Interessante Messungen/ Strom- und Spannungsfehlerschaltung

Lernziele

Das Ziel dieses Kapitels ist das Aufzeigen von Problemen bei gleichzeitiger Messung von Stromstärke und Spannung in einem Stromkreis.

Erklärung

Grundüberlegung:

Ein Amperemeter hat einen geringen Innenwiderstand, aber nie Null Ohm. Daher führt die Reihenschaltung eines Amperemeters mit dem zu messenden Widerstand zu einem Messfehler bzgl. der Spannung.
Ein Voltmeter hat einen großen Innenwiderstand, aber nie unendlich Ohm. Daher führt die Parallelschaltung eines Voltmeters mit dem zu messenden Widerstand zu einem Messfehler in der Stromstärke.
In diesen Überlegungen wird eine ideale Spannungsquelle vorausgesetzt, also eine ohne inneren Widerstand. Bei einer realen Spannungsquelle führt der innere Widerstand dazu, dass Amperemeter und Voltmeter stets von den Sollwerten ohne Messgeräteeinfluss abweichen, wobei einer der beiden Geräte je nach Messumstand eine relativ größere Abweichung liefert, der ausschlaggebend fürs Ergebnis ist.

Hinweis:

Ein Messgerät mit Messverstärker liefert typischerweise viel bessere Werte als eines ohne. Möchte man das hier vorgestellte Problem nachvollziehen, dann sollte man ein Multimeter ohne Messverstärker benutzen.

Stromfehler-Schaltung

Bei der Messung des Widerstandswertes (=Berechnung aus Messwerten von Voltmeter und Amperemeter) kleiner Widerstände liefert diese Schaltung den kleineren Fehler. Der verbleibende Fehler der Stromfehler-Schaltung führt dazu, dass der gemessene Widerstand stets kleiner als der wirkliche Widerstand ist. Der Name Stromfehler-Schaltung rührt daher, dass das Voltmeter die Spannung am Widerstand korrekt anzeigt, das Amperemeter jedoch die Stromstärke beider Stromzweigen als Summe anzeigt. Man beachte, dass das Voltmeter nicht die Spannung ohne Messgeräteeinfluss (Spannung am Widerstand bei Fehlen der Messgeräte) korrekt anzeigt, sondern nur fehlerfrei in dem Sinne ist, als das es die gleiche Spannung wie aktuell am Widerstand bei Messanordnung anzeigt. Auch unter der Bedingung der idealen Spannungsquelle weichen bei dieser Messanordnung die Werte sowohl von Voltmeter als auch von Amperemeter von den Sollwerten ohne Messgeräteeinfluss ab.

Spannungsfehler-Schaltung

Bei der Messung des Widerstandswertes (=Berechnung aus Messwerten von Voltmeter und Amperemeter) großer Widerstände liefert diese Schaltung den kleineren Fehler. Der verbleibende Fehler der Spannungsfehler-Schaltung führt dazu, dass der gemessene Widerstand stets größer als der wirkliche Widerstand ist. Der Name Spannungsfehler-Schaltung rührt daher, dass das Amperemeter den echten aktuellen Stromwert am Widerstand anzeigt, das Voltmeter jedoch den Spannungsabfall von Widerstand und Ampermeter in seiner Summe. Man beachte, dass das Amperemeter nicht die Stromstärke ohne Messgeräteeinfluss (Strom am Widerstand bei Fehlen der Messgeräte) korrekt anzeigt, sondern nur fehlerfrei in dem Sinne ist, als das es vom gleichen Strom durchflossen wird wie aktuell am Widerstand bei Messanordnung. Unter der Bedingung der idealen Spannungsquelle weicht bei dieser Messanordnung nur der Wert vom Amperemeter vom Sollwert ohne Messgeräteeinfluß ab. Das Voltmeter entspricht genau dem Sollwert der Spannung ohne Messgeräteeinfluß.

Formeln

Stromfehlerschaltung:

 $R_{ist}={\frac {R_{soll}*R_{V}}{R_{soll}+R_{V}}}$ 
 $R_{gesamt}=R_{A}+R_{ist}$ 
 $U=I*R_{A}+I*R_{ist}=I*R_{gesamt}$ 
 $U=U_{A}+U_{ist}$ 
 $U_{V}=U_{ist}=U_{soll}$ 
 $I=I_{V}+I_{soll}=I_{A}$

Spannungsfehlerschaltung:

 $R_{ist}=R_{soll}+R_{A}$ 
 $R_{gesamt}={\frac {R_{V}*R_{ist}}{R_{V}+R_{ist}}}$ 
 $U=U_{V}=U_{ist}$ 
 $U_{ist}=U_{soll}+U_{A}$ 
 $I_{ist}={\frac {U}{R}}_{ist}$ 
 $I_{gesamt}=I_{V}+I_{ist}$ 
 $I_{ist}=I_{A}=I_{soll}$ 
 $U=I_{gesamt}*R_{gesamt}$

 $R_{V}$  Innenwiderstand des Voltmeters
 $R_{A}$  Innenwiderstand des Amperemeters
 $R_{soll}$  Widerstand des Messobjektes
 $R_{ist}$  Gemessener Wert

Rechenbeispiel für einen großen Messwiderstand

Messobjekt: 500 kΩ
Innenwiderstand des Amperemeters: 1Ω
Innenwiderstand des Voltmeters: 1 MΩ
Spannung: 10 V

Stromfehlerschaltung:

 $R_{ist}={\frac {R_{soll}*R_{V}}{R_{soll}+R_{V}}}$ 
 $R_{ist}={\frac {500k\Omega *1M\Omega }{500k\Omega +1M\Omega }}$ 
 $R_{ist}=333.33k\Omega$ 
 $R_{gesamt}=R_{A}+R_{ist}=334.33k\Omega$ 
 $I=I_{A}=I_{ist}$ 
 $I={\frac {U}{R}}_{gesamt}={\frac {10}{334.33k}}*{\frac {V}{\Omega }}=0.00003A$ 
 $U=U_{A}+U_{V}=I*(R_{A}+R_{ist})$ 
 $U_{V}=U-U_{A}=U-I*R_{A}=10V-(1\Omega *0.00003A)=9.99997V$ 
 $U_{ist}=U_{V}=U_{soll}$ 
 $I_{A}=I_{V}+I_{soll}$ 
 $I_{soll}=I_{A}-I_{V}=I_{A}-{\frac {U_{V}}{R_{V}}}=0.00003A-{\frac {9.99997}{1M}}*{\frac {V}{\Omega }}=0.00003A-0.00001A=0.00002A$ 
 $R_{ist}={\frac {U_{V}}{I_{A}}}={\frac {9.99997}{0.00003}}*{\frac {V}{A}}=333.33k\Omega$   berechnet nach Werten von Voltmeter und Ampermeter

Wir halten fest: Es wird durch den Spannungsabfall am Amperemeter nur 9.9997 V am Voltmeter statt 10 V gemessen. Wegen 9.9997 V statt 10 V fließt durch den Widerstand ein um 6E-11 A kleinerer Strom. Aufgrund des parallel zum Widerstand geschalteten Voltmeters fließt ein zusätzlicher Strom, der dafür sorgt, daß insgesamt ein höherer Strom am Amperemeter gemessen wird. Dieser zusätzliche Strom aus dem Voltmeter Stromzweig überkompensiert den um 6E-11 A niedrigeren Strom durch den Widerstand, so dass der Amperemeter einen falschen und zu hohen Wert anzeigt. Der Fehler des Voltmeters ist mit ${\frac {9.9997V}{10V}}$ gering, wohingegen der Fehler des Amperemeter mit ${\frac {0.00003A}{0.00002A}}$ deutlich höher ist. Das Ergebnis der Widerstandsberechnung mittels Gleichung $R_{ist}={\frac {U_{V}}{I_{A}}}$ wird sowohl aufgrund des zu kleinen Wertes für $U_{V}$ als auch des zu hohen Wertes für $I_{A}$ zu niedrig ausgewiesen, wobei der Einfluss von letzterem sehr viel entscheidender ist.

Spannungsfehlerschaltung:

 $R_{ist}=R_{soll}+R_{I}$ 
 $R_{ist}=500k\Omega +1\Omega$ 
 $R_{ist}=500001\Omega$ 
 $R_{gesamt}={\frac {R_{V}*R_{ist}}{R_{V}+R_{ist}}}={\frac {1000000*500001}{1000000+500001}}\Omega =333333.7\Omega$ 
 $I_{gesamt}={\frac {U}{R_{gesamt}}}={\frac {10V}{333333.7\Omega }}=0.00003A$ 
 $I_{ist}=I_{A}$ 
 $I_{gesamt}=I_{V}+I_{A}$ 
 $I_{V}={\frac {U}{R_{V}}}={\frac {10V}{1000000\Omega }}=0.00001A$ 
 $I_{A}=I_{gesamt}-I_{V}=0.00003A-0.00001A=0.00002A$ 
 $U=U_{V}=U_{ist}=U_{soll}+U_{A}$ 
 $U_{soll}=U-U_{A}=U-(R_{A}*I_{A})=10V-(1\Omega *0.00002A)=9.99998V$ 
 $R_{ist}={\frac {U_{V}}{I_{A}}}={\frac {10V}{0.00002A}}=500000\Omega$  berechnet nach Werten von Voltmeter und Ampermeter

Wir halten fest: Wegen des Spannungsabfalls am Amperemeter fällt am Widerstand nur 9.9998 V ab; am Voltmeter wird aber 10 V gemessen. Wegen 9.9998 V statt 10 V fließt durch den Widerstand ein um 4E-11 A kleinerer Strom. Das Ampermeter zeigt den korrekten Stromwert für am Widerstand anliegende 9.99998 V und nicht den Stromwert von 10 V wie am Voltmeter angezeigt. Der Fehler des Voltmeters ist mit ${\frac {10V}{9.99998V}}$ in relation gleich zum Fehler am Amperemeter und hat einen Wert von 1.000002. Das Ergebnis der Widerstandsberechnung mittels Gleichung $R_{ist}={\frac {U_{V}}{I_{A}}}$ wird nur aufgrund des zu kleinen Wertes für $I_{A}$ zu hoch ausgewiesen, da die angezeigten 10 V am Voltmeter dem korrekten Wert des Stromkreises ohne Messgeräteeinfluss entsprechen. Insgesamt gesehen ist der Einfluss auf das Rechenergebnis vernachläßigbar gering.

Ergebnis: Die Stromfehlerschaltung liefert einen Messfehler von 33%, die Spannungsfehlerschaltung liefert einen Messfehler von 0,0002%.

Rechenbeispiel für einen kleinen Messwiderstand

Messobjekt: 5 Ω
Innenwiderstand des Amperemeters: 1Ω
Innenwiderstand des Voltmeters: 1 MΩ
Spannung: 10 V

Stromfehlerschaltung:

 $R_{ist}={\frac {R_{soll}*R_{V}}{R_{soll}+R_{V}}}$ 
 $R_{ist}={\frac {5\Omega *1M\Omega }{5\Omega +1M\Omega }}$ 
 $R_{ist}=5\Omega$

Spannungsfehlerschaltung:

 $R_{ist}=R_{soll}+R_{I}$ 
 $R_{ist}=5\Omega +1\Omega$ 
 $R_{ist}=6\Omega$

Ergebnis: Die Stromfehlerschaltung liefert einen Messfehler von 0,0005%, die Spannungsfehlerschaltung liefert einen Messfehler von 20%.

Anmerkung: In der Praxis ist es schwer, einen verlässlichen Wert über den Innenwiderstand eines Messgerätes zu erhalten, zumal der Widerstand des Messgerätes auch vom Messbereich abhängig ist. Dieses Problem verschärft sich bei Wechselstrom bzw. Wechselspannung, insbesondere wenn diese nicht nicht sinusförmig ist.