Formelsammlung Mathematik: Lineare Differenzengleichungen

Differenzengleichungen

Gleichungen mit konstanten Koeffizienten Bearbeiten

Matrix-Methode Bearbeiten

Eine homogene lineare Differenzengleichung m-ter Ordnung lässt als homogenes lineares System erster Ordnung schreiben. Bei einer inhomogenen linearen Differenzengleichung ist dies unter Verwendung homogener Koordinaten ebenfalls möglich.

Differenzengleichung System erster Ordnung Vektor
     
     
     
     

Jede lineare Differenzengleichung lässt sich wie in der Tabelle beschrieben in die Form

 

bringen, wobei die Matrix   nicht von n abhängig ist, sofern die Koeffizienten konstant sind.

Die Lösung ist

 

Die Matrixpotenz   lässt sich mittels Diagonalisierung/Jordan-Normalform oder dem Satz von Cayley-Hamilton bestimmen.

Bei der Diagonalisierung/Jordan-Normalform mit   gilt  , wobei   die Diagonalmatrix ist oder zumindest aus Jordanblöcken besteht. Die Bestimmung von   wird im Abschnitt Matrixfunktionen erläutert.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt z. B. für eine 2×2-Matrix   mit Eigenwerten   die Formel

 

mit

 

bzw.

 

Im Fall   gilt  .

Die allgemeine Theorie hierzu wird im Abschnitt Matrixfunktionen beschrieben.