Gödel

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Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘

Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL (1906-1978) hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die „Rede von GOTT“ auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, »rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)«. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, (als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang), dass es GOTT gibt : d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, (im Möglichkeitsbeweis), überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein „Existenz-Beweis" für den GOTT der Bibel. GÖDEL beweist aber mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, »die theologische Weltanschauung«, (d.h. die Kalkül-Prämisse, und damit auch das Theorem ANSELMS), mit den Maßstäben der modernen Logik »durchaus vereinbar« (d.h. logisch ,richtig‘) ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. (Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)

Entsprechend der »theologischen Weltanschauung« ist »GOTT ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit« (LEIBNIZ), der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist für GÖDEL die methodologische Prämisse seines Kalküls. Davon ausgehend, zeigt er mit seinen Axiomen und Definitionen, dass es zu Widersprüchen führt, wenn ,angenommen‘ wird, dass es keinen „GOTT“, — ‚G‘ —, und nichts „Vollkommenes“ | „Perfektes“, — ‚P‘ —, (für die Welt) gibt. Das heißt : die „Existenz GOTTES“ wird vorausgesetzt, und dann aus dem Widerspruch des Gegenteils durch GÖDEL als logisch korrekt bewiesen.

Der Schlüsselbegriff im Kalkül

Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist „positive Eigenschaft“, bzw. „Perfektion“, „Vollkommenheit“ : — ‚P‘ — . Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. Ein cleverer ‚Kunstgriff‘ des Ausnahme-Logiker Kurt GÖDEL ! In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt er jedoch — für die nachträgliche Interpretation des Begriffes (und auch für das Kalkül selbst) — eine richtungsweisende Erklärung :

»Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...«

Und er fügt in Klammer hinzu :

»...(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr.«

GÖDEL-Axiom-1 : — ‚(PX${\color {Blue}{\dot {\lor }}}$P¬X)‘ ↔ ‚(¬PX↔P¬X)‘ — :  »Entweder die Eigenschaft ‚X‘ oder ihre Negation ‚¬X‘ ist positiv«. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären : ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Einschätzung. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der »zufälligen Struktur der Welt« entnommen und treffen nicht den »moralisch ästhetischen Sinn« von »positiv« bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert :

»Vollkommenheit [GOTTES] nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt.«

Die Seins-Eigentümlichkeiten (Daseinsmodi, Perfektionen) wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem »moralisch ästhetischen Sinn« von »positiv« bei GÖDEL. Das sind die ‚absolut‘ positiven Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie : ‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘, usw., die an sich ohne jede Begrenzung gelten; zu finden in der ‚Via quarta‘ bei THOMAS von Aquin über die analoge Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese analoge ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit (d.h. Unvollkommenheit) im »zufälligen« ‚Sein‘ der Dinge —.

Das GÖDEL-Axiom-5 : — ‚PE_not‘ — : »Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der »zufälligen Struktur der Welt« angewendet wird, wie z. B. auf einen „Tornado“, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt : „Existenz ist keine Eigenschaft“. Das gilt für alles, was „existiert“. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn „Dasein“ (Existenz) und „Wesenseigenschaften“ (Essenz) in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Dasein‘ ontologisch verschieden zu dem ‚was‘ sie sind : zu ihrem ,Wassein‘. In der philosophischen Tradition seit ARISTOTELES wird die ontologische Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem selbst ‚unbewegten‘ „Erstbewegenden“ zugeschrieben, dem „πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον“ | „prôton kinoûn akinêton“, von dem ARISTOTELES etwas später sagt : »denn dies ist der Gott« und dann hinzufügt: »so sagen wir ja«; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ benutzt; (auch im Axiom-3 : — ‚PG‘ — : »Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES«). Die ontologische Identität von Sein und Wesen gilt nur in der unverursachten ‚Letztursache‘, auf die ARISTOTELES bei seinen Prinzipienforschungen gestoßen ist.

Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber »sind die Axiome nur dann wahr«, wenn sie »unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt [d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt] sind«. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin „theologische“ Interpretation seines Kalküls, mit der „Theologie“ zum Begriff GOTT als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Das heißt aber auch : eine Verifikation, bzw. ein Konsistenznachweis der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten muss Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. »unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt«.

Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuumvariable, sondern auch Eigenschaftsausdrücke („Prädikate“) binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und drei Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse abgeleitet werden können. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle drei Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über „GOTT“, — ‚G‘ —. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem sind auch Aussagen über die Eigenschaft „Vollkommenheit“, — ‚P‘ —, die in der »theologischen Weltanschauung« als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt : — ‚PG‘ —, »GOTT ist vollkommen« bzw. »GOTT ,ist‘ der Vollkommene«. Zwei Definitionen sind allgemeine Aussagen über Wesenseigenschaften, die GOTT zugeordnet werden. Aus dieser Aufzählung ergibt sich die Folgerung, dass die ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur „theologisch“ erfolgen kann. Die Evaluierung der ,mathematischen Evidenz‘ des GÖDEL-Systems muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden.

Die Genese des Kalküls

Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül ? Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ, (1704) : ‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘. Viertes Buch, Kapitel X : ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘, Seite 475f.

Hier der [kommentierte] Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘:

»Folgendes etwa ist der Gang seines [ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury ] Beweises : GOTT ist das größte oder, wie DESCARTES es ausdrückt : das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit : [ GÖDEL : ‚P‘ := ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ], das alle Grade derselben in sich schließt. [ GÖDEL-Definition-1 : — ‚Gx↔∀X(PX→Xx)‘ — : »x ist genau dann GOTT, — ,G‘ —, wenn x alle Vollkommenheiten, — ,P‘ —, in sich schließt.« Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ] Dies also ist der Begriff GOTTES. [ Das — ,G‘ — steht hier für den ‚Begriff‘ „GOTT“ als ,Individuumname‘ ! ] Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt. [ GÖDEL : — ‚□∃xGx‘ — : »GOTT ist notwendig, d.h. ist wirklich ‚da‘.« ] Es ist etwas mehr, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.«

(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 :  »notwendige Existenz [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] ist eine positive Eigenschaft [ alias Vollkommenheit ]«. Dem widerspricht KANT : „Existenz ist keine Eigenschaft“, bzw. „Sein ist kein reales Prädikat“. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | „ἐνέργεια οὖσα“ | ‚enérgeia ũsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | „οὐσία“ | ‚usía‘ | — genauer : ‚Wesenseigenschaften’ — ontologisch identisch sind. Was nach ARISTOTELES nur von dem „unbewegten Erstbeweger“ gilt; bzw. mit LEIBNIZ : »was das Privilegium der Gottheit allein ist« ! Aus Axiom-3 : »Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft«, bzw. »GOTT ist perfekt«, mit Axiom-4 : »Positive Eigenschaften sind notwendig positiv«, mit Definition-2 : »Zum Wesen gehören auch alle notwendigen Konsequenzen aus einer positiven Wesenseigenschaft« und mit der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 : — ‚Gx↔G_essx‘ — : »Dasein | GOTT-Sein ist das Wesen GOTTES.« Mit diesem, im Kalkül ohne Axiom-5 regulär abgeleitetem Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall ‚G‘ := „GOTT“. Nachprüfbar im Anhang : im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘.)

»Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren doctor angelicus [ := THOMAS von Aquin ] auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet, [ wie später auch Immanuel KANT ], und ihn als einen Paralogismus [ := Fehlschluss ] betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis, [ den GÖDEL vervollständigt hat ], der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch [ := ◇ : ,möglich‘, ,konsistent‘; GÖDEL, aus Theorem-1 : — ‚PX→◇∃xXx‘ — : »positive Eigenschaften sind widerspruchsfrei«, mit Axiom-3 : — ‚PG‘ —, folgt Korollar-1 : — ‚◇∃xGx‘ — : »GOTT ist möglich« ]. Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist : gesetzt, dass GOTT ‚möglich‘ ist, so ‚ist‘ er [ ,notwendig‘ := □, d.h. in jeder möglichen Welt wirklich ‚da‘ ], was das Privilegium der Gottheit allein ist. [ Theorem-3 : — ‚◇∃xGx→□∃xGx‘ — := ‚ANSELMS Prinzip‘; mit Korollar-3 : — ‚□∃xGx ˄ □∀y(Gy→x=y)‘ — : »Es gibt notwendig d.h. wirklich, nur einen einzigen GOTT«. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ] Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist. Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln. [ Aber nicht logisch zwingend ! Denn die Interpretation — ‚G‘ — mit dem GOTT der Bibel ist nicht zwingend, jedoch im christlichen Glaubenskontext sinnvoll; was mit einer stimmigen „theologischen“ Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit ist dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, d.h. als eine ,axiomatische‘ „Theologie“, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das — ‚G‘ — ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘.] Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer [ sic ! ] den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten, [ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen »mathematische Evidenz« man heute mit Computerprogrammen schon nachgewiesen hat ] ... «

Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer — ‚G‘ — z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die »zufällige Struktur der Welt« zu einem ‚Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte.

Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text :

»...ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig [ sic ! ], (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung, [ dass GOTT wirklich ‚da‘ ist ], mit allen bekannten Tatsachen, [ d.h. mit den Maßstäben einer modernen Logik ], durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht.«

Die Interpretation des Kalküls

Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage: „Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT (als eine ‚Rede von GOTT’ := ,Theologie’) und seiner Eigenschaften verstehen ? “ — „Ist hier eine genuin ,theologische’ Interpretation möglich ? “ Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem Theologen und Bischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die „mathematische Evidenz“ des GÖDEL-Formalismus, (im Anhang nachgestellt), ist allgemein anerkannt, (Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax). Die „theologische Evidenz“ des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den theologischen-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie — die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT »unabhängig« von der »zufälligen« Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich in der Axiom-Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN : ‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘ in ‚Logik in der Philosophie‘ Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg. (Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax.)

Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer „theologischen“ Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 : — ‚PE_not‘ —, »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«.

‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ : „Existenz ist keine Eigenschaft“. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ :

»… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge [ kann man ] von einer Menge ihrer Prädikate [ d.h. Eigenschaften ] sagen … : sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen, bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es, [ das Ding ], wie es ‚an sich selbst‘ sei, [ d.h. existiert ], durch Sinne gar nicht erkennen können; [ seine Prädikate/Eigenschaften jedoch können wir mit unseren Sinnen in der Erscheinung der Dinge ,registrieren‘ ].« (Hervorhebung durch KANT.)

Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, (das ‚Ding an sich’ bei KANT), nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. (‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.) Dafür haben wir andere Fähigkeiten : Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich, auf Postkarten dargestellt, kaufen. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die rekonstruierte ‚Existenz‘ dieses Schlosses ist die Voraussetzung, die ‚Ursache‘, dass es so und so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann.

In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen „Cogito, ergo sum“ :

»Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen : ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens, [ eine wesentliche Eigenschaft ], alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen [ d.h. notwendig existierenden ] Wesen machen. [ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator : »GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz ( ‚Wesenseigenschaft’ ) und Existenz ( ‚Dasein’ ) nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist«, — konform mit GÖDEL :  »notwendige Existenz ist eine positive ( wesentliche ) Eigenschaft« ]. Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als [ logisch ] gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch; [ und als einfache Schlussfolgerung : meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘ ].« (Aus der Anmerkung 41 zu den ‚Paralogismen der reinen Vernunft‘, Kant-Werke Band 4, Seite 355, mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.)

Mit anderen Worten : „Die Eigenschaft, dass ich denke, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“, sondern, „Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“ Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet : „Was bist du ? “/„Wer bist Du ? “ Antwort, Exodus 3,14 : »Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘ [für euch und für immer]«. Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist — „von Ewigkeit zu Ewigkeit“ — hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. (In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so : GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus.)

Wie gesagt, das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen „theologischen“ Interpretation der GÖDEL-Axiomatik.

Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT

Die »mathematische Evidenz« des GÖDEL-Kalküls, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten schon festgestellt worden, (im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe). Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘„Existenz-Beweis“ für GOTT, wofür es meistens gehalten oder bezweifelt wird, sondern setzt (theoretisch methodisch) den „Glauben an GOTT“ schon voraus. Das „Dasein“ bzw. die „Existenz“ GOTTES wird mit der Definition-1 für — ‚G‘ —, bzw. mit dem Axiom-3 : — ‚PG‘ — , im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ ‚G‘ := „Göttlichkeit“ (Essenz) und das „Dasein GOTTES“, — ‚G‘ — (Existenz), ontologisch ‚identisch‘ sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt : — ‚PE_not‘ — : »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«. Das „Dasein GOTTES“ ist faktisch äquivalent zur „notwendigen Existenz“; und „Göttlichkeit“ ist eine „positive Eigenschaft“. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe. Der traditionelle ,GOTT-Glaube‘ ist schon mit dem Term ‚G‘ := „GOTT“ | „göttlich“, (das — ‚G‘ — ist sowohl ,Individuumname‘ als auch ,Eigenschaftsbezeichnung‘ ! ) als ,methodologische‘ Prämisse :01: — ‚Gy‘ — im Beweis für das Theorem ANSELMS (vgl. Anhang, 3. Beweisgang), d.h. als ,Annahme‘ regulär eingeführt, und wird dann mit Definition-1 (Term :02: im 3. Beweisgang) genauer bestimmt : — ‚Gx↔∀X(PX→Xx)‘ — :  »x ist genau dann ‚GOTT‘ | ‚göttlich‘ — ‚G‘ —, wenn x alle positiven Eigenschaften — ‚P‘ — hat«, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. (Das ,postulierte‘ Axiom-3 — ‚PG‘ — wird standardmäßig gelesen als »Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft«, hat aber auch eine alternative Leseart : »GOTT ist perfekt d.h. vollkommen«, was „theologisch“ auch richtig ist; mit ‚P‘  := „Perfektion“/„Vollkommenheit“ ist dann die Summe aller „positiven Eigenschaften“.) Mit Axiom-3 — in dieser „theologischen“ Leseart — ist der ‚wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ : »GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist«.

In Definition-3 wird die „notwendige Existenz“ durch die notwendig instantiierten „Wesenseigenschaften“ — ‚X_ess‘ — bestimmt : — ‚E_notx ↔ ∀X(X_essx →□∃yXy)‘ —. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das Theorem des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘ von „Dasein“ (Existenz) und „Wesenseigenschaften“ (Essenz) im prinzipiell „unbewegten Erstbewegenden“ voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 : — ‚Gx→G_essx‘ — kann unter dieser Voraussetzung dann, „theologisch“ richtig und eindeutig, so gelesen werden : „Wenn — ‚x‘ — für GOTT — ‚G‘ — steht, dann ist GOTT-Sein — ‚G‘ — (,Existenz‘) das Wesen GOTTES — _ess‚x‘ — (,Essenz‘) ”, statt der „theologisch“ unrichtigen Lesearten : »Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens«, oder »Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität«, mit der suggestiven Annahme, es gäbe mehrere göttliche Entitäten, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition widerspricht, die im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. (Die Interpretation ‚G‘ := „GOTT“, als ,Individuumname‘, ist synonym zum „Dasein (Existenz) GOTTES“, äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ „Göttlichkeit“, alias „göttlich zu sein“ = „GOTT zu sein“ = „GOTT-Sein“; und mit ‚G_ess‘ := „das Wesen (Essenz) GOTTES“.)

‚G‘ := „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“

Die Rechtfertigung für diese „theologische“ Dreifach-Äquivalenz für — ‚G‘ — im GÖDEL-Kalkül gibt Axiom-5 : — ‚PE_not‘ — : »notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft«. Hier hat GÖDEL explizit „Eigenschaft“ mit „Existenz“ bzw. „Sein“ gleichgesetzt; (was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur »zufälligen Struktur der Welt« gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist : „Existenz ist keine Eigenschaft“, bzw. „Sein ist kein reales Prädikat“). Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelischen Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ (Essenz) „Göttlichkeit“ (ontologisch korrekt) gelesen werden als „das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“, nämlich zu seinem „GOTT-Sein“ (Existenz), zu seinem „Dasein als GOTT“; zur Tatsache, dass „GOTT GOTT ist“, d.h. dass „GOTT als GOTT ‚da‘ ist“. Das ist, (und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO), nach traditioneller Auslegung, die übliche Funktion des ‚Wesens‘ | „οὐσία“ | ‚usía‘ | eines Seienden : es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; (es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘).

Da aber in ‚Gott‘ (dem „unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“) Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von „οὐσία“ | ‚usía‘ | ,Wesen‘ im „Erstbewegenden“ nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘ — „ἐν-έργεια οὖσα“ | ‚en-érgeia ũsa‘ — ‚ins-Werk‘ gesetzt; („τὸ ἔργον“ | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; „ἐνέργεια“ | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklich sein‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und „οὖσα“ | ,ũsa‘ | feminin Nominativ Singular von „ὤν“ | ‚ón‘ | ‚seiend‘). Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, „actus purus“, sein Wesen ist ‚reiner Akt‘, ,reine Gegenwärtigkeit‘, d.h. ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der Erkenntnis, dass GOTT »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur unserer Welt« ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT : Der zeitlos ewige GOTT ist „notwendig“ aus sich „immer schon da“, m.a.W. ist „ursprungslos“. Insofern ist „Göttlichkeit“ die „Wesenseigenschaft“, die im „Dasein GOTTES“ d.h. in „GOTT“, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung — „Perfektion“, Axiom-3 : — ‚PG‘ —, erreicht hat : »GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘, vollkommen aus sich, und für uns notwendig ‚da‘« : — ‚PE_not‘ — : GOTT ‚ist‘ in seinem ‚vollkommenen Wesen‘ „unverursacht“; und ‚ist‘, „notwendig für uns“, immer schon ‚da‘. „Vollkommenheit“ : — ‚P‘ — ist die „Wesenseigenschaft“, bzw. das „Wesen GOTTES“ : — ‚G_ess‘ —. »GOTT ,ist‘ der Vollkommene« : — ‚PG‘ —.

Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist : nur unter der Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von „Sein“ und „Wesen“, d.h. der ‚Gleichsetzung‘ von ‚notwendiger‘ „Existenz“ — ‚E_not‘ — mit ‚positive (wesentliche) Eigenschaften‘/„Essenz“ — ‚P‘ — ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik ! Diese ‚Identität‘ wird in ARISTOTELES, ‚Metaphysik‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt :

» … es muss [ notwendig ] etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘ [ worden ] zu sein, [ ‚unentstanden‘ ], alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘ [ ‚entstehen lässt‘ ]«, das ‚zugleich‘ „αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα“ | »[ zeitlich-]ewig, sowohl Wesen als auch seiende Aktualität [ „actus purus“ ] ist«, bzw. „ὀρεκτόν καί νοητόν“ | ,orektón kai noêtón‘ |  »ersehnt und erkennbar ist.« (vgl. ,Metaphysik‘ XII 7, 1072a,23–1072b,4)

Diese ontologische ‚Identität‘ von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, (Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens), »ist das Privilegium der Gottheit allein« : mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten philosophischen Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte.

Angenommen, die Variable — ‚x‘ — steht für den „GOTT“ — ‚G‘ — der Christen, (siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang), dann ist — auf Grund von Beweisgang zu Theorem-2 — ,wahr‘ : die ‚positive Eigenschaft‘ »Göttlichkeit« — ‚G‘ — und das faktische »‚Da‘-Sein (Existenz) GOTTES« — ‚G‘ — ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt : nämlich das, was wir das »Wesen (Essenz) GOTTES« — ‚G_ess‘ — nennen. »Göttlichkeit | GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES« bzw. »Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT | seine Göttlichkeit«, m.a.W. : »GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘ (d.h. notwendig) aus sich ‚da‘«. Das ist das Einzigartige im »Wesen GOTTES« ! GOTT ist, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein »Wesen«; Theorem-2 :

— ‚Gx↔G_essx‘ —

Damit kann GOTT ‚explizit‘ (mit Hilfe eines logischen Kalküls) genuin „theologisch“ ‚bestimmt‘ werden : »GOTT ist genau deswegen GOTT, weil sein zeitlos-ewiges und an sich ‚grundloses‘ (aber für uns notwendiges) Dasein (Existenz) als GOTT, ontologisch — dem Sein nach — identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen (Essenz) als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.« Die philosophische Frage nach dem „Wesen GOTTES“ lautet (auf die Person bezogen) : „Was bist du ? “ Sie ist äquivalent zur theologisch-biblischen Frage : „Wer bist Du ? “ Die bekannte Antwort aus ‚Exodus 3,14‘ thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige „Dasein GOTTES“ : ‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚ | ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ | »Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘ [für euch und für immer]«. Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, „theologisch“ ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden GOTT-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ ist : „,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“, (das mit Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik ist : die Beweisgrundlage für das Theorem AMSELMS), — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt : GOTT ist für uns immer schon ,da‘, weil er uns liebt. Das ist das, ,was‘ GOTT ausmacht — sein Wesen.

Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, „unverursacht“ | „grundlos“, für uns immer schon ‚da‘ ist, — „von Ewigkeit zu Ewigkeit“ —, vorausgesetzt (‚angenommen‘), man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT. (Der Glaube an den zeitlos-ewigen GOTT ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 : — ‚PG‘ — : »GOTT ist perfekt«, und der Definition-1 für ‚G‘ := „GOTT“, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen — nach GÖDEL — nur dann »wahr« sind, wenn sie »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls »unabhängig« von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist ! ) Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL, »rein verstandesmäßig« überzeugen. Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt : — ‚¬◇∃xGx‘ —, (dezidierter Atheismus), führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚Gödels Möglichkeitsbeweis‘, in ‚Der Gödelsche Gottesbeweis‘, Seite17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik »durchaus vereinbar« und ,vernünftig‘. Damit steht fest : das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines ewigen GOTTES voraus, der — »unabhängig von der zufälligen Struktur unserer [ vergänglichen ] Welt« — für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, (als Prämisse), dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, immer falsch; was GÖDEL mit seinem (nicht umkehrbaren) ‚Möglichkeitsbeweis‘ vorexerziert hat. (Siehe Anhang : GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens.) Der Logiker GÖDEL hat hierbei anscheinend auch keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ (Agnostizismus) feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten.

Das GÖDEL-Theorem-3 von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES — ‚□∃xGx‘ —, (mit seinem ‚Antezedens’, der ‚Widerspruchsfreiheit‘ GOTTES, — ‚◇∃xGx‘ —) : ‚ANSELMS Prinzip‘ : ist dann nur noch eine weitere Explikation des ‚Basistheorems‘ des Kalküls : — ‚Gx↔G_essx‘ — , über die ‚ontologische Identität‘ von dem faktischen „Dasein GOTTES“ : — ‚Gx‘ —, (d.i. nach GÖDEL, von seiner ‚notwendigen Existenz‘ : — ‚E_notx‘ —) mit seinem „Wesen“ : — ‚G_essx‘ — , (d.i. nach Axiom-3, mit der „Perfektion Göttlichkeit“ : — ‚PG‘ —, welche im ersten Teil von Beweis für Theorem-2, mit Term :13:, als „positive Eigenschaft | Perfektion“ in GOTT schon ‚definitiv‘ bestätigt worden ist : — ‚PY‘ —; siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2). Im ‚ontologischen‘ Beweisgang für Theorem-3, ist das Basis-Theorem-2 sowohl für dieses ‚Prinzip ANSELMS‘, wie auch für Axiom-5 und Definition-3, die ,verifizierende’ Voraussetzung; (vgl. Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4). Dieses ‚Basistheorem‘ ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES : GOTT ist „unverursacht“ | „ursprungslos“ ‚da‘, von „Ewigkeit zu Ewigkeit“, denn es ‚ist‘ sein „Wesen“, (zeitlos ewig) für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die „Theologie“.

Die Bedeutung des Kalküls

Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘

KANT sagt :

»Sein ist offenbar kein reales Prädikat. ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten [ d.h. Eigenschaften ] (worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage: ‚Gott ist‘, [ GOTT existiert ], oder ‚es ist ein Gott‘, so setze ich kein neues Prädikat [ keine neue Eigenschaft ] zum ‚Begriffe‘ von Gott : [ ‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT; ‚Existenz‘ ist keine ‚Eigenschaft‘ ], ... Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste mehr, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser, [ die 100 ‚wirklichen‘ Taler ], mehr enthielte als jener, [ als ihr ‚gedachter‘ Begriff, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT argumentierte, …so würde ] mein ‚Begriff‘ [ die 100 ‚möglichen‘ Taler ] nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch nicht der angemessene Begriff von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist mehr bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, [ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ] ... « (‚Kritik der reinen Vernunft‘, KANT-Werke Band 4, Seite 533ff).

GÖDEL würde darauf antworten :

»Die „100 Taler“ sind der »zufälligen Struktur der [ vergänglichen ] Welt« entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer Welt, „über“ dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt : Der (unvergängliche) GOTT — ‚Gx‘ — „existiert notwendig“ aus sich — ‚E_notx‘ —, und „Existenz“ ‚ist‘ die „positive Eigenschaft“ in GOTT, — ‚PE_not‘ —, weil GOTT „vollkommen“ | „perfekt“ ist — ‚PG‘ — : ‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘; (notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Eigenschaft’ in GOTT), und nur bei GOTT ! GOTT ist das ‚einzige‘ „Wesen“ — ‚x‘ —, das „notwendig“ d.h. „grundlos“ | „unverursacht“, aus sich, für uns immer schon ‚da’ ist, und es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ einen GOTT : — ‚□∃xGx ˄ □∀y(Gy→x=y)‘ — (Monotheïsmus).«

Die „Rede von GOTT“ in der philosophischen Tradition

»Das Erstbewegende, (,πρῶτον κινοῦν‘), das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein, [ unverursacht ], (,ἀκίνητον‘), alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘, [ verursacht ], (,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘), ist sowohl [ zeitlich-]ewiges ‚Wesen‘ (,ἀΐδιον οὐσία‘ | ‚Substanz‘ ) als auch [ zeitlich-]ewiges ‚wirkliches Sein‘ (‚ἀΐδιον ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘) … ersehnt (,ὀρεκτόν‘) und erkennbar (,νοητόν‘) ... Denn dies ist der ‚Gott‘ (,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘), — ‚Gx‘ —, der [ zeitlich-]ewige (,ἀΐδιον‘), unvergleichliche, (,ἄριστον‘ | ‚beste‘ ) Lebendige (,ζῷον‘), [ er ist das Leben selbst ], ... so sagen wir ja (,φαμὲν δὴ‘).« : (ARISTOTELES — Grieche).

Der ‚Begriff’ „GOTT“ — ‚Gx‘ — ist synonym mit „göttliches ‚Sein’“, das „vollkommen“ | „perfekt“ ist, (das ist das vollkommene ‚Wesen‘ GOTTES) — ‚PG‘ —, und das zugleich „notwendig“ ‚da‘ ist, (das ist das notwendige ‚Dasein‘ GOTTES) — ‚E_notx‘ —, „von Ewigkeit zu Ewigkeit“. Das ist der angemessene Begriff von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT „vollkommen“ ist, ist „Dasein“ das „Wesen“ GOTTES : — ‚Gx↔G_essx‘ —. In GOTT sind „Essenz“ und „Existenz“ untrennbar, (sind ‚identisch‘ dasselbe), und »darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist« : (IBN SINA alias AVICENNA — Muslim).

Der (gedachte) ‚Begriff‘ „Vollkommenheit GOTTES“ — ‚PG‘ —, (‚Perfektion‘, die Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘) schließt die ‚Eigenschaft’ „notwendige Existenz“ mit ein : — ‚PE_not‘ —. GOTT wäre nicht „vollkommen“, wenn er nicht auch ‚da‘ wäre, wenn er nicht „existierte“. ‚Sein’ ist mehr als ‚Nicht-Sein’. GOTT ist daher das »vollkommenste Wesen, über das nichts Vollkommeneres mehr ‚gedacht‘ werden kann« : (ANSELM von Canterbury — Christ).

Der ‚Begriff’ „Perfektion“ in GOTT — ‚PG‘ — schließt auch ein „Dasein“ ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende mit ein. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, „notwendige Existenz“ GOTTES : — ‚Gx→E_notx‘ —, »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer ‚vergänglichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. GOTT jedoch ist »unabhängig« von dieser „vergehenden Raum-Zeit“ — »jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas« (GÖDEL) —. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, (beides ist zeitlos ,eins‘), und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der an sich »notwendig« ,existiert‘, „unverursacht“ | „ursprungslos“ immer schon ‚da‘ : (GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)

Resümee :

Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit ‚mathematischer Evidenz‘, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, (die Axiome bilden formal »die theologische Weltanschauung« ab), unter der Voraussetzung, dass die Axiome »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-] Struktur« unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheit gelingt GÖDEL — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung — durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit; (siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2 : Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils). Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird : GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT (»ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen«) hat eine mehr als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der „100-Taler-Gott“ des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren.

Kurt GÖDEL :

»Die theologische Weltanschauung [ dass GOTT ‚da‘ ist ] ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar«; [ d.h. sie ist das Ergebnis der — vom Glauben geleiteten — ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘ ]. »Der Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ der Vernunft.« (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas )

Für KANT, (wie auch für uns), ist es ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. In der philosophischen Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff »GOTT« jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für ihn die Logik KANTS nicht mehr gilt.

Dazu der Kommentar von HEGEL :

»Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff [ ‚GOTT‘ ] die Realität nicht herausklauben, so ist da der Begriff als endlich gefasst. [ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht das ‚Sein‘ folgt : „Sein ist kein reales Prädikat“. ] Jedoch der Begriff ohne Sein [ ist ] ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist, [ ist ] das begrifflose Sein. Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt [ im Endlichen zutrifft ], kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben.«

Das Entscheidende bei der „theologischen“ Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass (der Begriff) GOTT, — ‚Gx‘ —, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe gestellt wird, (d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tornado‘ etc.), und damit verglichen wird, sondern in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als »der Unendliche« belassen und als »unabhängig von der zufälligen [ Raum-Zeit-]Struktur« unserer vergänglichen Welt verstanden wird. (Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des »Unendlichen«, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.) Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen.

Anhang : das GÖDEL-Kalkül

Legende zum GÖDEL-Kalkül

${\begin{aligned}{\text{ ◇ ↔ konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, }}&{\text{ □ ↔ notwendig ↔ in jeder möglichen Welt verwirklicht}}\\{\text{ A ├ B ::}}&{\text{ aus A ist B im Kalkül ,regulär ableitbar‘ (├ ) }}\\{\text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine }}&{\text{Eigenschaft) und :10: ist der Term in der Kalkül-Zeile 10}}\\{\text{ AE ::}}&{\text{ Argument Einführung, Prämisse, Postulat }}\\{\text{ Xx ::}}&{\text{ die Variable x hat die Eigenschaft X }}\\{\text{ ¬PX ::}}&{\text{ X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion }}\\{\text{ Instanz(X := Y) ::}}&{\text{ Substitution der Eigenschaft X durch die bestimmte Eigenschaft Y }}\\{\text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger}}&{\text{ Dinge; hier eine Eigenschaft, die durch eine bestimmte ersetzt wird) }}\\{\text{ FUB(x := y) ::}}&{\text{ Freie-Um-Benennung der Variable x in y }}\\{\text{ [G(y) ├ ⱯyG(y)] ::}}&{\text{ All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT }}\\{\text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann ist }}&{\text{,regulär ableitbar‘ (├ ), dass jedes y im Kalkül für GOTT steht“ }}\\{\text{[ⱯXA(X) ├ A(X)] ::}}&{\text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X }}\\{\text{ KOMM(↔) ::}}&\;{\text{[(A↔ B) ↔ (B ↔ A)] :: Kommutativgesetz für ( ↔ )}}\\{\text{ DIST(□˄) ::}}&\;{\text{[(□A ˄ □B) ↔ □(A ˄ B)] :: Distributivgesetz für (□˄ )}}\\{\text{ (häufige logische Schlussregel) ::}}&\;{\text{[A → B, A ├ B] :: (Modus ponendo ponens)}}\\{\text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist, }}&{\text{dann ist im Kalkül ,regulär ableitbar‘ (├ ) dass auch B wahr ist“ }}\\{\text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::}}&\;{\text{[├ A ├ B ╞ A → B] :: (logische Implikation)}}\\{\text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im }}&{\text{Kalkül ,regulär ableitbar‘, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B“ }}\\{\text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::}}&\;{\text{[├ ¬A → F ╞ A] :: (Reductio ad absurdum)}}\\{\text{ „Wenn im Kalkül ,regulär ableitbar‘ ist, dass aus ¬A eine }}&{\text{Kontradiktion F folgt, dann ist A ‚bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘ “}}\\\end{aligned}}$

A. FUHRMANN : » Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke („Prädikate”) binden können. [ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]. Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz — ‚Xx‘ — bzw. — ‚PX‘ — um auszudrücken, dass das Individuum — ‚x‘ — die Eigenschaft — ‚X‘ — hat, bzw. dass die Eigenschaft — ‚X‘ — die höherstufige Eigenschaft — ‚P‘ — (für „positiv”) hat.«

Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier in der formalen Syntax der Prädikatenlogik zweiter Stufe als eine tiefer gestellte Abkürzung an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch — _ess — , oder ‚notwendig‘ durch — _not — . Der Term : —‚G_essx‘ — kann gelesen werden als : „Das Individuum — ‚x‘ — hat die Wesenseigenschaft, — _ess — : GOTT zu sein, — ‚G‘ — ”, statt der ,an sich‘ konformen, aber „theologisch“ etwas ,unbeholfenen‘ Formulierung, : „ — ‚x‘ — ist wesentlich göttlich”; oder mit der Voraussetzung : — ‚Gx→G_essx‘ — deutlicher : „Wenn — ‚x‘ — für GOTT — ‚G‘ — steht, dann ist GOTT-Sein — ‚G‘ — (,Existenz‘) das Wesen GOTTES — _ess‚x‘ — (,Essenz‘) ”; wobei — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls — bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die „Theologie” für den Begriff „GOTT”, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von — ‚G‘ — berücksichtigt werden.

1. Beweisgang

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.1)}}&\quad P\neg X\;\Longrightarrow \;\ \neg P\ X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 2)}}&\quad P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Longrightarrow \ Y\ x)\Longrightarrow \ P\ Y&\ &{\text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X }}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Theorem 1)}}&\quad P\ X\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) }}\\{\text{ }}&{\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad P\ X\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, es gibt pos. Eigenschaften, Perfektionen“}}\\{\text{02}}&\quad P\ X\;\Rightarrow \;\neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, pos. Eigenschaften sind nicht konsistent“}}\\{\text{03}}&\quad (\neg x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“}}\\{\text{04}}&\quad (\ x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“}}\\{\text{05}}&\quad {\text{ ├ }}\;\neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:01:02:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] : AE:}}\\{\text{06}}&\quad \neg \neg \Box \neg \exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)}}\\{\text{07}}&\quad \neg \neg \Box \neg \neg \forall x\neg X\ x\ &\ &{\text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)}}\\{\text{08}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall x\neg X\ x\ &\ &{\text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)}}\\{\text{09}}&\quad \Box \;\forall x\neg X\ x\Leftrightarrow \ W&\ &{\text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)}}\\{\text{10}}&\quad \Box \;\forall x\ X\ x\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)}}\\{\text{11}}&\quad \ (\neg x=x)\Leftrightarrow \ F\;\ &{\text{ }}&{\text{Xx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{12}}&\quad \Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&{\text{ }}&{\text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: (ex falso sequitur quotlibet)}}\\{\text{13}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&\ &{\text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B]}}\\{\text{14}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))\Rightarrow \;P(\neg x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)}}\\{\text{15}}&\quad \ P(\neg x=..)&\ &{\text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{16}}&\quad \ P(\neg x=..)\;\Rightarrow \ \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}}\\{\text{17}}&\quad \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{:15:16:[Modus ponens]}}\\{\text{18}}&\quad \ (x=x)\Leftrightarrow \ W\;\ &\ &{\text{Xx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !}}\\{\text{19}}&\quad \Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;\ (x=x))&\ &{\text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: (ex falso sequitur etiam verum)}}\\{\text{20}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(x=x))&\ &{\text{:01:19:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B]}}\\{\text{21}}&\quad \ P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Rightarrow \;(x=x))\Rightarrow \ P(x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))}}\\{\text{22}}&\quad \ P(\ x=..)\ &\ &{\text{:20:21:[Modus ponens]}}\\{\text{23}}&\quad {\text{ ├ }}\;(\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{24}}&\quad \neg \Diamond \;\exists x\ X\ x\Rightarrow (\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))&\ &{\text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{25}}&\quad \neg \neg \Diamond \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}}\\{\text{26}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Diamond \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}}\\{\text{27}}&\quad \ P\ X\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ X\ x\ &\ &{\text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{(Theorem 1)}}&\;{\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\{\text{28}}&\quad \ P\ G\;\Longrightarrow \;\Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{:27:Instanz(X:=G) }}\\{\text{29}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{(A3):28:[Modus ponens]}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\;{\text{„Das Dasein GOTTES ist möglich“}}&\ &{\text{„Es ist denkbar, dass es GOTT gibt“}}\\\end{aligned}}$

Anmerkung-1 : (Der Term — ‚PX‘ —, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich sogar um zwei Schritte.) Mit der Prämisse :01: (hier im 1. Beweisgang) postuliert GÖDEL vorerst, dass es »Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften« gibt : — ‚PX‘ —, ohne im Kalkül zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird nur (im 2. Beweisgang), was eine »wesentliche Eigenschaft« ist; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL (im 3. Beweisgang), was eine »notwendige Existenz« sein soll, die er (im selben Beweisgang) axiomatisch mit den »positiven Eigenschaften in GOTT« gleich setzt : Axiom-5 : —‚PE_not‘ —. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer ,Reductio ad absurdum‘, definitiv bewiesen ( ╞ ), dass die von GÖDEL postulierten Wesenseigenschaften in GOTT tatsächlich »positiv, perfekt, vollkommen« sind. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden : Ob, mit ,mathematischer Evidenz‘, »GOTT« ,möglich‘ ist, der nach traditioneller Auffassung, »ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit [ ist ], das alle Grade derselben in sich schließt«, (nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘). Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen »GOTTES« ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der »positiven Eigenschaften in GOTT« formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, (,Erster Satz‘), fasst A. FUHRMANN zusammen als : »Positive Eigenschaften sind konsistent«. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, (Term :24:). Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, (das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt), sichern hier die Konsistenz »aller positiven Eigenschaften in GOTT«. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, erklärt GÖDEL : »◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist, [d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche]. Das ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2, [weil alle positiven Eigenschaften gleichwertig sind].« Darum ist es ,denkbar‘, dass es diesen GOTT gibt, der »alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt«; und, in weiterer Konsequenz, ist es sogar ,notwendig‘, nach Theorem-3. (im 3. Beweisgang)

Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN : » Die Notation (¬x=..) für die Eigenschaft : „nicht mit x identisch zu sein“ [ d.h. „Ungleichheit“, „Anderssein“, bzw. die Notation (x=..) für den Existenzmodus-Perfektion : „Gleichheit“, „Idendität“ ] ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie λy.(¬x=y), [ bzw. λy.(x=y) ]. Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck λy.(¬x=y) gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck ¬λy.(x=y). Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion : λy.Xy.x ↔ Xx [ mit der Instanz(X:=(¬x=..)) ] so schließen dürfen : λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ ¬λy.(x=y).x. «

2. Beweisgang

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.2)}}&\quad \neg P\ X\;\Longrightarrow \;\ P\neg X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad \ P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Axiom 4)}}&\quad \ P\ X\;\Longrightarrow \;\Box \;\ P\ X\ &\ &{\text{„Eine positive Eigenschaft ist notwendig positiv“}}\\{\text{(Definition 1)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Longrightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“}}\\{\text{(Definition 2)}}&\quad \ X_{ess}\ x\;\Leftrightarrow X\ x\wedge \forall Y\left(\ Y\ x\Rightarrow \Box \;\forall y(\ X\ y\Rightarrow \ Y\ y)\right)&\ &{\text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und}}\\{\text{ }}&\quad &{\text{ }}&\;\;{\text{alle anderen Eigenschaften Y von x aus dieser Eigenschaft notwendig folgen“}}\\{\text{[RM]}}&\quad \ A\;\Longrightarrow \;\ B\;{\text{ ├ }}\;\Box \;A\Longrightarrow \;\Box \;\ B\ &\ &{\text{( :: Modales Prinzip)}}\\{\text{(Theorem 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)}}\\{\text{ }}&\;{\text{„Das Wesen GOTTES ist Dasein“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \ G\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“}}\\{\text{02}}&\quad \ Y\ x\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, x hat die Eigenschaften Y“}}\\{\text{03}}&\quad \neg P\ Y&\ &{\text{ AE: „Angenommen, Y sind keine positiven Eigenschaften“}}\\{\text{04}}&\quad \neg P\ Y\Rightarrow \ P\neg Y\ &\ &{\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) }}\\{\text{05}}&\quad \ P\neg Y\ &\ &{\text{:03:04:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] }}\\{\text{06}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{07}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ x\ &\ &{\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)}}\\{\text{08}}&\quad \ P\neg Y\Rightarrow \neg Y\ x\ &\ &{\text{:07:Instanz(X:=¬Y)}}\\{\text{09}}&\quad \neg Y\ x\ &\ &{\text{:05:08:[Modus ponens]}}\\{\text{10}}&\quad {\text{ ├ }}\;(Y\ x\wedge \neg Y\ x)\;\Leftrightarrow \;\ F\ &\ &{\text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{11}}&\quad \neg P\ Y\;\Rightarrow \;(Y\ x\wedge \neg Y\ x)\ &\ &{\text{:03:10:[├A├B ╞ A → B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{12}}&\quad \neg \neg P\ Y\ &\ &{\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A → B,¬B├ ¬A]}}\\{\text{13}}&\quad {\text{ ├ }}\;P\ Y\ &\ &{\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:}}\\{\text{14}}&\quad \ P\ Y\;\Rightarrow \;\Box \;\ P\ Y\ &\ &{\text{(A4):Instanz(X:=Y)}}\\{\text{15}}&\quad \Box \;\ P\ Y\ &\ &{\text{:13:14:[Modus ponens]}}\\{\text{16}}&\quad \ G\ y\Rightarrow \ Y\ y\ &\ &{\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)}}\\{\text{17}}&\quad {\text{ ├ }}\;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]}}\\{\text{18}}&\quad \Box \;\ P\ Y\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]}}\\{\text{19}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:15:18:[Modus ponens]}}\\{\text{20}}&\quad \ Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y)\ &\ &{\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{21}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ G\ x&\ &{\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A, B├ A ˄ B]}}\\{\text{22}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ X\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ X\ x\;\Leftrightarrow \;X_{ess}\ x\ &\ &{\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(˄):[ⱯYA(Y) → A(Y)] wegen :13:}}\\{\text{23}}&\quad \ (Y\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ Y\ y))\wedge \ G\ x\;\Leftrightarrow \;G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:22:Instanz(X:=G)}}\\{\text{24}}&\quad {\text{ ├ }}\;G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:}}\\{\text{25}}&\quad \ G\ x\;\Rightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1}}\\{\text{26}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{(D1):01:[Modus ponens] }}\\{\text{27}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ x\ &\ &{\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]}}\\{\text{28}}&\quad \ P\ G\Rightarrow \ G\ x\ &\ &{\text{:27:Instanz(X:=G)}}\\{\text{29}}&\quad {\text{ ├ }}\;G\ x\ &\ &{\text{(A3):28:[Modus ponens]}}\\{\text{30}}&\quad \ G_{ess}\ x\;\Rightarrow \ G\ x\ &\ &{\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 }}\\{\text{31}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ˄ (B→A) ↔ (A↔B)] }}\\{\text{(Theorem 2)}}&\;{\text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war ! }}\\{\text{32}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{:19:Instanz(Y:=(x=..))}}\\{\text{33}}&\quad \ G\ x\;\Rightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Rightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]}}\\{\text{(Korollar 2)}}&\;{\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“}}&\ &{\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“}}\\\end{aligned}}$

(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 22 und 31 mussten zwei-, und einmal drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)

Anmerkung-2 : (Dieser Beweisgang kommt auch ohne das Konjunkt — ‚Xx‘ — in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: — ‚Gx‘ — als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden mit der [ Instanz(X:=G) ]. Es war also logisch korrekt, wenn GÖDEL in einer seiner Notizen zum ontologischen Beweis diesen Term nicht angeführt hat, was ihm von einigen Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war.) Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ »positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen in GOTT konsistent«, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang hinterfragt, — ‚PX‘ — : Gibt es überhaupt so Etwas, wie »Vollkommenheit, absolut Positives, Perfektes« ? Die ,Annahme‘ jedoch, dass es »keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes« (für die Welt) gibt, (Prämisse Term :03:), — ‚¬PY‘ —, d.h. dass die wesentlichen Eigenschaften in GOTT keine „Vollkommenheiten“ seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch (Term :10:). Mit Term :13:, als wichtiges Zwischenergebnis, ist damit — als ,neue‘ Prämisse — definitiv bewiesen ( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘), dass alle Eigenschaften, die hier mit — ‚Y‘ — symbolisiert werden, „positive Eigenschaften“, d.h. „Perfektionen“ sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, (Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:), dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle Wesenseigenschaften in GOTT, die durch den Term :13:, — ‚PY‘ —, dargestellt werden, sind somit „Vollkommenheiten“. Damit wird definitiv ‚bestätigt‘, (es ist ,wahr‘), was mit Axiom-3 : — ‚PG‘ — schon ‚angenommen‘ worden ist : „GOTT ist vollkommen; er hat alle positiven Eigenschaften“; und auch Definition-1 : „GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er alle positiven Eigenschaften in sich schließt“; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ : »GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt«. (Der ,Schlüsselbegriff‘ — ‚P‘ — ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘, als auch ,grundlos‘, für uns immer schon ,da‘ ist.) Hier, (im 2. Beweisgang), hat Axiom-1, (im Term :04:), sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT „positiv, perfekt und vollkommen“ sind : — ‚PY‘ —. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch : eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein !

Formal lässt sich das Ergebnis, Theorem-2 : — ‚Gx↔G_essx‘ — : schon aus Term :23: mit der [ Vereinfachung ] :: [ A˄B ├ B ] ohne Weiteres ,regulär ableiten‘. (Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13: — ‚PY‘ —.) Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Haupt-Ergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, (Term :06:, Term :16: und Term :26:). Das bewiesene ( ╞ ) Zwischenergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: — ‚PY‘ —, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 : — ‚PG‘ —, als auch die Definition-1 für GOTT : — ‚Gx‘ —; und das ebenfalls bewiesene ( ╞ ) Endergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 : — ‚Gx↔G_essx‘ — , rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 : — ‚PE_not‘ —, als auch die Definition-3 für die Wesenseigenschaft : ,notwendige Existenz‘ : — ‚E_notx‘ —, und widerlegt den Einwand KANTS. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des Kalküls als ,wahr‘, (genauer als ,widerspruchsfrei‘), bestätigt. Zusammengefasst heißt das : wenn man die ,methodologische‘ Prämisse des Kalküls annimmt, dann ist ,wahr‘ : GOTT, — ‚Gx‘ —, existiert notwendig : — ‚E_notx‘ —, denn GOTT ist ,vollkommen‘ : — ‚PG‘ —, und zur ,Vollkommenheit‘ — ‚P‘ — GOTTES gehört auch das ,Existieren‘ : — ‚PE_not‘ —. Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und ist mit den Maßstäben der modernen Logik »durchaus vereinbar«, d.h. ist logisch ,richtig‘. Die Annahme des Gegenteils zur Prämisse führt zu Widersprüchen — und ist daher logisch ,falsch‘.

Mit dem Endergebnis, Theorem-2 : »,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES«, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal zugleich auch der Überzeugung von Menschen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon »da« ist, wirksam in und durch seine Kirche, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, »was« GOTT eigentlich ausmacht — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens : »Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘, [für euch und für immer]«; (d.i. das ,theologisch‘-exegetische ,Axiom‘ der Christen). Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, (,hat‘ er auch nicht), oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen ,mathematische Evidenz‘ anerkennt.

3. Beweisgang

GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 5)}}&\quad P\ E_{not}\;\ &{\text{ }}&{\text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“}}\\{\text{ }}&{\text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ }}&\ &{\text{( :: dagegen KANT : ‚Existenz‘ ist keine ‚Eigenschaft‘,}}\\{\text{ }}&\;\;{\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}}\ &\ &\;\;{\text{‚Sein‘ ist für alles, was existiert, keine ‚reales Prädikat‘ ! )}}\\{\text{(Definition 1)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Longrightarrow \ X\ x)\ &\ &{\text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“}}\\{\text{(Definition 3)}}&\quad \ E_{not}\ x\;\Longleftrightarrow \;\ \forall X\left(\ X_{ess}\ x\Longrightarrow \Box \;\exists y\ X\ y\right)&\ &{\text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn}}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{alle wesentlichen Eigenschaften von x notwendig verwirklicht sind“}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{„Es ist möglich, dass es GOTT gibt“}}\\{\text{(Theorem 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longleftrightarrow \;\ G_{ess}\ x\ &\ &{\text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“}}\\{\text{(Korollar 2)}}&\quad \ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\forall y(\ G\ y\Longrightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“}}\\{\text{(Theorem 3)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{( :: ANSELMS Prinzip)}}\\{\text{ }}&{\text{„Wenn GOTT möglich ist, dann gibt es GOTT notwendig“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \ G\ y\ &\ &{\text{ AE: „Angenommen, y steht für den GOTT der Christen“}}\\{\text{02}}&\quad \ G\ y\;\Leftrightarrow \;\forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ y)\ &\ &{\text{(D1):FUB(x:=y) :: (Freie-Um-Benennung der Variablen)}}\\{\text{03}}&\quad \forall X(\ P\ X\Rightarrow \ X\ y)\ &\ &{\text{:01:02:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)}}\\{\text{04}}&\quad \ P\ X\Rightarrow \ X\ y\ &\ &{\text{:03:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)}}\\{\text{05}}&\quad \ P\ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ y\ &\ &{\text{:04:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)}}\\{\text{06}}&\quad \ E_{not}\ y\ &\ &{\text{(A5):05:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B]}}\\{\text{07}}&\quad \ E_{not}\ y\;\Leftrightarrow \;\ \forall X\left(\ X_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ X\ x\right)&\ &{\text{(D3):FUB(x:=y):FUB(y:=x)}}\\{\text{08}}&\quad \forall X\left(\ X_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ X\ x\right)&\ &{\text{:06:07:[Modus ponens]}}\\{\text{09}}&\quad \ X_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ X\ x&\ &{\text{:08:[ⱯXA(X) ├ A(X)]}}\\{\text{10}}&\quad \ G_{ess}\ y\Rightarrow \Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:09:Instanz(X:= G)}}\\{\text{11}}&\quad \ G\ y\;\Rightarrow \;\ G_{ess}\ y\ &\ &{\text{(Th2):FUB(x:=y):BIKONDITIONAL:[Vereinfachung] :: [A˄B ├ A]}}\\{\text{12}}&\quad \ G_{ess}\ y\ &\ &{\text{:01:11:[Modus ponens]}}\\{\text{13}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:10:12:[Modus ponens]}}\\{\text{14}}&\quad \Diamond \exists x\ G\ x\;\Longrightarrow \;\Box \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{(K1):13:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{(Theorem 3)}}&\;{\text{„Wenn GOTT möglich ist, dann gibt es GOTT notwendig“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\{\text{15}}&\quad \ G\ x\ &\ &{\text{:01:FUB(y:=x)}}\\{\text{16}}&\quad \Box \;\forall y(\ G\ y\Longrightarrow \ (x=y))\ &\ &{\text{(K2):15:[Modus ponens]}}\\{\text{17}}&\quad \Box \;(\exists x\ G\ x\wedge \;\forall y(\ G\ y\Longrightarrow \ (x=y)))\ &\ &{\text{:13:16:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B] :DIST(□˄)}}\\{\text{(Korollar 3)}}&\;{\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“}}&\ &{\text{„Es gibt für alle mögliche Welten nur einen GOTT“}}\\\end{aligned}}$

Anmerkung-3 : Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal dargestellt und als logisch nachvollziehbar bestätigt. Damit wird aber auch klar gestellt, dass er kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ : Denn mit der Prämisse, — ‚Gy‘ —, (Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert in Term :02:, mit der Definition für GOTT), wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; (hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über das modale Axiom-BECKER : — ‚◇□A→□A‘ —, das André FUHRMANN recherchiert hat). GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ (Axiome, Definitionen, Prämissen) etwas anderes als das Vorausgesetzte auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der Voraussetzungen, (wahr, bzw. wahrscheinlich), ist auch der ,Schlusssatz‘ wahr, bzw. wahrscheinlich ! Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann »mathematisch evident«, d.h. ,ist gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht vom Kalkül abhängen, wie hier : »(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr«, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten — ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass „GOTT“ ‚unabhängig‘ von der zufälligen (Raum-Zeit-)Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, (was „theologisch“ korrekt ist), begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, „unverursacht“ | „grundlos“, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann ,eins‘ : wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT.

Anmerkung-4 : Das (im 2. Beweisgang) schon bewiesene Theorem-2, d.h. die Gleichsetzung von „Sein“ und „Wesen“ in GOTT, (‚Existenz‘ und ‚Essenz‘), rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung (hier, im 3. Beweisgang) korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. sie sind ,wahr‘, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, (als Voraussetzung dafür), das Axiom-4 : — ‚PX → □PX‘ — : „Eine positive Eigenschaft ist notwendig positiv“ erklärbar, in dem die ‚Positivität‘ einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘ charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5, in dem die ‚Notwendigkeit‘ (der Existenz) dann als ‚positive‘ Eigenschaft, — ‚P‘ —, ‚bestimmt‘ wird, (unter der speziellen Voraussetzung, dass die „Existenz“ eine „Wesenseigenschaft“ in GOTT ist). Zum Axiom-4, (bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang), erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül : »da es [ die Notwendigkeit ] aus der Natur der [ positiven ] Eigenschaft folgt, [ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon bewiesen (╞ ) worden ist ]«. GOTT — ‚G‘ — ist ein Wesen — ‚x‘ —, das genau deswegen ,notwendig da‘ ist : — ‚E_notx‘ —, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ : — ‚PG → □PG‘ — :: ( Axiom-4 mit der Instanz(X:=G) ). Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht : sein ,Wesen‘, bzw. seine „Natur“. Zusammen mit der Definition für GOTT, (und der Transitivität von Wesensaussagen : Definition-2), ist dieser, aus der „Natur“ GOTTES, sich ergebende Zusammenhang von ‚Notwendigkeit‘ und ‚Positivität‘ bzw. ,Vollkommenheit‘ die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL auch der logische Zusammenhang vom „Dasein“ GOTTES mit seinem „Wesen“ : — ‚Gx→G_essx‘ — im Basis-Theorem-2.1 ergibt, d.i. die Beweisgrundlage für das Theorem ANSELMS, (hier im 3. Beweisgang). „Positive Eigenschaften“ | „Vollkommenheiten“ sind ,immer‘ auch „notwendige Eigenschaften“, daher : — ‚PE_not‘ —. Das ,Dasein‘, die „Existenz“ ist ,immer‘ etwas „Positives“, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘.

Anmerkung-5 : Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül : „positive Eigenschaft“, bzw. „Vollkommenheit“ | „Perfektion“, — ‚P‘ — , dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. (Das Theorem-1, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-2. Axiom-2 besagt, dass alle positiven Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind.) In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, — ‚G‘ —, die Rede : Korollar-1, „Es ist denkbar, dass es GOTT gibt“, Theorem-2, „Dasein ist das Wesen GOTTES“, Theorem-3, „Wenn GOTT denkbar, d.h. möglich ist, dann gibt es GOTT wirklich“, (wie ANSELM von Canterbury sagt, und was das »Privilegium der Gottheit allein« ist, nach LEIBNIZ), und Korollar-3, „Es gibt notwendig, d.i. unverursacht, grundlos, nur einen GOTT“. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, (was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist); außer im Theorem-2, in dem das „Dasein“ GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste „Wesenseigenschaft“ in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt (,angenommen‘), man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit »unabhängige« GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. (Das GÖDEL-Kalkül, wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘, kann jedoch — bei aller ‚Coolness‘ — keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘.) Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist zumindest, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, »die theologische Weltanschauung«, mit den Maßstäben der modernen Logik »durchaus vereinbar«, d.h. logisch ,richtig‘ ist, während der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, d.h. der Atheismus, im Möglichkeitsbeweis zu unlösbaren Widersprüchen führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. (Die ,Logik‘ hat aber — bekanntlich — bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle ! )

Widerlegung

GÖDELS ,Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ des Nicht-GOTT-Glaubens
Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen
${\begin{aligned}{\text{(Axiom 1.1)}}&\quad P\neg X\;\Longrightarrow \;\ \neg P\ X\ &\ &{\text{„Entweder die Eigenschaft X oder ihre Negation ist positiv“}}\\{\text{(Axiom 2)}}&\quad P\ X\wedge \;\Box \;\forall x(\ X\ x\Longrightarrow \ Y\ x)\Longrightarrow \ P\ Y&\ &{\text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X }}\\{\text{ }}&\quad &\ &\;\;{\text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“}}\\{\text{(Axiom 3)}}&\quad P\ G\ &\ &{\text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\quad \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) }}\\{\text{ }}&{\text{„Es ist möglich, dass es GOTT gibt“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen ist !}}\\{\text{01}}&\quad \;\neg \Diamond \;\exists x\ G\ x\ &\ &{\text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)}}\\{\text{02}}&\quad (\neg x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“}}\\{\text{03}}&\quad (\ x=..)\ &\ &{\text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“}}\\{\text{04}}&\quad \neg \neg \Box \neg \exists x\ G\ x\ &\ &{\text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A] }}\\{\text{05}}&\quad \neg \neg \Box \neg \neg \forall x\neg \ G\ x\ &\ &{\text{:04:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] }}\\{\text{06}}&\quad {\text{ ├ }}\;\Box \;\forall x\neg G\ x\ &\ &{\text{:05:NEG :: [¬¬A↔A] }}\\{\text{07}}&\quad \Box \;\forall x\neg G\ x\Leftrightarrow \ W&\ &{\text{:01:06:[(:01:↔W) → (├:06:↔W)] }}\\{\text{08}}&\quad \Box \;\forall x\ G\ x\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:07:[(¬A↔W)↔(A↔F)] }}\\{\text{ }}&{\text{„Jeder GOTT-Glaube ist ganz sicher falsch ! “}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{(die logische Konsequenz aus der Prämisse :01:)}}\\{\text{09}}&\quad \ (\neg x=x)\Leftrightarrow \ F\;\ &{\text{ }}&{\text{Xx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{10}}&\quad \Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&{\text{ }}&{\text{:08:09:[(:08:↔F) → (:09:↔F)] :: (ex falso sequitur quotlibet)}}\\{\text{11}}&\quad \ P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))&\ &{\text{(A3):10:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B]}}\\{\text{12}}&\quad \ P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(\neg x=x))\Rightarrow \;P(\neg x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) }}\\{\text{13}}&\quad \ P(\neg x=..)&\ &{\text{:11:12:[Modus ponens] }}\\{\text{14}}&\quad \ P(\neg x=..)\;\Rightarrow \ \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}}\\{\text{15}}&\quad \neg P(\ x=..)\ &\ &{\text{:13:14:[Modus ponens]}}\\{\text{16}}&\quad \ (x=x)\Leftrightarrow \ W\;\ &\ &{\text{Xx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !}}\\{\text{17}}&\quad \Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;\ (x=x))&\ &{\text{:08:16:[(:08:↔F) → (:16:↔W)] :: (ex falso sequitur etiam verum)}}\\{\text{18}}&\quad \ P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(x=x))&\ &{\text{(A3):17:[Konjunktion] :: [A, B ├ A˄B]}}\\{\text{19}}&\quad \ P\ G\wedge \;\Box \;\forall x(\ G\ x\Rightarrow \;(x=x))\Rightarrow \ P(x=..)&\ &{\text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))}}\\{\text{20}}&\quad \ P(\ x=..)\ &\ &{\text{:18:19:[Modus ponens]}}\\{\text{21}}&\quad {\text{ ├ }}\;(\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))\Leftrightarrow \ F&\ &{\text{:15:20:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}}\\{\text{22}}&\quad \neg \Diamond \;\exists x\ G\ x\Rightarrow (\neg P(\ x=..)\ \wedge \ P(\ x=..))&\ &{\text{:01:21:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}}\\{\text{ }}&{\color {RedOrange}{\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was mit Term :22: bewiesen ist !}}\\{\text{23}}&\quad \neg \neg \Diamond \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:22:21:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}}\\{\text{24}}&\quad \;\Diamond \;\exists x\ G\ x&\ &{\text{:23:NEG; bzw. :01:21:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}}\\{\text{(Korollar 1)}}&\;{\text{„Es ist möglich, dass es GOTT gibt“}}&\ &\Longleftarrow \;{\text{was zu beweisen war !}}\\\end{aligned}}$

Anmerkung-6 : (Wenn man auch hier den Term — PX — im Axiom-2 weg lässt, dann braucht man auch Axiom-3 nicht. Der Beweisgang wird dadurch ,schlanker‘.) Dieser Beweisgang, (analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING), setzt in den Axiomen, wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas „Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“, — P —, für die Welt voraus, (das im Axiom-3 GOTT zugeordnet ist), was im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, (als wahr), schon bewiesen worden ist. Mit — G — wird der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition bezeichnet, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls.

Die Logik-Regel „ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“, (‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘), ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ (Folgerung) von Aussagen, die nur dann falsch, — F — ist, wenn das Antezedens wahr, — W —, und die Konsequenz falsch, — F — ist. Andernfalls ist sie immer wahr, — W —, auch wenn die Voraussetzung falsch, — F — ist : ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, — ,(A → B)‘ — „wenn A, dann B“. Damit ist auch der [ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] verstehbar.

Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen $A$ und $B$ das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an :

Belegung		Konjunktion	Disjunktion	materiale Implikation	Äquivalenz Bikonditional	kopulative Konjunktion
$A$	$B$	$A$ und $B$	$A$ oder $B$	wenn $A$ dann $B$	sow. $A$ als auch $B$	entw. $A$ oder $B$
W	W	W	W	W	W	F
W	F	F	W	F	F	W
F	W	F	W	W	F	W
F	F	F	F	W	W	F

(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)

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Fußnoten