Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Meta: Überblick

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen: Meta

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Warum Lucas-Folge und Fibonacci-Folge?

In diesem Buch soll es um die Lucas- und die Fibonacci-Folge gehen.

Die ersten beiden Glieder der Fibonacci-Folge sind $U_{0}=0\$ und $U_{1}=1\$, die der speziellen Lucas-Folge $V_{0}=2\$ und $V_{1}=P$.

Die Bildungsregel für beide ist $\ a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}\$.

Zwischen diesen beiden Arten der Folge gibt es Überschneidungen.

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Die Fibonacci-Folge

Unter der Fibonacci-Folge versteht man speziell die Folge mit der Bildungsregel $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}\$ und den beiden Anfangsgliedern $f_{0}=0\$ und $f_{1}=1\$.

Die so definierte Fibonacci-Folge beginnt mit den Gliedern: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Die Entwicklung einer Kaninchen-Population

Um das Wachstum einer Kaninchen-Population zu beschreiben, entwickelte der Mathematiker Leonardo Fibonacci (Leonardo von Pisa) diese Folge. Sie beschreibt allerdings eine Idealiserung, bei der die Kaninchen sich unbegrenzt vermehren können und niemals sterben.

Eigenschaften der Fibonacci-Folge

• Wenn eine natürliche Zahl $m\$ eine natürliche Zahl $n\$ teilt, wobei $m\$ größer als $2\$ sein muß, so wird $f_{n}\$ von $f_{m}\$ geteilt.

$m|n\implies f_{m}|f_{n}$

• Aus der vorhergehenden Eigenschaft folgt, für alle natürlichen Zahlen $p\geq 5$: Wenn $f_{p}\$ eine Primzahl ist, dann ist $p\$ ebenfalls eine Primzahl.

$f_{p}\ {\mbox{ist eine Primzahl}}\implies p\ {\mbox{ist eine Primzahl}}$

• In Bezug auf den größten gemeinsamen Teiler $\operatorname {ggT}$ gilt:

$\operatorname {ggT} (f_{m},f_{n})=f_{\operatorname {ggT} (m,n)}$

Fibonacci-Rechteck und Fibonacci-Spirale

Ein Fibonacci-Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenlängen zwei aufeinander folgenden Zahlen der Fibonacci-Folge entsprechen. Dabei lässt sich die Fläche eines Fibonacci-Rechtecks als Summe der Quadrate der ersten Zahlen der Fibonacci-Folge darstellen: $f_{0}^{2}+f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+...+f_{n}^{2}=\sum _{i=0}^{n}f_{i}^{2}=f_{n}\cdot f_{n+1}$

Beispiele:

$f_{6}\cdot f_{7}=8\cdot 13$	$f_{8}\cdot f_{9}=13\cdot 21$	$f_{9}\cdot f_{10}=21\cdot 34$

Die Folge der Fibonacci-Rechteckzahlen beginnt: 1, 2, 6, 15, 40, 104, 273, ...

Ein solche Summe aus den Quadraten der Fibonacci-Zahl ist zugleich ein Ausschnitt der Fibonacci-Spirale:

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Die Lucas-Folge

Wegen ihrer zur Fibonacci-Folge gleichen Bildungsregel $L_{n}=L_{n-2}+L_{n-1}\$ wird sie mit der Fibonacci-Folge in Zusammenhang gebracht. Sie unterscheidet sich allerdings in den beiden Anfangsgliedern. Statt $f_{0}=0\$ und $f_{1}=1\$ lauten die beiden Anfangsglieder $L_{0}=2\$ und $L_{1}=1\$.

Die Lucas-Folge beginnt mit: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...

Jedes Glied der Lucasfolge läßt sich auch über die Summe zweier Fibonacci-Glieder berechnen:

$L_{n}=f_{n-1}+f_{n+1}\$

Oder als Potenz des goldenen Schnitts:

$L_{n}=\left\lfloor \Phi ^{n}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \quad \forall n\geq 2$

Es gibt dann noch eine andere rekursive Bildungsregel:

$L_{n+1}=\left\lfloor {\frac {L_{n}(1+{\sqrt {5}})+1}{2}}\right\rfloor \quad \forall n\geq 4$

Und die Formel von Binet:

$L_{n}=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}$

Eigenschaften der Lucas-Folge

• Bezüglich der Teilbarkeit gilt: Wenn $p\$ eine Primzahl ist, dann ist $L_{p}-1$ durch $p\$ teilbar.

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Die quadratische Gleichung

Unter der quadratischen Gleichung versteht man eine Gleichung der Form $x^{2}+px+q=0$. Dabei ist $x\$ die Unbekannte, und der Ausdruck $x^{2}+px+q$ ein Polynom zweiten Grades. Die Quadratische Gleichung lässt sich in drei Fälle unterscheiden:

• Eine quadratische Gleichung hat zwei Lösungen
• Eine quadratische Gleichung hat eine Lösung
• Eine quadratische Gleichung hat keine reelle Lösung

Graphisch lässt sich das durch eine Parabel und ihre Lage zur x-Achse in einem Koordinatensystem darstellen:

Wie löst man quadratische Gleichungen

Wie so häufig in der Mathematik gilt: „Alle Wege führen nach Rom“ oder besser „Alle Wege führen zum Ziel“. Hier werden also möglichst viele Lösungswege vorgestellt, und die Zusammenhänge zwischen den Lösungswegen gezeigt.

Alle Wege werden an einer quadratischen Gleichung vorgeführt: $x^{2}-14x+45=0\$

Die quadratische Ergänzung

Frischen wir nochmal unser Wissen über die binomischen Formeln auf:

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\$
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\$

Wie hilft das bei der quadratischen Gleichung? Die quadratische Gleichung lautet: $x^{2}-14x+45=0\$. Interessant ist dabei der Term $-14x\$. Wenn $-14x\$ dem Teil $-2ab\$ der zweiten Binomischen Formel $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\$ entspricht, läßt sich die vollständige zweite binomische Gleichung rekonstruieren: $x^{2}-14x+49=(x-7)^{2}\$.

Um die vorliegende quadratische Gleichung also in die gewünschte Form zu bringen, addiert man die Zahl Vier auf beiden Seiten:

$x^{2}-14x+45+4\$	$=\$	$0+4\$
$x^{2}-14x+49\$	$=\$	$4\$
$(x-7)\cdot (x-7)$	$=\$	$4\$
$(x-7)^{2}\$	$=\$	$4\$

Wie man feststellen kann, sind auf beiden Seiten quadratische Ausdrücke. Ziehen wir also die Wurzel:

${\sqrt {(x-7)^{2}}}$	$=\$	${\sqrt {4}}$
$x-7\$	$=\$	$\pm 2$

Es gibt zwei Lösungen, da sich $4\$ sowohl als $2\cdot 2$ als auch als $(-2)\cdot (-2)$ darstellen lässt. Die Lösungen sind:

• $x_{1}=2+7=9\$

und

• $x_{2}=-2+7=5\$

Dass sich eine quadratische Gleichung so einfach lösen lässt, ist allerdings die Ausnahme!

Die pq-Formel

Die pq-Formel ist zweiteilig:

$x_{1}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$

$x_{2}=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}$

Setzen wir ein:

$x_{1}=\$	${\frac {14+{\sqrt {14^{2}-4\cdot 45}}}{2}}$
$x_{1}=\$	${\frac {14+{\sqrt {196-180}}}{2}}$
$x_{1}=\$	${\frac {14+{\sqrt {16}}}{2}}$
$x_{1}=\$	${\frac {14+4}{2}}$
$x_{1}=\$	${\frac {18}{2}}$
$x_{1}=\$	$9\$

Für $x_{2}\$ wird das Ganze verkürzt:

$x_{2}=\$	${\frac {14-4}{2}}$
$x_{2}=\$	${\frac {10}{2}}$
$x_{2}=\$	$5\$

Die Satzgruppe von Vieta

Die Satzgruppe lässt sich als Test dafür verwenden, ob die quadratische Gleichung richtig gelöst wurde. Bei der Satzgruppe von Vieta handelt es sich um drei Gleichungen:

$-p=x_{1}+x_{2}\$

$q=x_{1}\cdot x_{2}$

$x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$

Die ersten beiden Gleichungen lassen sich aus den pq-Formeln herleiten.

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Einleitung

Hier geht es um die beiden allgemeinen Lucas-Folgen $U_{n}(P,Q)\$ und $V_{n}(P,Q)\$, die abhängig von den Parametern $P$ und $Q$ definiert sind als Folgen mit den Anfangswerten

$U_{0}=0,\quad U_{1}=1\$ und

$V_{0}=2,\quad V_{1}=P$

und der Rekursionsformel

$U_{n}=PU_{n-1}-QU_{n-2}\$ für $n>1\$ (entsprechend für $V_{n}\$).

Die Lucas-Folgen sind nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas benannt, der sich als erster mit ihnen beschäftigt hat.

Explizite Formeln

Vorbereitung

Die allgemeine Lucas-Folge hat zum einen mit quadratischen Gleichungen zu tun, und andererseits ist es zum Verständnis von Vorteil, ableiten (Differentialrechnung) zu können.

Für die expliziten Formeln werden die beiden Lösungen $a$ und $b$ der quadratischen Gleichung $x^{2}-Px+Q=0\$ benötigt. Sie sind

$a={\frac {P}{2}}+{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$

und

$b={\frac {P}{2}}-{\sqrt {{\frac {P^{2}}{4}}-Q}}={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$

Die Parameter $P\$ und $Q\$ und die Werte $a\$ und $b\$ sind von einander abhängig. Es gilt umgekehrt:

$P=a+b,\quad Q=a\cdot b.$ (Satzgruppe von Vieta)

Die Formeln für a und b lassen sich, in bezug auf die Potenzen auch verallgemeinern:

$a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,$

$b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\,$

Die allgemeinen Lucas-Folgen

Falls $P^{2}-4Q\neq 0$ gilt, oder äquivalent dazu: falls die Zahlen $a$ und $b$ verschieden sind, so berechnet sich das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $U_{n}(P,Q)\$ nach folgender Formel:

$U_{n}(P,Q)={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}$

für alle $n\geq 0$. Im Spezialfall $P^{2}-4Q=0$ gilt stattdessen

$U_{n}(P,Q)=na^{n-1}=n\left({\frac {P}{2}}\right)^{n-1}.$

Das Glied der allgemeinen Lucas-Folge $V_{n}(P,Q)\$ berechnet sich nach folgender Formel:

$V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\$

für alle $n\geq 0$

Wenn man die ganze Folge meint, und nicht nur das einzelne Glied der Folge, dann läßt sich dieses so ausdrücken:

$U(P,Q)=(U_{n}(P,Q))_{n\geq 1}$ bzw. $V(P,Q)=(V_{n}(P,Q))_{n\geq 1}$

U₀, U₁ und V₀ sind definiert

$U_{0}(P,Q),\ U_{1}(P,Q)\$ und $V_{0}(P,Q)\$ hängen nicht von $a\$ und $b\$, und damit auch nicht von $P\$ und $Q\$, ab.

$U_{0}={\frac {a^{0}-b^{0}}{a-b}}={\frac {1-1}{a-b}}={\frac {0}{a-b}}=0$

$U_{1}={\frac {a^{1}-b^{1}}{a-b}}={\frac {a-b}{a-b}}={\frac {1}{1}}=1$

$V_{0}=a^{0}+b^{0}=1+1=2\$

$V_{1}(P,Q)\$ nimmt den Wert von $P\$ an, da nach der Satzgruppe von Vieta gilt $P=a+b\$:

$V_{1}=a^{1}+b^{1}=a+b=P\$

Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Es gibt viele Beziehungen zwischen den Gliedern der allgemeinen Lucas-Folgen $U(P,Q)\$ und $V(P,Q)\$. Da die Fibonacci-Folge, und auch die Lucas-Folge (2, 1, 3, 4, 7, ...) Teil der allgemeinen Lucas-Folge sind, gelten diese Beziehungen auch für diese beiden Folgen. Gleiches trifft auch auf die Pell-Folge und ihre Companion-Folge zu.

Da man bei diesen Beziehungen davon ausgehen kann, dass die Parameter $P\$ und $Q\$ für alle Glieder der Folgen identisch sind, lässt man sie weg. Statt $V(P,Q)_{2n}=V(P,Q)_{n}^{2}-2Q^{n}\$ reicht es aus $V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}\$ zu schreiben.

• $U_{2n}=U_{n}\cdot V_{n}\$
• $V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}\$
• $V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}\$
• $\operatorname {ggT} (U_{m},U_{n})=U_{\operatorname {ggT} (m,n)}$
• $m\mid n\implies U_{m}\mid U_{n}$; für alle $U_{m}\neq 1$

_{Quelle: Ein großer Teil dieses Kapitels stammt aus dem Artikel Lucas-Folgen von der deutschsprachigen de.wikipedia.org.}

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Einleitung

Im Gegensatz zu den vorhergehenden Kapitel wird der Bereich der Folgen verlassen.

Folgen in das Negative

Das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen, und hierbei sind alle Folgen gemeint, die sich durch ein Bildungsgesetz $F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$ bilden lassen, läßt im Umkehrschluß die Regel $F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}$ zu. Das bedeutet, daß man eine Fibonacci-Folge nach beiden Seiten in das Unendliche fortsetzen kann. Eine Fibonacci-Folge mit den Startwerten $F_{0}=2$ und $F_{1}=7$ würde also so dargestellt werden können:

$\cdots (-51)\ 31\ (-20)\ 11\ (-9)\ {\underline {2}}\ {\underline {7}}\ 9\ 16\ 25\ 41\ \cdots$

Die als Fibonacci-Folge und die als Lucas-Folge bekannten Folgen fallen beide dadurch auf, daß sie dabei symmetrisch sind:

$\operatorname {Fibonacci-Folge:} \cdots 13\ (-8)\ 5\ (-3)\ 2\ (-1)\ 1\ {\underline {0}}\ {\underline {1}}\ 1\ 2\ 3\ 5\ 8\ 13\ \cdots$

$\operatorname {Lucas-Folge:} \cdots (-11)\ 7\ (-4)\ 3\ (-1)\ 2\ 1\ 3\ 4\ 7\ 11\ \cdots$

Damit wurde der Bereich der Folgen verlassen, und das aus wenigstens zwei Gründen:

1. Man geht davon aus, daß eine Folge an einer Stelle anfängt
2. Dieses Konstrukt ist als Folge nicht mehr eindeutig

Eine Folge mit den Startwerten $F_{0}=3$ und $F_{1}=2$ wäre etwa identisch mit der Folge mit den Startwerten $F_{0}=5$ und $F_{1}=7$. Zumindest wären beide "Folgen" durch nichts voneinander zu unterscheiden:

$\cdots 9\ (-5)\ 4\ (-1)\ {\underline {3}}\ {\underline {2}}\ 5\ 7\ 12\ \cdots$

$\cdots 9\ (-5)\ 4\ (-1)\ 3\ 2\ {\underline {5}}\ {\underline {7}}\ 12\ \cdots$

Statt der Darstellungweise als Folge läßt sich das Ganze auch durch 2-Tupel darstellen:

Der Nachfolger von $\operatorname {F} (a_{0},a_{1})$ ist $\operatorname {F} (a_{1},a_{2})$, und umgekehrt hat $\operatorname {F} (a_{1},a_{2})$ den Vorgänger $\operatorname {F} (a_{0},a_{1})$

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Der goldene Schnitt

Als goldenen Schnitt bezeichnet man das Teilungsverhältnis, bei welchem sich der große Anteil zum kleinen so verhält, wie die Gesamtheit zum großen Anteil. Wenn man eine Gesamtheit mit dem Maß 1 in zwei Teile mit den Maßen $\Phi$ und $1-\Phi$ aufteilt, liefert die obige Definition die Bedingung ${\frac {\Phi }{1-\Phi }}={\frac {1}{\Phi }}$.

Dies liefert die Bestimmungsgleichung $\Phi ^{2}-\Phi -1=0$ mit der Lösung $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$. Allerdings wird auch die Konstante $\Psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi -1={\frac {1}{\Phi }}$ als goldener Schnitt bezeichnet. Der nummerische Wert des goldenen Schnitts ist $\Phi =1,6180339....\$.

Darstellungsweisen

• Der goldene Schnitt lässt sich als nicht abbrechender Kettenbruch darstellen:

$\Phi =1+{\frac {1}{\Phi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\Phi }}}}=\cdots =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}.$

• Aus der quadratischen Gleichung Φ² = 1 + Φ lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:

$\Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\ldots }}}}}}}}$

Beziehungen zu den Fibonacci-Folgen

Wenn man den Quotienten aus zwei aufeinander folgenden Gliedern einer Fibonacci-Folge berechnet, bekommt man eine Näherung an den goldenen Schnitt, die um so genauer ist, je höher die beiden Folgen liegen:

	Fibonacci-Folge			Lucas-Folge			Folge $a_{n}\$
$n\$	$f_{n}\$	$f_{n+1}\$	${\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}$	$L_{n}\$	$L_{n+1}\$	${\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}$	$a_{n}\$	$a_{n+1}\$	${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$
1	1	1	1.00000	1	3	3.00000	2	7	3.50000
2	1	2	2.00000	3	4	1.33333	7	9	1.28571
3	2	3	1.50000	4	7	1.75000	9	16	1.77777
4	3	5	1.66666	7	11	1.57143	16	25	1.56250
5	5	8	1.60000	11	18	1.63636	25	41	1.64000
6	8	13	1.62500	18	29	1.61111	41	66	1.60976
7	13	21	1.61538	29	47	1.62096	66	107	1.62121
8	21	34	1.61905	47	76	1.61702	107	173	1.61682
9	34	55	1.61765	76	123	1.61842	173	280	1.6185
10	55	89	1.61818	123	199	1.61789	280	453	1.61786
11	89	144	1.61798	199	322	1.61809	453	733	1.6181
12	144	233	1.61806	322	521	1.61801	733	1186	1.61801
13	233	377	1.61803	521	843	1.61804	1186	1919	1.61804

_{Die Folge $a_{n}\$ mit der Bildungsregel $a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}\$ und den Startwerten $a_{1}=2\$ und $a_{2}=7\$}

Dies lässt sich über die Kettenbruchdarstellung der Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen:

${\frac {1}{1}}=1\qquad {\frac {2}{1}}=1+{\frac {1}{1}}\qquad {\frac {3}{2}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}\qquad {\frac {5}{3}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}\qquad {\frac {8}{5}}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1}}}}}}}}$

Analoges gilt auch für alle anderen Folgen mit der Bildungsregel $a_{n}=a_{n-2}+a_{n-1}\$, egal welche Startwerte diese Folgen besitzen.

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Aufgaben

• Zeige anhand von $a={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$ und $b={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$, dass $a+b=P\$ und $a\cdot b=Q$ gilt.

• Zeige die Gleichheit von $V_{p}(a+1,a)\equiv V_{1}(a+1,a)\mod p$ und $a^{p}\equiv a\mod p$.

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Lösungen

• Zeige anhand von $a={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$ und $b={\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$, das $a+b=P\$ und $a\cdot b=Q$ gilt.

A. $a+b=P\$

$a+b={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}+{\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$

$a+b={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}+P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$

$a+b={\frac {2P}{2}}$

$a+b=P\$

B. $a\cdot b=Q$

$a\cdot b={\frac {P+{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}\cdot {\frac {P-{\sqrt {P^{2}-4Q}}}{2}}$

$a\cdot b={\frac {(P+{\sqrt {P^{2}-4Q}})\cdot (P-{\sqrt {P^{2}-4Q}})}{4}}$

$a\cdot b={\frac {P^{2}-({\sqrt {P^{2}-4Q}})^{2}}{4}}$

$a\cdot b={\frac {P^{2}-(P^{2}-4Q)}{4}}$

$a\cdot b={\frac {P^{2}-P^{2}+4Q}{4}}$

$a\cdot b={\frac {4Q}{4}}$

$a\cdot b=Q\$

• Zeige die Gleichheit von $V_{p}(a+1,a)\equiv V_{1}(a+1,a)\mod p$ und $a^{p}\equiv a\mod p$.

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Folgeglieder

${\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\ \forall \ n>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q)\ \forall \ n>1\end{aligned}}$

${\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}$

Kettenbruch

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Literatur

• The New Book of Prime Number Records, Paolo Ribenboim, Springer Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5
• My Numbers, my Friends, Paolo Ribenboim, ISBN 0-387-98911-0
• The Book of Numbers, John Horton Conway|John H. Conway und Richard K. Guy, ISBN 0-387-97993-X

Internet

• Wikipedia:
  • w:Lucas-Folge
  • w:Fibonacci-Folge
  • w:Goldene Schnitt

• andere Quellen
  • Final Answers Modular Arithmetic
  • Ergänzungen und Irrtümer zu dem Buch "The new Book of Prime Number Records" von Paolo Ribenboim