Elementare Quantengeometrie

Elementare Quantengeometrie

Klaus Th. Ruthenberg – klaus-ruthenberg@web.de

Inhaltsübersicht:

Der Leser findet hier noch keine ausgearbeiteten Kapitel eines Wikibooks. Die vorgeschlagene Inhaltsübersicht ist vorläufig, lückenhaft und ergänzungsbedürftig. Nicht zu allen Abschnitten ist der Inhalt stichwortartig beschrieben. Wenn sich mehrere Autoren engagieren, ist zu hoffen, dass neben dem hier von mir skizzierten Weg auch andere Zugänge zu einer Elementaren Quantengeometrie Gestalt gewinnen. Nur ein so erarbeitetes Buch kann deutlich machen, wie sich Elementare Quantengeometrie von einem „wüsten Formelkram abhebt, der heute unseren Gegenstand umstarrt“. Hier zitiere ich Erwin Schrödinger. So radikal urteilte der Begründer der Wellenmechanik (in „Was ist Materie?“, Ges. Abhandlungen, Bd. 4, 1984) bis zu seinem Tode über den Stand der Dinge. Dürfen wir dieses von ihm nur auf Interpretationen der klassischen Quantenmechanik bezogene Urteil übertragen auch auf zeitgenössische Konstrukte einer nicht-elementaren Quantengeometrie? Gegenstand dieses Buches sind nicht erfahrungsferne Theorien, die Gravitationstheorie und Quantenphysik unter einheitlichen Gesichtspunkten zu sehen hoffen, ohne die überkommene dreidimensionale Raumvorstellung des Experimentalphysikers einer elementaren, radikalen Kritik zu unterziehen. Elementare Quantengeometrie will klarstellen, dass die scheinbar skurillen Phänomene der Mikrophysik besser zu verstehen sind, wenn man jede quantenmechanische Bewegungstheorie auf dem Hintergrund eines revidierten geometrischen Raumbegriffs sieht.

Eine Darstellung, die diesen Hintergrund zeigt, kann auch dem Fachlehrer, dem Teilnehmer eines physikalischen Leistungskurses, dem an geometrisch-physikalischen Basisstrukturen interessierten Zeitgenossen ein anschauliches, dreidimensionales und dennoch wissenschaftlich vertretbares Bild quantenmechanischer Phänomene vermitteln.

Einleitung

Die klassische Quantenmechanik, in wesentlichen Zügen als Wellenmechanik von Schrödinger entwickelt, hat bis heute drei Interpretationsprobleme:

Der Dualismus

Wie ist die komplementäre Struktur („Welle und Partikel“) physikalischer Mikro-Bewegungen widerspruchsfrei zu denken und vorzustellen?

Die ψ-Funktion

Wie sind die von den Schrödinger-Gleichungen definierten ψ-Funktionen physikalisch zu verstehen und geometrisch zu deuten?

Die komplexen Zahlen

Wie erklärt sich die fundamentale Rolle komplexer Zahlen in dieser physikalischen Theorie?

Resignieren oder Weiterdenken?

Es gibt zwei Grundhaltungen bezüglich des physikalischen Dualismus:

Entweder

Eine „extrem positivistische“ Auffassung der Quantenmechanik – in der Tradition von Bohr/Heisenberg: Der Physiker beschreibt mit seinen mathematischen Kalkülen und geometrischen Modellen nicht eine objektive Wirklichkeit. Eine von den Begründern der Quantenmechanik bis zu ihrem Tode vertretene „konservative“ erkenntnistheoretische Grundhaltung ist nicht mehr zeitgemäß. Das oft nur statistisch zu erfassende Verhalten von Mikroelementen entspringt nicht einer unvollständigen experimentellen Kenntnis mikrophysikalischer Bewegungen, es kommt diesen Elementen wesensmäßig zu. Eine realistische Deutung der Schrödinger-Funktionen ist abwegig. Diese sind ein formales Hilfsmittel zur Beschreibung und Voraussage von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Ein widerspruchsfreies dreidimensionales geometrisches Bild mikrophysikalischer Bewegungen gibt es nicht und kann auch zukünftig nicht entwickelt werden.

Oder

Eine Haltung in der Tradition von Einstein/Schrödinger/De Broglie: In welchem Sinne ergänzen sich die beiden Modelle „Welle“ und „Teilchen“, obwohl sie sich zu widersprechen scheinen? Die klassische Quantenmechanik ist unvollständig, entweder formal-mathematisch oder bezüglich ihrer geometrischen Deutung. Es gibt zwar bisher kein unserer dreidimensionalen Anschauung zugängliches geometrisches (geometrisch-physikalisches) Modell der Bewegung physikalischer Mikroelemente, das alle beobachteten Erscheinungen in befriedigender Weise umfasst und von Experten weithin akzeptiert ist. Neuere Physik kann aber das Verständnis des physikalischen Dualismus vertiefen; sie kann die formalen Elemente der Quantenmechanik in ihren logischen Abhängigkeiten neu arrangieren und so weiterführende, der menschlichen Anschauung besser zugängliche geometrische Strukturen zum Verstehen von Quanten-Bewegungen entwickeln.

Will man die Auffassung, dass sich das Rätsel des physikalischen Dualismus durch Weiterdenken oder durch neu entwickelte geometrische Modelle entschlüsseln lässt, in einem Buch „Elementare Quantengeometrie“ unter Berücksichtigung didaktischer Gesichtspunkte zur Darstellung bringen, müssen beispielsweise folgende Originalarbeiten Berücksichtigung finden:

• S. Dürr, G. Rempe: Can wave-particle duality be based on the uncertainty relation? Am. J. Phys. Vol. 68, No. 11, 2000
• B.G. Englert, Remarks on some basic issues in quantum mechanics. Z. Naturforsch., A, Phys. Sci., 54, 11-32, 1999
• R. Penrose, The Emperor’s New Mind Concerning Computers, Minds and the Law of Physics, Oxford University Press, 1989
• K. Th. Ruthenberg, Angles Generate more Fundamental Frames than Lengths, Hadronic Journal, 26, 67-92, 2003

Der klassische physikalische Raumbegriff

Die Physik benutzt seit Newton einen geometrisch-physikalischen Raumbegriff, der sich im Prinzip von Descartes herleitet: Objekte des geometrisch-physikalischen Raums sind aufzufassen als Elemente, die sich in (kartesischen) Koordinatensystemen befinden. Diese (zunächst rein) statische, bei Einbeziehung der Zeit-Koordinate auf eine kinematische Beschreibung von Elementen im dreidimensionalen Erfahrungsraum erweiterte Auffassung ergänzte insbesondere Newton durch eine dynamische Erfassung von Elementen in diesem physikalischen Raum. Neben die kinematischen Koordinaten (t, x), den Zeit- und Orts-Koordinaten, traten die dynamischen Koordinaten (m, p). Mit Einführung der Begriffe „Massenpunkt“ m und „Bewegungsgröße“ p entwickelte sich die klassischen Mechanik. Macht man sich oft genug klar, dass so ein historisch gewachsenes Raumkonzept ins Spiel kam, das sich physikalisch bis heute bewährt, das aber keinesfalls physikalisch denknotwendig ist? Auch die Physik vor Newton hatte bereits, indem sie die Geometrie von Euklids Elementen benutzte, einen physikalischen Raumbegriff, ohne dass zur Beschreibung von Raumelementen „kartesische Koordinatensysteme“ benutzt wurden. Das Koordinatenkonzept gab es vor Descartes nicht. Wie bedingt und beschränkt das Koordinatenkonzept die physikalischen Raumvorstellungen?

Es lohnt sich auch zu bedenken, wie bis heute physikalische Elemente immer wieder (und oft ausschließlich) gedacht werden als Elemente, die sich „im“ geometrischen Raum befinden. Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie bahnt sich eine Umkehrung dieser Grundvorstellung an: Ein energetisch, also (auch) materiell gedeuteter Riemannscher Krümmungtensor erzeugt eine Raumstruktur. Im gewissen Sinne wird hier (zum ersten Mal?) der dynamische (materielle) Aspekt der Natur als Grundlage und Ursache der Raum-Zeit-Struktur gedacht.

Aber bleibt nicht das Denken Einsteins zeitlebens bestimmt von der Prämisse, dass physikalische Bewegungen stattfinden im (natürlich dreidimensionalen) Raum? Ist nicht der Physik (auch mit und nach Einstein) der Gedanke weithin fremd, dass – tatsächlich umgekehrt – physikalische Bewegungen, wie immer strukturiert, den Raum konstituieren? Und auch Einsteins Gravitationstheorie macht sich prinzipiell noch nicht frei von der Vorstellung, dass Begriffe wie „geometrischer Punkt“ einen denknotwendigen Hintergrund bilden, um eine Theorie physikalischer Bewegungen zu begründen. Gegenwärtige theoretische Physik, wie etwa jene der Stringtheoretiker bemüht sich zwar, „klassische Punkte“ (beispielsweise auf den geodätischen Linien der Einsteinschen Gravitationstheorie) durch „nicht-klassische Punkte“, Objekte mit innerer Struktur zu ersetzen. Dabei bleibt aber oft völlig aus dem Spiel, dass bereits die klassische Quantenmechanik – unabhängig von (und vor) der Suche nach einer auch die Gravitation umfassenden allgemeinen Feldttheorie – nahe legt eine fundamentale Kritik des klassischen, dreidimensionalen physikalischen Raumbegriffs.

Die duale Struktur der Messungen mittels Uhren und starren Körpern

Oft fasst man die durch de Broglie eingeleitete Entwicklung der Mechanik auf als eine „kausale Verarmung“ der physikalischen Welterfassung: „Nur wenn man die Dynamik (m, p) einer physikalischen Bewegung in einem Raum-Zeit-Punkt (t, x) kennt, kann man diese Bewegung mittels der Klassischen Mechanik vorausberechnen. – Aber die Mikrophysik gestattet keine simultane messtechnische Erfassung des kinematischen und dynamischen Aspekts einer Bewegung.“

Die inzwischen generell als Grundbeziehungen akzeptierten Gleichungen

$\nu ={\frac {E}{h}}={\frac {m\cdot c^{2}}{h}}\quad und\quad \lambda ={\frac {h}{p}}$

zwischen den dynamischen Parametern (m, p) und den Wellenparametern (λ,ν) einer Bewegung lassen sich verstehen als eine zweifache („duale“) Zurückführung jeder messtechnisch erfassten Bewegung auf die Messung mittels eines starren Körpers, heute in der Regel (im Prinzip) des Pariser Ur-Meters, und der Messung durch eine Uhr, heute in der Regel durch eine Sekunden-Uhr. Dabei wird oft nicht hinreichend reflektiert, dass Messgrößen (t, x) – „kinematische Parameter“ – und Messgrößen (λ, ν) – „Wellen-Parameter“ – zwar beide mittels Uhren und einem starren Ur-Maß gemessen werden, dass aber Größen wie t und νund Größen wie x und λ wesentlich verschiedene Größen sind. t und x dienen zur Festlegung des Zeit-Punktes und des Ortes eines (in der Regel korpuskelartig gedachten) Bewegungselementes. Auch die Parameter λ und ν, metrische Bestimmungs-Größeneiner Welle, werden mittels einer Uhr und einem Ur-Meter-Maß gemessen, aber diese Größen haben nichts mit einem Zeit-Punkt bzw. den Orts-Koordinaten eines Massenpunktes zu tun.

Was konstituiert den dreidimensionalen Raum physikalischer Bewegungen? Aus welchen Gründen versteht sich oft (t, x), ein Zeit-Raum-Koordinaten-system, als fundamentaler denn ein Koordinatensystem (λ, ν)? Warum hat sich als konstitutiv eine Spezielle Relativitätstheorie durchgesetzt, die zunächst den fundamentalen Konnex („Lorentz-Transformation“) von Raum-Zeit-Parametern (t, x) beschreibt und die höchstens in einem zweiten, angehängten Teil das Transformationsverhalten auch von materiellen Parametern wie (m, p) und (λ, ν) diskutiert?

Wie fundamental ist der Begriff „Kartesisches Koordinatensystem“?

Historisch gesehen wurden geometrische und physikalische Probleme lange ohne den Begriff „Kartesisches Koordinatensystem“ behandelt.

Die Mathematik entwickelte auch prinzipiell andere Koordinatenbegriffe, etwa den Begriff der projektiven Koordinaten. Beispielsweise gestatten diese die Bestimmung geometrischer (und so auch physikalischer?) Objekte unabhängig von dem Gebrauch starrer Längen-Maßstäbe.

Die Mathematik entwickelte ästhetisch sehr befriedigende Theorien, beispielsweise die Komplexe Analysis (Theorie Komplexer Funktionen), die prinzipiell gänzlich ohne eine Koordinatendarstellung der benutzten Zahlen auskommt. Die komplexe Funktionentheorie ist besonders schön und durchsichtig, solange sie eine Koordinatenbeschreibung ihrer Grundelemente, der komplexen Zahlen, vermeidet.

Wie weit muss Theoretische Physik den Begriff „Kartesisches Koordinatensystem“ reflektieren und relativieren angesichts der Erfahrung, dass Mikro-Objekte keine starren Körper sind? Es gibt in der Welt menschlicher Größenordnungen das Pariser Ur-Meter. Aber es gibt in der Mikrophysik keine Objekte, mit deren Hilfe sich ein x-Maß bzw. λ-Maß definieren lässt.

Einstein reflektierte die Relativität physikalischer Koordinatensysteme. Aber reflektierte die Theoretische Physik bisher den Hintergrund und die Grundlagen physikalischer Koordinatensysteme; und Verallgemeinerungen dieser klassischen Begriffsbildungen?

Misst die Astrophysik primär keine Längen (Entfernungen) sondern allein Winkel? Sollte eine Astro- und Mikrophysik ihre theoretischen Systeme aufbauen auf einer Grundstruktur, in der primär nur ein Winkelmaß, kein x- und λ-Maß benutzt wird? Hat bisherige Natürliche Geometrie und Theoretische Physik hinreichend berücksichtigt, dass die exakten Wissenschaften zwar ein absolutes Winkelmaß 2π aber kein absolutes x- und λ-Maß besitzen?

Der Triangel der Natürlichen Geometrie als physikalisches Quant

[Inhaltskizzen dieser beiden Abschnitte bleiben hier zunächst ausgespart. Beide Abschnitte sind unter Beachtung didaktischer Gesichtspunkte auszuformulieren anhand der die „Natural Geometry“ begründenden Originalarbeiten. Man vergleiche hierzu die Publikationen in http://www.natural-geometry.de]

Der Doppelspaltversuch bei Photonen und Elektronen

Der Doppelspaltversuch und seine Ergebnisse gesehen mit den Augen eines Natürlichen Geometers:

Ein Mikroteilchen ist ein konformer Triangel. Dieser hat eine wohl bestimmte, durch drei Winkel definierte Gestalt. Er wird gebildet durch vier Punkt-Kreise. Seine Euklidische Größe und sein Ort, bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem, sind von Hause aus nicht definiert. „In der Grenze“ ist ein „natürliches Triangel“ sowohl ein Euklidischer Punkt als auch eine Euklidische Ebene.

Aber Euklidische Begriffe wie „Punkt“ und „Ebene“ sind im Rahmen der Natürlichen Geometrie nur als Grenzbegriffe existent. Das Begriffspaar „bewegtes punktförmiges Teilchen“ und „non-lokale (ebene) Wellenfront“ bildet im Rahmen der Natürlichen Geometrie keinen Gegensatz mehr.

Quanten, Zahlen und Quarks

Die drei Winkel eines Triangel-Quants „fühlen sich an“ wie die drei Quarks eines Mikroelementes. Mysteriöser Weise (?) kann man Quarks nicht als (selbständige, „unabhängige“, singuläre) Elementarteilchen beobachten, obwohl sie Teile (Bausteine) von Elementarteilchen sind. „But angles obviously – not mysteriously – cannot be seen independently (of figures); they can only be seen as parts (constituents) of (conformal circle) figures”. Ein physikalischer Quant, gesehen als Element der Natürlichen Geometrie, ist strukturell eine komplexe Zahl, genauer eine Quaternion, die, wenn sie nicht-reell ist, als ein zentrierter und orientierter Triangel im natürlichen dreidimensionalen Raum unserer Erfahrung vorzustellen ist.

Will man Quanten und ihre Bewegung auch aufnehmen mit den Mitteln einer reinen, geometrischen Anschauung, wird man prinzipiell und primär einen Euklidischen Vektor substituieren müssen durch einen zentrierten und orientierten Triangel der Natürlichen Geometrie.

Im Wesentlichen besteht ein Licht- oder Elektronenstrahl aus Quanten = Triangeln = Zahlen, deren Bewegung sich gemäß der Schrödinger-Gleichungen durch eine nicht-reelle ψ-Funktion beschreiben lässt: Bewegte Quanten sind ψ-Funktionen. Eine längenmetrische Koordinatendarstellung der Quanten und ihrer Bewegung ist – nicht generell, aber – in speziellen Situationen möglich und sinnvoll. Prinzipiell bleibt zu unterscheiden die Koordinatendarstellung auf konformem, winkel-metrischen oder auf Euklidischem, längen-metrischen Level.

Kollaps der Wellenfunktion

Bisherige Interpretationen des quantenmechanischen Kalküls kranken an einem nicht befriedigenden Verständnis des „Kollaps“ einer Wellenfunktion. Dieser entsteht im Rahmen der elementaren quantengeometrischen Interpretation dadurch, dass jede Ortsbestimmung nur Sinn hat in Bezug auf ein Koordinatensystem, dessen Achsen über eine Längeneinheit verfügen. Das heißt, eine (nur im Makrophysikalischen angesiedelte) Ortsbestimmung verlässt den nur durch Winkelgrößen bestimmten Natürlichen Raum der Konformen Geometrie und bezieht den klassischen Euklidischen Standpunkt. Drei der vier Punkte (genauer: Punkt-Kreise) (a, b, c, d) eines Quants werden so durch den im Makrophysikalischen angesiedelten Experimentalphysiker identifiziert mit den Punkten 0, 1, ∞ seines Kartesischen Systems. Der Triangel-Quant erscheint punktuell, als (vierter) Punkt z in diesem Koordinatensystem. Das Licht-/Elektronen-Quant ist so (und nur so) lokalisiert im Partikel-Punkt z.

Die Mikrophysik offenbart eine Komplementarität von Lokalisier-Fähigkeit und Interferenz-Fähigkeit physikalischer Bewegungen. Diese Komplementarität ist nicht der Natur inhärent. Sie wird impliziert durch das methodische Vorgehen (das Ziel) des Experimentalphysikers, eine natürliche Bewegung durch längenmetrische Begriffe physikalisch zu erfassen. Die Ortsbestimmung des Längen messenden Experimentalphysikers kappt den Fluss der komplexen Bewegung. Die komplexe Wellenfunktion kollabiert.

Eine physikalische Betrachtung und Strukturierung der Natur, die sich nur winkel-, nicht längenmetrischer Begriffe bedient, ist vor („jenseits“) der Betrachtungsebene angesiedelt, in der sich komplementäre, anscheinend widersprüchliche Phänomene zeigen.