Himmelsgesetze der Bewegung/ Freier Fall – Energieerhaltungssatz

Freier Fall und Energieerhaltungssatz

(Energieerhaltungssatz durch den freien Fall mit Hilfe der gleichmäßig beschleunigten Bewegung zeigen)

Mit "freiem Fall" wird gemeint, wenn ein Objekt auf den Boden ohne Hindernisse fällt. Es wird angenommen, dass der Vorgang in Vakuum und ohne Widerstände stattfindet.

Im freien Fall wird zum Ganzen die potenzielle Energie am Anfang zur Bewegungsenergie am Ende. Die Gesamtenergie (potenzielle + kinetische) am Anfang E_GA ist

E_GA= E_PA + E_KA

und da die kinetische null ist (null Geschwindigkeit am Anfang: v_A=0 ), gilt

E_GA= E_PA = m · g · H.

Am Ende ist die Höhe und daher auch die potenzielle Energie null, also

E_GE= E_PE+E_KE = E_KE= ½ m · v²

(Erklärung der Symbole: großes E für Energie, _E im Index für Ende, _P im Index für potenzielle und K im Index für kinetische Energie, _G für gesamt, _A für Anfang, _E für Ende)

Weil wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung haben, mit s=H, a=g und v_Α=v₁=0 gilt:

s=v₁ · Δt + ½ · a · Δt²

also

H= ½ · g · t²

und

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{E}-v_{A}}{t}}=g$

also

v_E = g · t

Wenn man diese Ergebnisse in die Formeln für die Gesamtenergie am Anfang und am Ende einsetzt:

E_GA= E_PA = m · g · H = m · g · ½ · g · t² = ½ · m · g² · t²

E_GE= E_KE= ½ m · v_E² = ½ m · (g · t)² = ½ · m · g² · t² = E_GA

Die Gesamtenergie am Ende ist daher so viel wie die Gesamtenergie am Anfang, also die Gesamtenergie bleibt erhalten.

Damit haben wir den Energieerhaltungssatz gezeigt:

Energieerhaltungssatz

Bei einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten!

Dimensionsanalyse: zeigen, dass Arbeit und Energie die gleiche Größe sind

Beim letzten Absatz haben wir gezeigt, dass E_GA = E_PA = E_KE = E_GE . Die Arbeit ist:

W = F · s · cosα

Hier ist die Bewegung parallel zur Kraft, also ist der Winkel α 0 und daher cosα = 1. Die Formel für die Arbeit ist dann:

W = F · s wobei F die Schwerkraft F_G = m · g ist und s die Höhe H. Daher

W = m · g · H = E_PA = E_KE

Sowohl Arbeit als auch Energie sind Größen, die keine Richtung in Raum haben, im Gegenteil beispielsweise zur Geschwindigkeit. Arbeit und Energie sind daher beide Skalare und man kann Sie gleichsetzten. Sie müssen folglich eine und dieselbe Einheit haben und grundsätzliche dieselbe Größe sein.

Unabhängigkeit von der Masse des fallenden Körpers

Erinnern wir uns an das einfachste Experiment der Physik. Man lässt ein Blatt Papier und eine Metallkugel gleichzeitig fallen. Von unserer Erfahrung wissen wir, dass die Metallkugel schneller fällt. Man neigt dazu zu sagen, dass ihre Masse (ihr „Gewicht“) der Grund ist. Wenn man aber ein Blatt Papier zusammenknüllt, dann fallen Papier und Metallkugel doch gleichzeitig, obwohl sie eine andere Masse haben. Dazu fallen zusammen- und nicht zusammengeknülltes Blatt Papier nicht gleichzeitig, obwohl sie die gleiche Masse haben. Das Phänomen allgemeiner kann also nicht von der Masse abhängen. Im Beispiel mit dem zusammen- und nicht zusammengeknüllten Blatt Papier macht der Luftwiderstand den Unterschied. Wenn man die Blätter im Vakuum (ohne Luft) fallen lässt, fallen sie gleichzeitig. Allgemeiner fallen alle Körper im Vakuum gleichzeitig.

Das sieht man auch in der Formel für die Endgeschwindigkeit beim freien Fall.

v_E = g · t

Die Endgeschwindigkeit beim freien Fall ist nicht von der Masse des fallenden Körpers abhängig, sondern nur von der Fallbeschleunigung und die Fallzeit, die beide auch nicht von der Masse des fallenden Körpers abhängig sind.

Was aber doch von der Masse abhängig ist, ist die Bewegungsenergie am Ende: Die Formel hängt tatsächlich von der Masse des fallenden Körpers ab. Ein fallender LKW und ein fallender Kugelschreiber haben am Ende zwar die gleiche Geschwindigkeit aber völlig andere Bewegungsenergien!

Bleibt die Energie tatsächlich erhalten?

Wenn wir eine Münze fallen lassen, dann wird die potenzielle Energie zur Bewegungsenergie, am Ende bleibt aber die Münze nach dem Stoß am Boden liegen. Was ist mit der ganzen Energie passiert? Ist sie verlorengegangen? Nein! Die Energie wird zur Wärmeenergie! Dass Wärme durch einen Stoß entstehen kann, kann man leicht feststellen, wenn man einfach klatscht! Das ist genau, was mit der Energie der Münze nach dem Stoß passiert: Sie wird zur Wärmeenergie der Münze und der Luft. Wärmeenergie entsteht auch, wenn Reibungskräfte (oder Luftwiderstand) vorhanden sind. Dass Wärme durch Reibung entsteht, gehört zu unserem Alltagserfahrung. Wenn es uns kalt ist, reiben wir die Hände!