Fibonacci-Folgen, Lucas-Folgen und der goldene Schnitt: Die allgemeine Fibbonacci-Folge

Fibonacci-Folgen und Lucas-Folgen

Einleitung

Im Gegensatz zu den vorhergehenden Kapitel wird der Bereich der Folgen verlassen.

Folgen in das Negative

Das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen, und hierbei sind alle Folgen gemeint, die sich durch ein Bildungsgesetz $F_{n}=F_{n-2}+F_{n-1}$ bilden lassen, läßt im Umkehrschluß die Regel $F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}$ zu. Das bedeutet, daß man eine Fibonacci-Folge nach beiden Seiten in das Unendliche fortsetzen kann. Eine Fibonacci-Folge mit den Startwerten $F_{0}=2$ und $F_{1}=7$ würde also so dargestellt werden können:

$\cdots (-51)\ 31\ (-20)\ 11\ (-9)\ {\underline {2}}\ {\underline {7}}\ 9\ 16\ 25\ 41\ \cdots$

Die als Fibonacci-Folge und die als Lucas-Folge bekannten Folgen fallen beide dadurch auf, daß sie dabei symmetrisch sind:

$\operatorname {Fibonacci-Folge:} \cdots 13\ (-8)\ 5\ (-3)\ 2\ (-1)\ 1\ {\underline {0}}\ {\underline {1}}\ 1\ 2\ 3\ 5\ 8\ 13\ \cdots$

$\operatorname {Lucas-Folge:} \cdots (-11)\ 7\ (-4)\ 3\ (-1)\ 2\ 1\ 3\ 4\ 7\ 11\ \cdots$

Damit wurde der Bereich der Folgen verlassen, und das aus wenigstens zwei Gründen:

1. Man geht davon aus, daß eine Folge an einer Stelle anfängt
2. Dieses Konstrukt ist als Folge nicht mehr eindeutig

Eine Folge mit den Startwerten $F_{0}=3$ und $F_{1}=2$ wäre etwa identisch mit der Folge mit den Startwerten $F_{0}=5$ und $F_{1}=7$. Zumindest wären beide "Folgen" durch nichts voneinander zu unterscheiden:

$\cdots 9\ (-5)\ 4\ (-1)\ {\underline {3}}\ {\underline {2}}\ 5\ 7\ 12\ \cdots$

$\cdots 9\ (-5)\ 4\ (-1)\ 3\ 2\ {\underline {5}}\ {\underline {7}}\ 12\ \cdots$

Statt der Darstellungweise als Folge läßt sich das Ganze auch durch 2-Tupel darstellen:

Der Nachfolger von $\operatorname {F} (a_{0},a_{1})$ ist $\operatorname {F} (a_{1},a_{2})$, und umgekehrt hat $\operatorname {F} (a_{1},a_{2})$ den Vorgänger $\operatorname {F} (a_{0},a_{1})$