Formelsammlung Statistik/ Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mengenlehre und DE MORGANsche RegelnBearbeiten

 

und

 

KombinatorikBearbeiten

FakultätBearbeiten

 

 

BinomialkoeffizientBearbeiten

 

 

ZufallsstichprobenBearbeiten

Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:

Ohne Zurücklegen Mit Zurücklegen
Mit          
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge          

Definition der WahrscheinlichkeitBearbeiten

(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE)

Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,

die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist

 

Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff):

Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.

  1.   Nichtnegativität
  2.   Normiertheit
  3.   falls A und B disjunkt sind.

AdditionssatzBearbeiten

Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :

 

Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :

 

Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt

 
 

Bedingte WahrscheinlichkeitBearbeiten

 

Unabhängigkeit von EreignissenBearbeiten

Ein Ereignis A ist unabhängig von B, wenn

 

Totale WahrscheinlichkeitBearbeiten

Sei A1 ...Ak eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für B ⊂ Ω:

 .

BAYES TheoremBearbeiten

Für zwei Ereignisse   und   mit   lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

  unter der Bedingung, dass   eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

  unter der Bedingung, dass   eingetreten ist:

 .

Hierbei ist

  die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses   unter der Bedingung, dass   eingetreten ist,
  die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses   unter der Bedingung, dass   eingetreten ist,
  die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses   und
  die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses  .


Endlich viele Ereignisse:

Wenn   eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit  

 .

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.


Da ein Ereignis   und sein Komplement   stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

 .