Konstanten:
g = w:Fallbeschleunigung p 0 = w:Luftdruck über der Flüssigkeitρ = w:Dichte des MediumsDruck in Tiefe x :
p
(
x
)
=
p
0
+
g
⋅
ρ
⋅
x
{\displaystyle p(x)=p_{0}+g\cdot \rho \cdot x}
In w:Wasser ist ρ = 1000 kg/m³, ferner ist g = 9,81 m/s² und p 0 = 101325 Pa, somit
p
(
x
)
=
101325
P
a
+
9810
k
g
m
2
s
2
⋅
x
,
{\displaystyle p(x)=101325\,\mathrm {Pa} +9810\,\mathrm {\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}} \cdot x\ ,}
also 9810 Pascal je Tiefenmeter. Faustregel: Alle 10 Meter nimmt der Druck um 1 Atmosphäre zu.
g = w:Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhe h 0 p 0 = w:Luftdruck in MeereshöheVariablen:
R = w:universelle Gaskonstante ,M = w:molare Masse ,T = Temperatur in w:Kelvin h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential
p
(
h
)
=
p
0
⋅
exp
(
−
1
R
∫
h
0
h
g
(
h
′
)
M
(
h
′
)
T
(
h
′
)
d
h
′
)
{\displaystyle p(h)=p_{0}\cdot \exp \left(-{\frac {1}{R}}\int _{h_{0}}^{h}{\frac {g(h')M(h')}{T(h')}}\,\mathrm {d} h'\right)}
Für die Dichte gilt dabei
ρ
(
h
)
=
p
(
h
)
⋅
M
(
h
)
R
T
(
h
)
.
{\displaystyle \rho (h)=p(h)\cdot {\frac {M(h)}{R\,T(h)}}\ .}
Konstanten:
R = w:universelle Gaskonstante ,M = w:molare Masse ,g = w:Fallbeschleunigung der Erde in Meereshöhep 0 = w:Luftdruck in MeereshöheT = Temperatur in w:Kelvin Variablen: h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential,
p
=
p
0
e
−
h
h
s
mit
h
s
=
R
T
M
g
{\displaystyle p=p_{0}e^{-{\frac {h}{h_{s}}}}\quad {\mbox{mit}}\quad h_{s}={\frac {RT}{Mg}}}
T 0 = w:Temperatur in Meereshöhe (Kelvin)α = Temperaturgradient dT /dh
p
=
p
0
(
1
+
α
h
T
0
)
β
mit
β
=
−
M
g
R
α
{\displaystyle p=p_{0}\left(1+{\frac {\alpha h}{T_{0}}}\right)^{\beta }\quad {\mbox{mit}}\quad \beta =-{\frac {Mg}{R\alpha }}}
Variablen:
i
≥
0
{\displaystyle i\geq 0}
p i i -ten LuftschichtT i i -ten Schicht
α
i
=
T
i
+
1
−
T
i
h
i
+
1
−
h
i
{\displaystyle \alpha _{i}={\frac {T_{i+1}-T_{i}}{h_{i+1}-h_{i}}}}
i -ten Luftschicht
β
i
=
−
M
g
R
α
i
{\displaystyle \beta _{i}=-{\frac {Mg}{R\alpha _{i}}}}
Druck an der Obergrenze der i -ten Luftschicht
p
i
+
1
=
p
i
⋅
{
e
−
M
g
R
T
i
(
h
i
+
1
−
h
i
)
,
wenn
α
i
=
0
(
1
+
α
i
(
h
i
+
1
−
h
i
)
T
i
)
β
i
wenn
α
i
≠
0
{\displaystyle p_{i+1}=p_{i}\cdot {\begin{cases}e^{-{Mg \over RT_{i}}(h_{i+1}-h_{i})},&{\text{wenn}}\quad \alpha _{i}=0\\\left(1+{\frac {\alpha _{i}(h_{i+1}-h_{i})}{T_{i}}}\right)^{\beta _{i}}&{\text{wenn}}\quad \alpha _{i}\neq 0\end{cases}}}
Druck in beliebiger Höhe
h
n
≤
h
≤
h
n
+
1
{\displaystyle h_{n}\leq h\leq h_{n+1}}
p
(
h
)
=
p
n
⋅
{
e
−
M
g
R
T
n
(
h
−
h
n
)
,
wenn
α
n
=
0
(
1
+
α
n
(
h
−
h
n
)
T
n
)
β
n
wenn
α
n
≠
0
{\displaystyle p(h)=p_{n}\cdot {\begin{cases}e^{-{Mg \over RT_{n}}(h-h_{n})},&{\text{wenn}}\quad \alpha _{n}=0\\\left(1+{\frac {\alpha _{n}(h-h_{n})}{T_{n}}}\right)^{\beta _{n}}&{\text{wenn}}\quad \alpha _{n}\neq 0\end{cases}}}
Temperatur:
T
(
h
)
=
T
n
+
α
n
(
h
−
h
n
)
{\displaystyle T(h)=T_{n}+\alpha _{n}\left(h-h_{n}\right)}
Beispiel: w:Standardatmosphäre bis etwa 90 Kilometer Höhe (M = 29 g/mol).
Linearer Verlauf von Temperatur und Molmasse
Bearbeiten
Konstanten:
μ
i
=
M
i
+
1
−
M
i
h
i
+
1
−
h
i
{\displaystyle \mu _{i}={M_{i+1}-M_{i} \over h_{i+1}-h_{i}}}
M in der i-ten Schicht, so dass für beliebige
h
n
≤
h
≤
h
n
+
1
{\displaystyle h_{n}\leq h\leq h_{n+1}}
M
(
h
)
=
M
n
+
μ
n
(
h
−
h
n
)
{\displaystyle M(h)=M_{n}+\mu _{n}\left(h-h_{n}\right)}
Fall A: Isotherm
p
(
h
)
=
p
n
⋅
exp
(
−
g
(
h
−
h
n
)
R
T
n
(
M
n
−
μ
n
⋅
h
n
+
μ
n
2
⋅
(
h
+
h
n
)
)
)
{\displaystyle p(h)=p_{n}\cdot \exp \left(-{\frac {g(h-h_{n})}{R\,T_{n}}}\left(M_{n}-\mu _{n}\cdot h_{n}+{\mu _{n} \over 2}\cdot (h+h_{n})\right)\right)}
Fall B: Stückweise lineare Temperatur
p
(
h
)
=
p
n
⋅
(
1
+
α
n
(
h
−
h
n
)
T
n
)
γ
n
⋅
exp
(
−
g
μ
n
R
α
n
(
h
−
h
n
)
)
{\displaystyle p(h)=p_{n}\cdot \left(1+{\frac {\alpha _{n}(h-h_{n})}{T_{n}}}\right)^{\gamma _{n}}\cdot \exp \left(-{\frac {g\mu _{n}}{R\alpha _{n}}}(h-h_{n})\right)}
mit
γ
n
=
g
(
μ
n
T
n
−
α
n
M
n
)
R
α
n
2
{\displaystyle \gamma _{n}={\frac {g(\mu _{n}T_{n}-\alpha _{n}M_{n})}{R\alpha _{n}^{2}}}}
Der rekursive Aufbau aller Schichten i = 0...n erfolgt analog zur Atmosphäre mit stückweise linearer Temperatur. Beispiel für nichtkonstantes M : Erdatmosphäre oberhalb von 90 Kilometern Höhe (abschnittweise linear interpoliert).
Alternativ kann an Stelle von T auch eine durch die Molekularmasse "skalierte Temperatur", T M
T
M
(
h
)
=
T
(
h
)
⋅
M
0
M
(
h
)
b
z
w
.
M
(
h
)
=
M
0
T
(
h
)
T
M
(
h
)
{\displaystyle T_{M}(h)=T(h)\cdot {\frac {M_{0}}{M(h)}}\quad \mathrm {bzw.} \quad M(h)=M_{0}{\frac {T(h)}{T_{M}(h)}}}
An Stelle des wahren Temperaturgradienten α tritt α M T M M in der Formel durch M 0 ersetzt wird, kann die einfachere Formel für konstantes M verwendet werden. Allerdings ist, insbesondere bei kleiner Anzahl der Stützstellen, zu beachten, dass M (h ) hier nicht wie die Temperatur stückweise linear ist, denn der Molmassengradient µ ist nun nicht mehr konstant in jeder Teilschicht, sondern hat nach der w:Quotientenregel die Gestalt
μ
=
d
M
d
h
=
M
0
α
T
M
−
α
M
T
T
M
2
.
{\displaystyle \mu ={\mathrm {d} M \over \mathrm {d} h}=M_{0}{\frac {\alpha T_{M}-\alpha _{M}T}{T_{M}^{2}}}\ .}
h = Geopotential-Höhez = Wahre HöheR = Erdradius
z
(
h
)
=
R
h
R
−
h
b
z
w
.
h
(
z
)
=
R
z
R
+
z
{\displaystyle z(h)={\frac {R\,h}{R-h}}\quad \mathrm {bzw.} \quad h(z)={\frac {R\,z}{R+z}}}
⇒ z ≈ h für kleine h
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3ba2638d05cd9ed8dafae7e34986399e48ea99)
