragen, bei einem Flugzeug wird der Propeller oder die Turbine Luftteilchen mit Impuls versehen. Eine Rakete im Vakuum kann natürlich keine Umgebungsteilchen nutzen, um ihnen entgegengesetzten Impuls zu verleihen. Eine Rakete muss daher Masse mit sich führen, die beschleunigt ausgestoßen wird, um ihren eigenen Impuls zu ändern. Diese Masse nennen wir Reaktionsmasse.

Ein Unterschied zum Impuls ist die Bewegungsenergie, die kinetische Energie (T oder auch Ekin) des Körpers. Die kinetische Energie gibt an, wieviel Energie man benötigen würde, um ein Objekt aus der Ruhe auf eine bestimmte Geschwindigkeit zu beschleunigen. Auch hier ist die nötige Energie sowohl von der Masse des Objektes als auch von der Geschwindigkeit abhängt. Die Formel ist hier: T = ½ m * v².

Unsere Bowlingkugel von 10kg, die sich mit 10m/s bewegt, hat also eine kinetische Energie von 1/2*10kg * 10²m²/s² = 500 kg*m² / s² = 500 Joule. Oder anders herum: Um die Bowlingkugel auf 10m/s zu beschleunigen, müssen wir 0,5 kJ an Energie aufbringen.

Damit eine Rakete funktionieren kann, braucht sie also zwei Dinge:

• Reaktionsmasse, die „weggeschleudert“ wird (Impuls: p = m * v)
• Energie, um dieses Wegschleudern zu bewerkstelligen ( T = ½ m * v² )

Wenn es um die Effizienz eines Antriebs geht, konzentriert man sich meist darauf, die Rekationsmasse effizient zu nutzen. Das liegt daran, dass die Reaktionsmasse zunächst mitgeschleppt werden muss und bei der Nutzung unwiederbringliche verloren geht. Ein Antrieb, der Reaktionsmasse vergeudet, muss entweder mehr Masse mit sich tragen (was es schwieriger macht, den Impuls zu ändern) oder eben mit geringeren Impulsänderungen auskommen.

Eine Art, anzugeben, wieviel Impuls wir aus einer bestimmten Menge von Reaktionsmasse erhalten können, ist der spezifische Impuls (Isp) als Impuls pro Einheit Reaktionsmasse: Isp = p / m = m*v/m = v . Der spezifische Impuls wird also tatsächlich in m/s, also als Geschwindigkeit angegeben. Tatsächlich ist der spezifische Impuls nichts anderes als die Austrittsgeschwindigkeit (ve) der Reaktionsmasse aus dem Antrieb.

Ein Antrieb mit hoher Austrittsgeschwindigkeit kann also den selben Impuls mit weniger Reaktionsmasse erreichen.

Um auf unser Beispiel mit der Schlittschuhläuferin zurück zu kommen: Wenn die Läuferin (50kg) einen Tennisball (100g) mit 10m/s (ve) von sich wirft, wird sie soviel Impuls erhalten, dass sie sich mit 0,02 m/s in die entgegengesetzte Richtung bewegt. Wenn sie sich mit 1m/s bewegen möchte, kann sie natürlich einen Rucksack mit 50 Tennisbällen umschnallen und die immer nacheinander (oder mehrere gleichzeitig) werfen. Dann haben die Tennisbälle (die Reaktionsmasse) allerdings 5kg Masse Diese zusätzliche Masse kommt am Anfang zu den 50kg der Eisläuferin hinzu. Dadurch wird es natürlich schwerer, ihren Impuls zu verändern, d.h. sie braucht noch weitere Tennisbälle, um die zusätzlichen 5kg zu beschleunigen.

Alternativ kann unsere Eisläuferin auch nur mit einem einzigen Tennisball auskommen! Dann muss sie diesen einen Tennisball allerdings mit 50kg * 1 m/s = 0,1 kg * 500 m/s von sich werfen.

Damit sind wir beim nächsten Problem: Um die Reaktionsmasse (also den Tennisball) zu beschleunigen, ist Energie nötig. Um einen 100g Tennisball auf 10 m/s zu beschleunigen, benötigen wir 1 kJ, für 50 Bälle entsprechend 50 kJ. Um aber einen einzigen Ball auf 500 m/s zu beschleunigen, benötigen wir: Ekin = ½ * m * v² = ½ * 0,1 kg * 500² m² / s² = 12.500 kJ

Generell kann man sagen: Ein Antrieb, der sehr effizent die Reaktionsmasse nutzt (also hohe Austrittsgeschwindigkeit ve erreicht), benötigt dafür viel Energie und ist daher nicht sehr energie-effizient. Umgekehrt: Ein Antrieb, der sehr energie-effizent ist, benötigt viel Reaktionsmasse, um den selben Impuls zu erreichen.

Wenn eine hohe Beschleunigung erreicht werden soll (wenn also ein bestimmter Impuls auch noch möglichst schnell erreicht werden soll), muss ein Antrieb mit hoher Austrittsgeschwindigkeit viel Energie pro Zeiteinheit umsetzen. Weil die pro Zeit verfügbare Menge an Energie oft begrenzt ist, begnügen sich Antriebe, die Reaktionsmasse effizient nutzen, meist mit geringen Beschleunigungen (die auch so schon viel Energie verschlingen). Ein Antrieb, der hingegen viel Reaktionsmasse nutzen kann, benötigt weniger Energie pro Zeiteinheit und kann daher meist höhere Beschleunigungswerte erreichen.

Wie sieht das in der Praxis aus?

Eine der einfachsten Formen einer Rakete führt ein chemisches Gemisch mit sich (z.B. Sauerstoff und Wasserstoff). Durch Entzünden des Gemischs wird Energie frei und es entsteht ein Verbrennungsprodukt (Wasser). Diese Energie heizt das Verbrennungsprodukt auf, der heiße Wasserdampf dehnt sich aus (steht unter Druck) und kann nur an einer Stelle aus der Brennkammer entweichen.

Bei einer solchen Rakete ist der Treibstoff gleichzeitig die Reaktionsmasse und der Energieträger, um die Reaktionsmasse wegzubeschleunigen.

Es kann aber auch stärker getrennt sein:

Bei einem Ionenantrieb haben wir ein elektrisch geladenes Gas (die Ionen) und ein elektrisches Feld. Das elektrische Feld schleudert die Ionen aus dem Antrieb. Das Gas ist die Reaktionsmasse. Um das elektrische Feld zu erzeugen, ist Energie notwendig, die aus einer ganz anderen Quelle, z.B. einer Batterie kommen kann.

Die Raketenformel:

Wenn eine Rakete ihre gesamte Reaktionsmasse in eine Richtung ausstößt, so verändert sie ihre Geschwindigkeit. Diese Veränderung in der Geschwindigkeit nennen wir Delta-v. Wenn die Austrittsgeschwindigkeit ve konstant bleibt, können wir das delta-v berechnen für eine gegebene Masse M an Reaktionsmasse und einer Zusatzmasse P für Rakete und Ladung.

Das ist die Raketengrundgleichung, auch Ziolkowski-Gleichung genannt.

Für unser Beispiel mit der Schlittschuhläuferin bedeutet dies: Ve = 10m/s (Geschwindigkeit, mit der sie jeden Ball wegwirft) M = Reaktionsmasse, 50 Bälle je 100g = 5kg P = 50kg , Masse der Eisläuferin Dv = 10m/s* ln( 55 / 50 ) = 10 m/s * 0,0953 = 0,953 m/s.

Weiter oben hatten wir ausgerechnet, dass der Impuls, der entsteht wenn 5 kg Reaktionsmasse mit 10m/s weggeschleudert werden, ausreicht um unsere 50kg Eisläuferin auf 1 m/s zu beschleunigen. Doch nun sehen wir, dass die 50kg nicht ausreichend sind, wir kommen nicht ganz auf 1m/s. Das liegt einfach daran, dass die Masse der Eisläuferin zunächst ja nicht 50kg beträgt, sondern 55kg (Eisläuferin + Reaktionsmasse).

Um die notwendige Reaktionsmasse für eine gewünschte Geschwindigkeitsänderung zu berechnen, muss die Ziolkowski-Gleichung nach M (Reaktionsmasse) umgestellt werden:

P=50kg Dv = 1 m/s (gewünschte Geschwindigkeitsänderung) Ve = 10m/s

M = 55kg * (2,71828183^1m/s / 10m/s -1 ) = 55 kg * 0,10517 = 5,7844kg = 58 Tennisbälle

Jetzt können wir also für einen Antrieb, dessen Austrittsgeschwindigkeit ve wir kennen, berechnen, wie viel Reaktionsmasse wir tatsächlich benötigen, um die Geschwindigkeit unseres Fahrzeuges um einen bestimmten Betrag zu verändern.