Formelsammlung Statistik/ Zufallsvariablen und Verteilungsmodelle

diskrete ZufallsvariablenBearbeiten

Ein Merkmal X, das aufgrund zufälliger Ereignisse eine (endliche) Menge

von Ausprägungen x1, x2 ... annehmen kann, nennt man diskrete

Zufallsvariable X.

Eindimensionale ZufallsvariablenBearbeiten

Wahrscheinlichkeitsfunktion:

 

Verteilungsfunktion:

 

Normiertheit:

 

Erwartungswert

 

Varianz

 

bzw. mit dem Verschiebungssatz

 

Standardabweichung

 

Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen

 

Mehrdimensionale ZufallsvariablenBearbeiten

Einzelwahrscheinlichkeit

 

Kovarianz

 

bzw. mit dem Verschiebungssatz

 

Korrelationskoeffizient rxy nach Bravais-PearsonBearbeiten

für metrisch skalierte Merkmale zweier statistischer Variablen x und y

 

mit   als dem arithmetischen Mittel des Merkmals x. Mit Hilfe des Verschiebungssatzes:

 


Rangkorrelationskoeffizient nach SpearmanBearbeiten

  • für Variablen, die stark von der Normalverteilung abweichen
  • sowie ordinalskalierte Variablen

Nach Ordnung der einzelnen Beobachtungen von x bzw. y der Größe nach wird

jedem Wert wird seine Rangzahl rg(xi) und rg(yi) zugewiesen. Damit:

 .

diskrete VerteilungsmodelleBearbeiten

BinomialverteilungBearbeiten

Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit den Parametern n und θ (0 ≤ θ ≤ 1) lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion

 

Erwartungswert

 

Varianz

 

Hypergeometrische VerteilungBearbeiten

Eine Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern

N (Grundgesamtheit), M ("Kugeln der ersten Sorte") und n (Stichprobenumfang),

wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet

 

Erwartungswert

 

Varianz

 

Der Bruch   wird Korrekturfaktor genannt.

PoissonverteilungBearbeiten

Wahrscheinlichkeitsfunktion ( )

 


Erwartungswert und Varianz

 

stetige ZufallsvariablenBearbeiten

Eine stetige Zufallsvariable kann in jedem beschränkten Intervall unendlich viele Ausprägungen annehmen.

Ihre Verteilung lässt sich durch eine Dichtefunktion f(x) beschreiben.

(f(x) ist hier keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine Dichte !)

Verteilungsfunktion

 
  • Es gilt: P(X = a) = 0.
  • Wegen P(X = a) = 0 ist P(X ≤ a) = P(X < a) und P(X > a) = P(X ≥ a)

Die Dichtefunktion f(x) ist die erste Ableitung der Verteilungsfunktion, falls diese an der Stelle x differenzierbar ist.

  • Die Dichtefunktion f(a) kann auch größer als 1 werden.
  • Ausgehend von   ist das p-Quantil x(p) der Wert x, der zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p gehört. Speziell x(0,5) ist der Median.

Erwartungswert

 

falls E(X) existiert, d.h. nicht unendlich wird.

Varianz

 

wobei auch hier der Verschiebungssatz angewendet werden kann:

 

stetige VerteilungsmodelleBearbeiten

Stetige Gleichverteilung (Rechteckverteilung)Bearbeiten

Dichtefunktion der Gleichverteilung im Intervall [a,b]

 

Erwartungswert

 

Varianz

 

ExponentialverteilungBearbeiten

Dichtefunktion der Exponentialverteilung

 

Verteilungsfunktion

 

Erwartungswert

 

Varianz

  .

NormalverteilungBearbeiten

Für eine Zufallsvariable   lautet die Dichtefunktion der NV

  für  

Normierung mit   ergibt die Standardnormalverteilung mit der Dichtefunktion  :

 

Anm.:Es wird auch die Schreibweise   anstelle   verwendet

Erwartungswert

 

Varianz

 

p-Quantil

Der zu einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p zugehörige z-Wert z(p)

  .

 

Beispielsweise ist z(0,975) = 1,96.

Linearkombinationen normalverteilter ZufallsvariablenBearbeiten

Für n normalverteilte Zufallsvariablen  

ist die Linearkombination

 

ebenfalls normalverteilt mit dem Erwartungswert

  .

Falls die   stochastisch unabhängig sind, gilt für die Varianz

  .

Die Varianz muss größer Null sein, deshalb muss zudem   für mindestens ein   gelten.

Verteilung des StichprobendurchschnittsBearbeiten

Sind die n Zufallsvariablen   (i = 1, ... , n) sämtlich normalverteilt

mit gleichem μ und gleichem σ2, ist die Linearkombination

X mit a0 = 0, a1 = a2 = ... = an = 1/n, also : 

normalverteilt dem Erwartungswert

 

und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

  .

CHI-Quadrat-verteilungBearbeiten

Die   seien unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen.

Dann ist die Verteilung der Zufalllsvariablen  

chi-quadrat verteilt mit n Freiheitsgraden  

Erwartungswert:

 

Varianz

  .

Anm.: Die Gruppe der Hypothesentests mit  -Verteilung bezeichnet man als  -Test.

Hierunter sind mehrere Tests zu verstehen:

Verteilungstest oder Anpassungstest: Hier wird geprüft, ob vorliegende Daten auf eine bestimmte Weise verteilt sind.

Unabhängigkeitstest: Hier wird geprüft, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind.

Homogenitätstest: Hier wird geprüft, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Verteilung bzw. einer homogenen Grundgesamtheit entstammen.

t- (Student-) VerteilungBearbeiten

Für die unabhängigen Variablen   (standardnormalverteilt) und   ist die Variable

 

t-verteilt   mit n Freiheitsgraden.

Erwartungswert

  für  

Varianz

  für  


Fisher- VerteilungBearbeiten

Für die unabhängigen Variablen   und   ist die Verteilung der Variablen

 

Fisher- oder F-verteilt   mit den Freiheitsgraden m und n.

Erwartungswert

  für  

Varianz

  für  


Approximation von VerteilungenBearbeiten

Gesuchte Verteilung Approximation durch
  Binomial Poisson Normal
Binomial
 
---  
 
 
 
 
Hypergeometrische
 
 
 
über Binomialverteilung  
 
 
Poisson
 
--- ---  
χ2-Verteilung  
 
--- ---  
 
t-Verteilung
 
--- ---  
F-Verteilung
 
--- ---  
 

GrenzwertsatzBearbeiten

Gesetz der großen ZahlenBearbeiten

Für ein beliebig kleines c > 0 gilt

  für  

Theorem von BernoulliBearbeiten

Die relative Häufigkeit, mit der ein Ereignis A bei n unabhängigen Wiederholungen

eines Zufallsereignisses eintritt, konvergiert nach Wahrscheinlichkeit gegen P(A)

Hauptsatz der StatistikBearbeiten

Für eine Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion F(x) gilt für die Verteilungsfunktion Fn(x)

für die unabhängigen wie identisch wie X verteilten X1…Xn (x∈ R)

 

(sup: Maximale Abweichung zwischen   und  ).

Zentraler GrenzwertsatzBearbeiten

Für unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen X1…Xn mit E(Xi ) = μ

und Var(Xi ) =σ2 > 0 konvergiert die Verteilungsfunktion Fn(z) = P(Zn≤z)

der standardisierten Summe

 

für n → ∞ an jeder Stelle   gegen die Verteilungsfunktion   der Standardnormalverteilung

 

Grenzwertsatz von De MoivreBearbeiten

Die Verteilung der standardisierten absoluten Häufigkeit   der Standardnormalverteilung

konvergiert für n → ∞ gegen eine Standardnormalverteilung.