Himmelsgesetze der Bewegung/ Vermessung der Erde und des Abstandes zum Mond

Die Vermessung der Erde nach Eratosthenes

Realitätsnahes Bild mit Skizze über die Messung des Winkels

Eratosthenes war ein griechischer Gelehrter der hellenistischen Zeit mit Beiträge auf den Gebieten von Mathematik, Astronomie, Geographie, Geschichte, Philosophie, Musik und Dichtung.

Der Geschichte nach wurde er informiert, dass am Tag der Sommersonnenwende in Syene, eine Stadt in Ägypten, die Sonne mittags keinen Schatten wirft. In Alexandria hingegen, wo er gewohnt hat, bildeten die Sonnenstrahlen einen Winkel von 1/50 des Kreises (also 7° 12') zur Schwerlinie (also zur Senkrechte auf die Erdoberfläche). Er nahm an, dass Alexandria und Syene auf den gleichen Meridian liegen (was nicht genau, aber auch nicht so ungenau ist).

Das realitätsnahe Bild hilft uns den Sachverhalt zu verstehen, die Skizze zeigt uns, wie Eratosthenes seine Messungen durchgeführt hat.

Skizze zur Erklärung des Vorgangs

Beschreibung des Vorgangs von Eratosthenes

Die Sonnenstrahlen sind in der Skizze durch die Geraden b und c dargestellt, die Senkrechte auf der Erdoberfläche in Alexandria durch die Gerade a. Geraden a und b schneiden einander am Punkt A, dort, wo Alexandria ist, Geraden a und c am Punkt M, also am Mittelpunkt des Kreises. Da b und c parallel sind, ist der Winkel zwischen a und b am Punkt A gleich so groß wie der Zentriwinkel zwischen a und c am Punkt M. Den Abstand auf der Erdoberfläche zwischen A und S (also zwischen Alexandria und Syene) kann man messen. Vermutlich hat Eratosthenes diese Strecke durch königlichen Schrittzählern genau ausmessen lassen. Diese Strecke verhält sich zum Erdumfang genau soviel, wie der Zentriwinkel (7° 12') zum ganzen Kreis (360°). Daher kann man mit Hilfe der Schlussrechnung ganz einfach den Erdumfang und den Erdradius messen.

2πR (Kreisumfang) entspricht 360°

Die Strecke AS       entspricht 7° 12'

daher ist

$R={\frac {AS\cdot 180^{\circ }}{\pi \cdot 7,2^{\circ }}}$

Eratosthenes hat für den Abstand AS die in der Antike gebräuchliche Einheit "Stadium" benutzt. Da wir heute nicht genau wissen, wie viel Meter ein Stadium war, können wir nicht genau sagen, wie genau oder ungenau seine Messungen waren. Anscheinend aber war der Fehler in der Messung weniger als 5%!

Die Vermessung der Erde nach Al-bīrūnī

Vermessung der Erde nach Al-bīrūnī: Vermessung der Höhe eines Bergs

Al-bīrūnī war ein muslimischer Universalgelehrter choresmischer Herkunft aus Zentralasien, der um den Wandel des ersten Jahrtausends nach Christus gelebt hat. Al-bīrūnī hat eine andere Weise vorgeschlagen, um den Umfang zu messen. Dafür ist es notwendig zu erklären, wie man die Höhe eines Berges mit einfachen Mitteln berechnen kann. Dafür braucht man einen quadratischen Rahmen mit bekannter Seitenlänge und eine skalierte Seite. Sei ABCD das Quadrat, AB die skalierte Seite. Dazu gibt es ein freibewegliches Lineal L der Länge BD, dessen ein Randpunkt im Eckpunkt D liegt und das sich um diesen frei drehen kann. Der andere Rand des Lineals kann somit alle Punkte von AB erreichen. T sei der Schnittpunkt (von Lineal und AB), wie im Bild.

Wir stellen Punkt C auf die Erdoberfläche. Wir drehen das Quadrat solange, bis wir auf der Verlängerung von BC den Gipfel E des Berges sehen können. Wir halten das Quadrat fest und drehen das Lineal bis sich der Gipfel auch auf der Verlängerung von DT befindet. Mit Hilfe der ähnlichen Dreiecke ADT und ECD können wir die Länge EC berechnen:

${\frac {CD}{EC}}={\frac {AT}{AD}}$       und daher       $EC={\frac {CD\cdot AD}{AT}}$

CD = AD ist die uns bekannte Länge der Seite des Quadrats, AT können wir messen.

Die Dreiecke ECZ und DCH sind auch ähnlich. Damit kann man die Höhe EZ berechnen:

${\frac {EZ}{EC}}={\frac {CH}{CD}}$ und daher $EZ={\frac {CH\cdot EC}{CD}}$

EC haben wir gerade berechnet, CD und AD sind die Seiten des Quadrats, CH und AT können wir messen. Daraus folgt:

$EZ={\frac {CH\cdot {\frac {CD\cdot AD}{AT}}}{CD}}={\frac {CH\cdot AD}{AT}}$

Vermessung des Erdumfangs nach Al-bīrūnī

Um jetzt den Radius und damit den Umfang der Erde zu berechnen, braucht man nur auf den Gipfel des Berges hochzuklettern und feststellen, unter welchem Winkel man von dort den Horizont sieht. Sei A dessen Gipfel. Wir benutzen ein kreisförmiges Instrument (zum Beispiel einen Astrolab) um den Tiefenwinkel zum Horizont (α =) ${\hat {DAF}}$ zu messen. Im Bild drehen wir um den Punkt A ein Lineal AF, bis es sich auf einer Gerade mit dem Horizont (hier C ) befindet. Dann messen wir den Bogen BF (also den Winkel α = ${\hat {DAF}}$ = ${\hat {AHB}}$. Die Höhe des Berges AB haben wir vorher bereits berechnet. Aufgrund des Sinussatzes ist:

${\frac {AB}{BH}}={\frac {\sin {\hat {AHB}}}{\sin({\hat {BAH}})}}$ und daher $BH={\frac {AB\cdot \sin(90^{\circ }-\alpha )}{\sin(\alpha )}}$

Die Länge AH kann man jetzt nach dem Satz von Pythagoras berechnen:

$AH={\sqrt {AB^{2}+BH^{2}}}$

CH und BH sind gleich, weil sie Tangenten an den Kreis aus dem gleichen Punkt H sind. Also sind CH und AH bekannt und somit auch:

$AC=AH+CH$

Durch die ähnlichen rechtwinkeligen Dreiecke ACO und ABH kann man den Radius der Erde R=CO berechnen:

${\frac {CO}{AC}}={\frac {BH}{AB}}$ und daher $R={\frac {BH\cdot AC}{AB}}$

(AB ist die vorher mit Hilfe des Quadrats berechnete Höhe des Berges, BH und AC haben wir hier berechnet).

Der Vorteil dieser Methode im Vergleich zu der von Eratosthenes ist, dass man nicht genau zu wissen braucht, wo der gleiche Meridian für verschiedene Breitengraden ist (das ist bei der Methode von Eratosthenes notwendig). Dazu braucht man nicht lange gehen, was notwendig ist, um zwei ausreichend weit entfernt liegende Breitengrade zu erreichen. Die Messungen für die Berechnungen von Eratosthenes könnten monatelang dauern. Bei der Methode von Al-bīrūnī muss man nur auf einen Berg klettern (wenn er bis zu 2000 Meter hoch ist, dann dauert es einen Tag). Damit man den Horizont besser sehen kann, ist es vielleicht zweckmäßig, einen Berg auf einer Insel zu benutzen (dann kann man den Horizont am Meer sehen und die Höhe des Berges von der Meeresspiegelhöhe messen).

Die Vermessung des Abstandes zum Mond

Um den Abstand zwischen Mond und Erde zu berechnen, brauchen wir das Verhältnis der Radien der Erde und des Mondes. Während einer Mondeklipse kann man die Radien des Mondes und der Erde vergleichen. Dafür wäre der Moment geeignet, wenn der Schatten der Erde den Durchmesser des Mondes erreicht. In der Bildreihe oben wäre beispielsweise das 5. Bild vom links oder das 6. Bild von rechts geeignet.

MondfinstrnisRadius

Mondradius berechnen

Nehmen wir an, dass wir eine Skizze von diesem Bild gemacht haben. Die Strecke AB sei der Durchmesser des Mondes, der Bogen ADB der Schatten der Erde auf den Mond. Wir tragen die Mittelsenkrechte von AB ab (CM; siehe Bild). Sie trifft den Schatten des Erdumfangs bei D. Wir tragen BD ab und die Mittelsenkrechte auf BD. E steht in der Mitte von BD, ME ist die Mittelsenkrechte von BD. Die beiden Mittelsenkrechten treffen sich bei M. MD entspricht also dem Radius der Erde. Das Verhältnis (Radius der Erde zu dem des Mondes) ist also so viel wie MD/AC. Wir haben schon gesehen, wie man den Radius der Erde berechnet (nach Eratosthenes oder nach Al-bīrūnī). Daher können wir auch den Radius des Mondes berechnen!

Abstand zum Mond mit dem Finger berechnen

Erst können wir den Abstand AD (siehe Skizze) von der Erdoberfläche bis zum Mond mit Hilfe des Strahlensatzes (den wir auch bei den Messungen von Al-bīrūnī angewandt haben) berechnen. Nach der Skizze und nach dem Strahlensatz gilt:

${\frac {AB}{BC}}={\frac {AD}{DE}}$

DE (Monddurchmesser) haben wir gerade eben berechnet, AB (Abstand bis zum Daumen) und BC (Länge des Daumens, die das Bild des Mondes vom Auge gesehen versteckt) können wir einfach messen.

Daher ist der Radius der Mondbahn

R = AD + r

(r: schon berechneter Radius der Erde)!

Diesen Abstand hat Aristarchos mit ziemlicher Genauigkeit berechnet, allerdings hat er eine andere kompliziertere Methode benutzt, mit der er auch den Abstand bis zur Sonne geschätzt hat.