Interessante Messungen/ Astabiler Multivibrator

Die astabile Kippstufe, aufgebaut aus zwei Transistoren, zwei Kondensatoren und einigen passiven Bauteilen, ist wohl der Klassiker, der in keinem Elektronikbausatz fehlt.

Es gibt Elektronikausbilder die der Meinung sind, man müsse den astabilen Multivibrator verstehen. Aus meiner Sicht ist diese Ära aber definitiv vorbei, heute werden bevorzugt integrierte Schaltkreise eingesetzt.

Aus meiner Sicht sieht die Anforderung heute so aus:

• einmal im Leben eine astabile Kippstufe mit Leuchtdioden aufgebaut (-> Blinklicht)
• einige Messungen an einer astabilen Kippstufe durchgeführt

Es entfällt also u.a.:

• Berechnen der Schaltung (dafür gibt es Formelbücher bzw. das Internet)
• Verstehen der Funktion (es gibt viele Leute die meinen, die Funktion zu verstehen, sie aber letztlich nicht einem anderen erklären können)

Berechnung

Schaltfrequenz des astabilen Multivibrators

Die Schaltfrequenz eines astabilen Multivibrators berechnet sich wie folgt:

$f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{ln(2)\cdot (R_{2}C_{1}+R_{3}C_{2})}}\approx {\frac {1}{0{,}693\cdot (R_{2}C_{1}+R_{3}C_{2})}}$

Im Falle von $R_{2}=R_{3}=:R$ und $C_{1}=C_{2}=:C$ ergibt sich daraus:

$f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\ln(2)\cdot RC}}\approx {\frac {1}{1{,}386\cdot RC}}$

Dabei gilt

• f ist die Frequenz (in Hertz),
• R₂ und R₃ sind Widerstandswerte (in Ohm),
• C₁ und C₂ sind Kapazitätswerte (in Farad),
• T ist die Periodendauer (in diesem Fall die Summe der beiden Phasendauern in Sekunden).

Simulation

Die astabile Kippstufe ist etwas heikel zu simulieren, insbesondere wenn R2 und R3 genau gleich sind. Deshalb (und um die Kurven besser unterscheiden zu können) sind in dieser Simulation R2 und R3 bewusst unterschiedlich gewählt. Ebenfalls braucht die Schaltung allenfalls etwas Zeit, um sich einzuschwingen.

Beschreibung	Schema
Wir gehen von dieser Schaltung aus:
Nun wollen wir alle (relevanten) Spannungen messen:

Messung

Hier ist das Schema, mit dem wir arbeiten werden:

Zu beachten: Die Masse des Oszilloskops muss galvanisch getrennt sein von der Speisung der Schaltung. Wir setzen bewusst ein Zweikanal-Oszilloskop ein. Die Masse der beiden Kanäle sind bewusst miteinander verbunden (das ist bei den meisten Laboroszilloskopen so).

Beim Messen müssen wir uns immer überlegen, wie wir den zeitlichen Bezug zwischen den einzelnen Messungen herstellen können: Um ein weiteres Signal in unser Diagramm einzeichnen zu können, brauchen wir immer ein bekanntes Signal, um den zeitlichen Bezug herzustellen.

Mit einem Einkanal-Oszilloskops ließen sich zwar die einzelnen Kurven aufnehmen, aber die Kurven hätten keinen Bezug zu einander.

Die ersten vier Kurven sind einfach: Wir verbinden Kanal 1 mit UCE2 und Kanal 2 nacheinander mit UBE2, UBE1 und UCE1
Nun wollen wir UC1 messen, was aber nicht ohne weiteres geht. Als erstes hängen wir die Masse des Oszilloskops an den Kollektor von T1:
Nun verbinden wir CH1 mit Masse und CH2 mit dem Kondensator C2. Zu Beachten: Wir müssen CH1 invertieren.
Nun verbinden wir CH2 mit der Versorgungsspannung und messen so UR1:
Nun trennen wir das Oszilloskop von der Schaltung und wiederholen die Schritte von vorhin. Wir verbinden also die Masse des Oszilloskops mit dem Emiter von T2.
CH1 invertieren wir und verbinden in mit der Masse der Schaltung. CH2 verbinden wir mit C2:
Danach verbinden wir CH2 mit der Versorgungsspannung:

Herleitung der Formel

Hier nochmal das Schema mit dem wir arbeiten werden:

Beschreibung	Illustration
Für die Funktion der Schaltung am wichtigsten ist der Spannungsverlauf an der Basis-Emiter Strecke. Da wir an UBE1 die grössere Zeitkonstante haben, betrachten wir UBE1. Um das ganze überschaubarer zu machen, definieren wir zwei Zeitpunkte:	t1 der Kondensator C2 beginnt zu laden t2 der Transistor T1 ist im "on" Zustand
Nun müssen wir raus finden, in welchem Zustand die Schaltung im Zeitpunkt t1 ist:
Nun wenden wir uns UBE zu:
In der Simulation kann man die Exponantial Funktion erahnen. Das Messprotokoll ist dafür aber zu ungenau.
Es ist etwas schwierig zu sehen, aber: Der Kondensator C2 ist mit -4.3V (-(U0-UBE)) geladen und soll nun auf 5V (+U0) geladen werden.
sobald aber der Kondensator C2 0.7V erreicht (also UBE) schaltet der Transistor T1.
In der Grafik ist die X-Achse bewusst massiv gestaucht
In dem wir UBE vernachlässigen, können wir sagen, dass C2 im Zeitpunkt t1 mit -U0 geladen ist und dann mit +U0 geladen wird. Sobald der Kondensator aber 0V erreicht, schaltet der Transistor T1.
Wir wollen das nun mathematisch modellieren.

Kondensator laden

Beschreibung	Funktion	Graph
Allgemein gilt:	$U_{C}=U_{0}\cdot (1-e^{-}t/\tau )$
Nun müssen wir aber zwei Dinge anpassen: Wir haben als Spannungsdifferenz $2\cdot U_{0}$ und wir beginnen bei $-U_{0}$	$U_{C}=2\cdot U_{0}\cdot (1-e^{-t/\tau })-U_{0}$
Nun interessieren wir uns der Zeitpunkt in dem Transistor einschaltet. Da wir UBE vernachlässigen, ist das bei 0V:
Wir setzen also UC=0 und lösen nach t auf:	$0V=2\cdot U_{0}\cdot (1-e^{-t/\tau })-U_{0}$	Gleichung Schritt $0=2\cdot U_{0}\cdot (1-e^{-t/\tau })-U_{0}$ $+U_{0}$ $U_{0}=2\cdot U_{0}\cdot (1-e^{-t/\tau })$ $/U_{0}$ $1=2\cdot (1-e^{-t/\tau })$ $2\cdot (...)$ $1=2-2\cdot e^{-t/\tau }$ $+2\cdot e^{-t/\tau }$ $1+2\cdot e^{-t/\tau }=2$ $-1$ $2\cdot e^{-t/\tau }=1$ $/2$ $e^{-}t/\tau =1/2$ $ln(...)$ $-t/\tau =ln(1/2)$ $ln(1/x)=-ln(x)$ $-t/\tau =-ln(2)$ $\cdot -1$ $t/\tau =ln(2)$ $\cdot \tau$ $t=ln(2)\cdot tau$ Resultat
Nun für den Transistor T1:	$t_{1}=ln(2)\cdot R3*C2$
Nun für den Transistor T2:	$t_{2}=ln(2)\cdot R2*C1$
Für die Schaltung als ganzes:	Gleichung Schritt $t_{tot}=t_{1}+t_{2}$ Einsetzen $t_{tot}=ln(2)\cdot R3\cdot C2+ln(2)\cdot R2\cdot C1$ $ln(2)(...)$ $t_{tot}=ln(2)\cdot (R3\cdot C2+R2\cdot C1)$ Resultat