Formelsammlung Statistik/ Zeitreihenanalyse

Komponentenunterteilung bei ZeitreihenBearbeiten

Mögliche Aufteilung einer Zeitreihe in Komponenten:

  • Trend Q
  • Konjunkturelle Schwankung K
  • Saisonale Schwankung S
  • Restschwankung r

Bei Unabhängigkeit dieser Komponenten kann man ein additives Modell annehmen:

 

Nehmen beispielsweise zyklische Schwankungen mit steigendem Trend zu, könnte ein multiplikatives Modell

 

angebracht sein. Variablentransformation durch Logarithmieren

 


Schätzung des Trends durch RegressionBearbeiten

‘‘‘Regressionsmodell‘‘‘

  bzw.    

mit den Lösungen

 
 
 

und

 
  .

Die Trendwerte Qt sind dann

 .

Nichtlinearer Trendverlauf: Lösung über Variablentransformation oder Anwendung eines nichtlinearen Regressionsansatzes

Schätzung der SaisonkomponenteBearbeiten

Additives Modell

 

Nach Schätzung der Trendkomponente Qt bleibt noch die Abweichung

 

und

 

dt: trendbereinigter Zeitreihenwert

Bestimmung der saisonalen Komponente St über Fourieranalyse oder (einfacher)

Bildung des arithmetischen Durchschnitts aller Werte dt, die die gleiche Saison betreffen,

als Schätzung für die saisonale Komponente. Dann bleibt die nichterklärte Restschwankung

 

Prognose für den Zeitpunkt T+k (mit St als Wert in der Saison T+k)


 

Schätzung der glatten Komponente mit gleitenden MittelwertenBearbeiten

Lässt sich die Trendkomponente des Zeitreihenmodells offensichtlich durch keine funktionale lineare oder

nichtlineare Beziehung darstellen, kann man eine glatte Komponente mit Hilfe gleitender Mittelwerte bestimmen.

einfacher gleitender MittelwertBearbeiten

Beispiel: Mittelwert dritter Ordnung:

 

Die Ordnung des Mittelwerts sollte so gewählt werden, daß möglichst genau eine Periode umfasst wird.

Zur Prognose über den Beobachtungszeitraum hinaus sind gleitende Mittelwerte bedingt geeignet,

da die Randwerte der Zeitreihe nicht geschätzt werden.

gewichteter gleitender MittelwertBearbeiten

Beispiel: Mittelwert dritter Ordnung mit z.B.  

 

Exponentielle GlättungBearbeiten

Gewichtung durch den Glättungsfaktor   mit  :

Geglätteter Schätzwert y*t als gewichteter Durchschnitt aus dem aktuellen Zeitreihenwert yt

und dem Schätzwert der Vorperiode y*t-1 (y*0 geeignet wählen):

 

Auflösung der Rekursivität:

 

Für die Wahl des Glättungsfaktors wird häufig 0,2 bis 0,3 empfohlen. Man kann aber auch mit Hilfe der Regressionsanalyse den Glättungsfaktor schätzen.


Exponentielle Glättung bei trendbehafteten WertenBearbeiten

Bei Trend werden die Zeitreihenwerte systematisch unter- bzw. überschätzt. Abhilfe bieten ggf. gleitende Durchschnitte zweiter Ordung.

Die bereits einmal geglätteten Werte erneut einer Glättung unterzogen. Man erhält den Schätzwert  , der sich analog zu oben berechnet aus

 

Für einen brauchbaren Prognosewert für Periode t+1 muss man dann bestimmen

  .