Formelsammlung Statistik/ Wahrscheinlichkeitsrechnung
Mengenlehre und DE MORGANsche RegelnBearbeiten
und
KombinatorikBearbeiten
FakultätBearbeiten
BinomialkoeffizientBearbeiten
ZufallsstichprobenBearbeiten
Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:
Ohne Zurücklegen | Mit Zurücklegen | |
---|---|---|
Mit | ||
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge |
Definition der WahrscheinlichkeitBearbeiten
(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE)
Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,
die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist
Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff):
Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.
- Nichtnegativität
- Normiertheit
- falls A und B disjunkt sind.
AdditionssatzBearbeiten
Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :
Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :
Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt
Bedingte WahrscheinlichkeitBearbeiten
Unabhängigkeit von EreignissenBearbeiten
Ein Ereignis A ist unabhängig von B, wenn
Totale WahrscheinlichkeitBearbeiten
Sei A1 ...Ak eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für B ⊂ Ω:
.
BAYES TheoremBearbeiten
Für zwei Ereignisse und mit lässt sich die Wahrscheinlichkeit von
unter der Bedingung, dass eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von
unter der Bedingung, dass eingetreten ist:
- .
Hierbei ist
- die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter der Bedingung, dass eingetreten ist,
- die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter der Bedingung, dass eingetreten ist,
- die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und
- die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses .
Endlich viele Ereignisse:
Wenn eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit
- .
Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.
Da ein Ereignis und sein Komplement stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere
- .