Entropie: Formel

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Die Formel auf Boltzmanns Grabstein

Einleitung

Wenn man keine Ahnung von einer physikalischen Größe hat, dann kann man sich einfach ein paar Übungsaufgaben vornehmen und mit ihnen rechnen. Dann wird man so allmählich mit dem Konzept, welches hinter jeder Formel steckt, vertraut werden. Leider gibt es zu manchen Entropieformeln nur wenige verfügbare Übungsaufgaben. Außerdem sollte man sich klar machen, daß manche physikalische Formel sehr spektakulär ausschaut, der praktischen Nutzwert aber ziemlich gering ist. Um eine Heizungsanlage zu berechnen, brauche ich keine Entropieformeln. Einsteins Formel $E=m\cdot c^{2}$ hat beispielsweise Bedeutung bei der Sonne oder einem Kernkraftwerk. Für banale, aber praktisch eminent wichtige Energiefragen ist sie ziemlich wertlos. Dann gibt es da noch ein Problem: Energie, Innere Energie, Entropie, Exergie, Enthalpie, Negentropie, Syntropie, Helmholtz Energie, Gibbs Energie etc. Für den physikalisch wenig gebildeten Betrachter gibt es da eine Inflation von Begriffen.

Abkürzungen

Die Entropie wird meist mit H oder S abgekürzt.

Da der Buchstabe H in der Physik bereits für die Enthalpie reserviert ist, sollte man hier immer den Buchstaben S gebrauchen, wenn man von Entropie spricht.

In der Mathematik (Informationstheorie) hat sich die Abkürzung H eingebürgert.

Die Benutzung von klein und groß S geschieht sehr uneinheitlich. Klein s ist dabei meist die spezifische Entropie d.h. die Entropie bezogen auf 1 Kilogramm des Stoffes.

Einheiten

• Physik:
  • ${\frac {Joule}{Kelvin}}$
    • $\left({\frac {Energie}{Temperatur}}\right)$

Die Entropieeinheit $1{\frac {Joule}{Kelvin}}$ entspricht der Entropiemenge, 
mit der man bei Normaldruck $0,893cm^{3}$ Wassereis schmelzen kann

• Mathematik und Informationstheorie
  • bit

Die Entropieeinheit 1 bit steckt in einer binären gleichberechtigten Zufallsentscheidung
wie beispielsweise dem Wurf einer idealen Münze

Glossar

Siehe http://www.thermo-bestehen.de/glossar.html

• Abgeschlossenes System
• Adiabatisch
• Anergie
• Carnot
• COP
• Drossel
• Energie
• Energieformen
• Enthalpie
• Entropie
• Exergie
• Extensiv
• Fluid
• Geschlossenes System
• Gleichgewicht
• Innere Energie
• Instationär
• Intensiv
• Isentrop
• Isentropenexponent
• Isotherm
• Isobar
• Isochor
• Leistungszahl
• Molare Größen
• Offenes System
• Polytrop
• Prozessgröße
• Reversibel
• Stationär
• System
• Wärmekapazität
• Zustandsgröße

Variablenbezeichnungen

Vorsicht: Die Bezeichnungen werden in Büchern und Veröffentlichungen sehr unterschiedlich benutzt.

• h
  • Enthalpie
• H
  • molare Enthalpie
• u
  • innere Energie
• U
  • molare innere Energie
• q
  • einem System zugeführte Wärmemenge
• Q
  • einem System zugeführte molare Wärmemenge
• s
  • Entropie
• S
  • molare Entropie
• c
  • Wärmekapazität (konstante Größe als Index)
• C
  • molare Wärmekapazität (konstante Größe als Index)
• V
  • Volumen
• VM
  • molares Volumen
• n
  • Stoffmenge
• p
  • Druck
• R
  • Gaskonstante $(R=8.31451J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1})$
• T
  • absolute Temperatur
• w
  • an einem System verrichtete Arbeit

Entropie Formeln Informationstheorie

Vorsicht: Diese kurze Formelsammlung dient nur der Übersicht und soll kein Verständnis für die beschriebenen Formeln bringen.

Shannonformel

Shannon definierte die Entropie H einer gegebenen Information I über einem Alphabet Z durch

$H(I)=-\sum _{j=1}^{|Z|}{p_{j}\cdot \log _{2}{p_{j}}}$,

wobei p_j die Wahrscheinlichkeit ist, mit der das j-te Symbol z_j des Alphabets Z im Informationtext I auftritt.

Die Entropie erhält die Einheit bit.

H = Summe der Teilentropien aus n Zufallsereignissen mit der Wahrscheinlichkeit p_n

Teilentropie $H=-p\cdot log_{2}(p)=p\cdot log_{2}{\left({\frac {1}{p}}\right)}$

dabei ist p die Wahrscheinlichkeit einer Möglichkeit eines Zufallsereignisses

Diese Formel wird auf der folgenden Seite ausführlich erklärt:

• Entropie:_IT#Definition

Rho Formel

Gesamtinformation = geordnete Informationsmenge + Entropie

Diese Formel wird von Benutzer:Rho zur Diskussion gestellt. Sie scheint gegenüber allen bisherigen Vorschlägen am einfachsten und überzeugendsten. Siehe Entropie: Information

Entropie Formeln Physik

Formel für die verschiedenen Aggregatzustände eines Stoffes mit gleicher Stoffmenge

Festkörper, insbesondere Kristalle, haben eine kleinere Entropie als Flüssigkeiten und Flüssigkeiten eine kleinere als Gase, wenn man denselben Stoff und diesselbe Stoffmenge betrachtet.

SFeststoff < SFlüssigkeit < SGas

Ss < Sl < Sg

wobei s = solid = fest, l = liquid = flüssig, g = gasförmig ist

Entropiefluß

Diese Formel ist wichtig zur Berechnung von Heizungen, Wärmpumpen und ähnlichem.

Der Entropiefluß I_S ist gleich der Wärmemenge (Entropiemenge) ΔS die pro Zeiteinheit Δt transportiert wird

 $I_{S}={\frac {\Delta S}{\Delta t}}$

VORSICHT: Nicht Groß T ( Temperatur) mit klein t (Zeit) verwechseln.

Davon abgeleitet gilt:

 $P=T\cdot I_{S}$

Die Leistung P ( Energie / Zeit) ist gleich dem Produkt aus der absoluten Temperatur T mal dem Entropiefluß Is ( Entropie / Zeit).

Die dazugehörigen Einheiten lauten:

Watt = Kelvin * Joule / Kelvin / Sekunde
 $Watt={\frac {Joule}{Sekunde}}$

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

 ${\frac {dS}{dt}}\geqq 0$ für abgeschlossene Systeme

In einem abgeschlossenen System kann die Gesamtentropie nicht abnehmen. Sie bleibt im Laufe der zeitlichen Entwicklung dieses Systems entweder konstant oder sie nimmt zu.

Dritter Hauptsatz der Thermodynamik

Nach  Nernst gilt am absoluten Nullpunkt (T = 0 Kelvin) für einen reinen kristallinen Stoff:

 $S=0{\frac {J}{K}}$

Max Planck hat dies noch genauer formuliert:

$\lim _{T\to 0}S(T,p,V,...)=S(T=0)=S_{0}$

$S_{0}=k_{B}\cdot \ln(g)$

Wobei k_B die  Boltzmannkonstante ist und g die  Entartung des  Grundzustandes.

Ist der Grundzustand des Systems nicht entartet, so gilt g = 1 und damit S₀=0. Die Entropie eines Systems verschwindet somit, wenn die Temperatur gegen null geht.

Clausius-Formel

 $dS={\frac {dQ_{rev}}{T}}$

• dS = Entropiezunahme
• dQ = Wärmezufuhr
• T = Temperatur in Kelvin

Der Index „rev“ berücksichtigt, daß dies in voller Strenge nur für reversible Prozesse gilt.

Die Entropiefunktion des augenblicklichen Zustands eines Systems ist die Wärmemenge, die bei einer reversiblen Zustandsänderung aufgenommen oder abgegeben wurde, dividiert durch die Aufnahme- oder Abgabetemperatur.

Boltzmann-Formel

Das Interessante an der Boltzmann Formel scheint mir ihre falsche Namensgebung. Obwohl die Formel sogar auf dem Grabstein von Boltzmann eingraviert wurde, stammt sie eigentlich von M.Planck. Sie wurde erstmals in den Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung von Max Planck ausführlich hergeleitet und veröffentlicht. Auch die in der Formel enthaltene Konstante k wurde zuerst von Planck ausgerechnet und müßte eigentlich als zweite Planksche Konstante bezeichnet werden.

 $S=-k\cdot lnW$

im Original $S=k\cdot ln(\Omega )$

• Boltzmann-Konstante $k_{B}=1,3806503\cdot 10^{-23}{\frac {Joule}{Kelvin}}$
• W entspricht der Zahl der möglichen Mikrozustände die mit einem Makrozustand verknüpft sind.
• W erreicht ein Maximum, wenn alle Mikrozustände gleich verteilt sind.

Siehe auch  Ludwig Boltzmann

siehe auch

• http://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_5/backbone/r5_3_2.html
  • die Formel didaktisch gut erklärt
• https://books.google.de/books?id=BrnvAAAAMAAJ&pg=PA42&ots=i8T5tuEuQN&focus=viewport&lr=&hl=de&output=text
  • Von Google eingescannte 4.Auflage von Max Plancks Buch: Vorlesungen über die Wärmestrahlung. 1921

Am Interessantesten ist dabei wohl der 3. Abschnitt Dritter Abschnitt . Entropie und Wahrscheinlichkeit

• Erstes Kapitel . Grundlegende Definitionen und Sätze
• Zweites Kapitel . Ideales einatomiges Gas .
• Drittes Kapitel . Methode zur Bestimmung der Energieverteilung im Normalspektrum . Oszillatoren . Rotatoren . Einstrahlung . Ausstrahlung

Clausiusformel für ideale Gase

Für ideale Gase gilt:

dS = (n *Cv * dT + (n * R*T) / V * dV) / T 

 $dS=n\left(C_{v}\cdot {\frac {dT}{T}}+R\cdot {\frac {dV}{V}}\right)$

oder

S = n*R * ( 3/2 * ln(T) + ln(V/N) + Co) 

Mischungsentropie zweier idealer Gase gleichen Drucks und gleicher Temperatur

Siehe  ideales Gas

Zwei Gase liegen zunächst räumlich getrennt und in jeweils der Hälfte des Endvolumens vor. Die beiden Behälter der Größe V/2 berühren einander, sind aber durch eine Wand getrennt. Dann wird die Wand entfernt und man lässt die  adiabatische Mischung der beiden Gase zu. Dann kommt es nicht nur zu einer Mischung der Gase, sondern auch zu einer Volumenausdehnung des einen Gases in das Volumen des jeweils anderen Gases.

Die Mischungsentropie entspricht der Entropieänderung bei Expansion der Gase von ihren ursprünglichen Volumina V/2 auf das gemeinsame Gemischvolumen V.

Mischungsentropie DeltaS = k * N1 * ln (( N1 + N2 ) / N1 ) + k * N2 * ln (( N1 + N2 ) / N2 )

N1 und N2 sind die Molzahlen der getrennten Gase.

Wenn die beiden Teilvolumina identische Gase enthalten, so findet beim Zusammenbringen keine Diffusion statt und es entsteht auch keine Mischungsentropie.

Entropie schwarzer Löcher Bekensteinformel

Ssl = Pi/2*c^3*Kb/(G*h)*Osl

• Ssl = Entropie eines  schwarzen Loches
• Pi = Kreiszahl = 3,14...
• c = Lichtgeschwindigkeit
• $k_{B}$ = Boltzmann Konstante
• G = Gravitationskonstante
• h = Plancksches Wirkungsquantum
• Osl = Oberfläche des Schwarzenloches (Horizont)

Die Formel stammt von  Jacob Bekenstein und wurde von ihm 1973 veröffentlicht. Quelle: J. D. Bekenstein, "Black holes and entropy", Phys. Rev. D 7:2333-2346 (1973). Die Formel postuliert, dass

• die Entropie eines Schwarzen Lochs proportional seiner Oberfläche ist und
• die Entropie eines Schwarzen Lochs die größtmögliche innerhalb des gleichen Volumens ist,.

Ein Schwarzes Loch enthält immer die maximal mögliche Masse

Dazu ein didaktisch gut gemachter Text von Bekenstein selber. Leider nur in englisch

• http://www.scholarpedia.org/article/Bekenstein-Hawking_entropy

Tabellen und Diagramme

Wegen seiner großen Bedeutung für die Energiewirtschaft zählt Wasserdampf zu den am besten erforschten Stoffen innerhalb der Thermodynamik. Seine physikalischen Eigenschaften wurden durch Messungen und Berechnungen bestimmt und in umfangreichen Tabellenwerken, den so genannten Wasserdampftafeln, erfasst. In diesen Tabellen und Diagrammen finden sich sehr genaue Beziehungen zwischen der Temperatur und der Entropie des Wasserdampfes.

Siehe:

• http://de.wikipedia.org/wiki/Wasserdampf#Tabellen.2C_Diagramme_und_Formeln

Tabelle mit chemischen Potenzialen und molaren Entropien Siehe:

• http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/divers/chempot.pdf

Schmelzwärme

Übernommen aus Wikipedia

Die spezifische Schmelzwärme bzw. spezifische Schmelzenergie bezeichnet die Menge Energie, die zum Schmelzen eines Stoffes benötigt wird, bezogen entweder auf die Stoffmenge (Einheit: Joule/mol) oder auf die Masse (Einheit Joule/Kilogramm). Wenn man den dazugehörigen Schmelzpunkt kennt, dann ist es einfach die spezifische Schmelzentropie zu berechnen.

Stoff           Schmelzwärme (kJ/kg)   
Aluminium       398 
Antimon         163 
Bismut           55 
Blei             25 
Chrom           314 
Eis             333,7 
Eisen           268 
Gold             63 
Kadmium          54 
Kalium           63 
Cobalt          260 
Kohlendioxid    180 
Kupfer          205 
Magnesium       373 
Mangan          264 
Natrium         113 
Nickel          301 
Phosphor         21 
Platin          100 
Quecksilber      11,3 
Sauerstoff       13 
Schwefel (monoklin) 38 
Silber          105 
Silicium        142 
Wachs           176 
Wasser          334 
Wasserstoff      59 
Wolfram         193 
Zink            100 
Zinn             59

Extremwerte

Die Entropie eines reinen Stoffes in einer perfekten kristallisierten Form geht am absoluten Nullpunkt der Temperatur (- 273 Grad Celsius) gegen Null. Dabei kann der absolute Nullpunkt nie erreicht, sondern nur angenähert werden.

Die Entropie eines Wasserstoffgases z. B. bei 1000 Grad ist wie hoch?

Die Entropie im Urknall war wahrscheinlich sehr niedrig. Wie hoch?

Die Entropie des jetzigen Universums ist schätzungsweise wie hoch?

Die Entropie beim Wärmetod des Universums wird schätzungsweise wie hoch sein?

Entropiezuwachs und Energieverlust der Sonne

Energieaufnahme und -abgabe und Entropieaufnahme und Entropieabgabe der Erde

Die Entropie eines sicheren Ereignisses H = 0

Die Entropie eines unmöglichen Ereignisses H = 0

Die Entropie eines idealen Münzwurfes H = 1

Die Entropie einer fiktiven Lottoziehung 1 aus 1 Million Möglichkeiten H = 19,931568569324

Negative Werte der statistischen Entropie gibt es per Definition nicht.