Einführung in die Tensorrechnung: Vorbemerkungen und Grundbegriffe

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Einleitung

Gegenstand dieser Abhandlung sind zunächst die Tensoren 2. Stufe (auch Tensoren vom Rang 2 genannt). (Anmerkung: Skalare sind Tensoren 0. Stufe, Vektoren sind Tensoren 1. Stufe.)

Tensoren 2. Stufe sind mathematische Operatoren, die bei Anwendung auf einen Vektor einen anderen Vektor erzeugen, der bestimmte Eigenschaften hat. (Beispiele folgen später.)

Nach Festlegung (Definition, Vereinbarung) eines Koordinatensystems – künftig kurz Basis oder Basissystem genannt – lässt sich jeder Tensor durch eine »Matrix« beschreiben, d. h. durch eine bestimmte Anzahl von Zahlen in einer bestimmten Anordnung. Für einen Skalar (Tensor 0. Stufe) besteht diese Matrix nur aus dem Skalar selbst. Bei einem (dreidimensionalen) Vektor v (Tensor 1. Stufe) besteht die Matrix aus den drei Komponenten v₁, v₂, v₃, die der Vektor bezüglich der benutzten Basis hat:

${\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}$

Dies ist eine einzeilige Matrix oder kurz: eine Zeilenmatrix. Möglich ist aber auch die Beschreibung des Vektors durch eine einspaltige Matrix (kurz: Spaltenmatrix):

${\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}$

Man beachte, dass diese Matrizen lediglich vereinfachte Beschreibungen des entsprechenden Vektors sind, dass sie aber nicht mit dem Vektor identisch sind. Dies ist wichtig, weil ein und derselbe Vektor in verschiedenen Basen durch ganz verschiedene Matrizen dargestellt wird, während der Tensor selbst von der benutzten Basis unabhängig ist (er ist » invariant gegenüber Basiswechsel «).

Ein Tensor 2. Stufe lässt sich bezüglich einer Basis durch eine Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten darstellen, durch eine so genannte 3 x 3 Matrix:

${\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}&t_{13}\\t_{21}&t_{22}&t_{23}\\t_{31}&t_{32}&t_{33}\end{pmatrix}}$

Auch hier gilt: Eine solche Matrix ist nur eine von beliebig vielen Darstellungsformen des Tensors.

Da Tensoren 2. Stufe bei Berechnungen immer zusammen mit einem Vektor auftreten und die Berechnungen immer mit Matrizen ausgeführt werden, sollen zunächst die dafür benötigten Begriffe und Gesetze der Matrizenrechnung erklärt werden.

 

Grundbegriffe: Matrizen und Matrizendarstellung von Vektoren

Eine Matrix vom Typ (m, n) ist ein rechteckiges Schema von m · n Größen, die in m Zeilen (waagerechten Reihen) und n Spalten (senkrechten Reihen) angeordnet sind. Diese Größen heißen Elemente der Matrix. Das Element a_ik (auch A_ik) der Matrix A steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Die Elemente können reelle oder komplexe Zahlen sein, aber auch andere mathematische Objekte, wie Vektoren, Polynome, Differentiale und andere.

Eine Matrix A vom Typ (m, n) kann so dargestellt werden:

(1.1)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {A}}_{(m,n)}={\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots &{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots &{a_{2n}}\\\vdots &{}&{}&{}\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots &{a_{mn}}\end{pmatrix}}=\left({a_{ik}}\right)_{(m,n)}\\\\i=1,2,\ldots ,m\quad k=1,2,\ldots ,n\end{matrix}}$

Dabei kann der Index (m, n) bei A und (a_ik) auch weggelassen werden, wenn der Typ der Matrix entweder offensichtlich oder unwichtig ist.

Die in der Einleitung vorgestellten Beschreibungen eines Vektors durch eine Matrix setzen die Vereinbarung einer Basis voraus, der die Komponenten des Vektors (also die Elemente der Matrix) zugeordnet sind. Diese Basis besteht bis auf weiteres immer aus drei aufeinander senkrechten Einheitsvektoren e₁, e₂, e₃. (Eine andere gängige Bezeichnung für diese »Basisvektoren« ist i, j, k.)

Die Darstellung eines (physikalischen) Vektors v mit den (skalaren) Komponenten v₁, v₂, v₃ in der Komponentendarstellung zur Basis {e₁, e₂, e₃} = {e_i} lautet dann

(1.2)

${\boldsymbol {v}}=v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+v_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}.$

Eine identische Darstellung dieses Vektors mittels zweier Matrizen (»Matrizendarstellung«) ist dann (unter Benutzung der später erklärten Gesetze der Matrizenmultiplikation) so möglich:

(1.3)

${\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}\equiv v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+v_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\,.$

Die Matrizendarstellung eines Vektors ist also das Produkt der Zeilenmatrix seiner Komponenten und der Spaltenmatrix aus den Einheitsvektoren der benutzten Basis.

Zur Beschreibung dieser Basisvektoren kann man nicht auf eine andere Basis zurückgreifen, weil man dann vor der Aufgabe stünde, die Basisvektoren dieser neuen Basis zu beschreiben, was zu einer unendlichen Regression führen würde. Daher muss man die Lage der Basisvektoren bezüglich des jeweiligen Beobachters angeben. Dies kann z. B. durch die Vereinbarung geschehen, dass der Vektor e₁ in der Zeichenebene des Beobachters liegt und nach rechts zeigt, der Vektor e₂ ebenfalls in der Zeichenebene liegt und nach oben zeigt. Damit ist auch die Lage des Vektors e₃ festgelegt, da er mit den ersten beiden Vektoren ein Rechtssystem bilden muss. Wir nehmen im Folgenden immer an, dass eine derartige Vereinbarung getroffen wurde.

Aus dem so genannten Zeilenvektor der Mathematik (in Wahrheit eine »Zeilenmatrix«) wird also erst durch Multiplikation mit der »Spaltenmatrix« mit den Elementen e_i (i = 1, 2, 3) ein physikalischer Vektor.

Da die Komponentenmatrix eines Vektors nur für eine bestimmte Basis gilt, wird im Folgenden diese Basis immer als definiert vorausgesetzt.

Wir vereinbaren nun:

1. Die künftig als »Vektoren« bezeichneten Größen sind stets physikalische Vektoren, also gerichtete physikalische Größen.

2. Die Matrix der Komponenten eines Vektors v wird stets als Spaltenmatrix geschrieben und mit (v) = (v_i) bezeichnet.

3. Wenn aus zwingenden Gründen (z. B. bei der Multiplikation von Matrizen) die Komponentenmatrix eines Vektors als Zeilenmatrix geschrieben werden muss, benutzen wir dafür die Bezeichnung

(v)^T = (v_i)^T.

(v)^T = (v_i)^T heißt die transponierte Matrix der ursprünglichen Matrix (v) = (v_i).

Aus

$\left({\boldsymbol {v}}\right)={\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}$   folgt also   $\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}$   und umgekehrt.

Damit folgt aus Gleichung 1.3:

(1.4)

${\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}$

Beachte: Der Vektor v bleibt unbeeinflusst davon, ob er als Zeilenmatrix oder als Spaltenmatrix dargestellt wird, aber natürlich sind die beiden Matrizen nicht gleich: Nach der Definition der Gleichheit (siehe unten) können nur Matrizen vom selben Typ (m, n) gleich sein. Es ist nützlich, stets deutlich zwischen einem Vektor und seiner Matrix (seiner Matrizendarstellung) zu unterscheiden: Eine Matrix ist kein Vektor, und ein Vektor ist keine Matrix. Ein Vektor ist unabhängig vom benutzten Koordinatensystem (Basis); seine Matrix ist nur eine von mehreren Darstellungsformen des Vektors, und sie ist (genauer: ihre Elemente sind) von der benutzten Basis abhängig.

 

Definitionen

Gleichheit zweier Matrizen: Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie vom selben Typ (m, n) sind und alle einander entsprechenden Elemente der Matrizen gleich sind:

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {B}}\quad {\mbox{wenn}}\quad a_{ik}=b_{ik}\quad \forall \,i,k$

Summe (Differenz) zweier Matrizen: Voraussetzung: Beide Matrizen müssen vom gleichen Typ (m, n) sein. Einander entsprechende Elemente der beiden Matrizen werden addiert bzw. subtrahiert.

${\boldsymbol {A}}\pm {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {C}},\quad {\mbox{wobei}}\quad c_{ik}=a_{ik}\pm b_{ik}\,.$

Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar: Alle Elemente der Matrix werden mit dem Skalar k multipliziert.

$k{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {B}},\quad b_{ik}=ka_{ik}.$

Transponierte Matrix: Die transponierte Matrix A^T entsteht durch Vertauschung der Zeilen und Spalten.

$\left(a_{ik}\right)^{\mathsf {T}}=\left(a_{ki}\right)\quad {\mbox{und}}\quad a_{ik}^{\mathsf {T}}=a_{ki}.$

Daraus folgt:

$\left({{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}\right)^{\mathsf {T}}={\boldsymbol {A}}\,,\quad \left({{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}}\right)^{\mathsf {T}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}+{\boldsymbol {B}}^{\mathsf {T}}\,.$

Insbesondere ist

${\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}\,.$

und

${\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}\,.$

Eine quadratische Matrix hat ebenso viele Zeilen wie Spalten: m = n.

Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A^T = A ist. Dann ist

$a_{ik}=a_{ki}\quad \forall \,i,k$

Eine quadratische Matrix heißt schiefsymmetrisch oder antisymmetrisch, wenn A^T = - A ist. Dann ist

$a_{ik}=-a_{ki}\,.$

Daraus folgt, dass alle Elemente a_ii auf der »Hauptdiagonalen« der Matrix (das ist die von links oben nach rechts unten verlaufende Diagonale) gleich null sind.

 

Rechengesetze

Produkte zweier Matrizen und Vektor-Matrix-Produkte

Die Multiplikation zweier Matrizen A und B setzt voraus, dass die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. (Diese »Verkettbarkeitsbedingung« ergibt sich aus der folgenden Vorschrift zur Berechnung der Produktmatrix.) Das Produkt AB zweier Matrizen ist wieder eine Matrix.

Rechenvorschrift: Das Element c_ik ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der k-ten Spalte von B. (Über Skalarprodukte zweier Vektoren siehe unten.) Bei der Berechnung des Skalarprodukts werden die Zeilen und Spalten wie (physikalische) Vektoren behandelt, das heißt, die Elemente der Zeilen und Spalten denke man sich zunächst mit den entsprechenden Einheitsvektoren multipliziert, dann wird die eigentliche Multiplikation vorgenommen. Dabei gelten die einschlägigen Gesetze der Vektoralgebra:

e₁·e₁ = e₂·e₂ = e₃·e₃ = 1,     e₁·e₂ = e₂·e₃ = e₃·e₁ = 0.

Wir begnügen uns hier mit dem Beispiel zweier 3x3-Matrizen: Es seien

${\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{pmatrix}}\,,\quad {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}{b_{11}}&{b_{12}}&{b_{13}}\\{b_{21}}&{b_{22}}&{b_{23}}\\{b_{31}}&{b_{32}}&{b_{33}}\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {C}}={\begin{pmatrix}{c_{11}}&{c_{12}}&{c_{13}}\\{c_{21}}&{c_{22}}&{c_{23}}\\{c_{31}}&{c_{32}}&{c_{33}}\end{pmatrix}}\,,$

wobei

${\begin{matrix}c_{11}=\left({a_{11}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{12}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{13}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\cdot \left({b_{11}{\boldsymbol {e}}_{1}+b_{21}{\boldsymbol {e}}_{2}+b_{31}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\\\\=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}\\\quad \,\\=\sum _{i=1}^{3}{a_{1i}b_{i1}}\,,\end{matrix}}$

${\begin{matrix}c_{12}=\left({a_{11}{\boldsymbol {e}}_{1}+a_{12}{\boldsymbol {e}}_{2}+a_{13}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\cdot \left({b_{12}{\boldsymbol {e}}_{1}+b_{22}{\boldsymbol {e}}_{2}+b_{32}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\\\\=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\\\\quad =\sum _{i=1}^{3}{a_{1i}b_{i2}}\,,\\\\c_{13}=\sum _{i=1}^{3}{a_{1i}b_{i3}\quad {\mbox{und allgemein:}}\quad c_{pq}=\sum _{i=1}^{3}{a_{pi}b_{iq}}}\,.\end{matrix}}$

Also ist für zwei 3x3-Matrizen

(1.5)

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}{a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}}&{a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}}&{a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}}\\{a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}}&{a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}}&{a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}}\\{a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31}}&{a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32}}&{a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}+a_{33}b_{33}}\end{pmatrix}}\,.$

 

Spezialfälle: Produkte zweier einreihiger Matrizen

Mit Rücksicht auf die Verkettbarkeit gibt es genau zwei Möglichkeiten:

(1.6)

${\begin{pmatrix}{a_{11}}\\{a_{21}}\\{a_{31}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{b_{11}}&{b_{12}}&{b_{13}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{11}b_{11}}&{a_{11}b_{12}}&{a_{11}b_{13}}\\{a_{21}b_{11}}&{a_{21}b_{12}}&{a_{21}b_{13}}\\{a_{31}b_{11}}&{a_{31}b_{12}}&{a_{31}b_{13}}\end{pmatrix}}$

Das Produkt ist eine 3 x 3-Matrix. Sie begegnet uns wieder beim dyadischen Produkt zweier Vektoren.

(1.7)

${\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{b_{11}}\\{b_{21}}\\{b_{31}}\end{pmatrix}}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}$

Das Ergebnis ist die Summe dreier reeller Zahlen, also ebenfalls eine reelle Zahl, die man auch als 1x1-Matrix interpretieren kann. Dieser Fall begegnet uns wieder beim Skalarprodukt zweier Vektoren.

 

Produkte einer einreihigen Matrix (sowie eines Vektors) mit einer 3x3-Matrix

Je nach der Stellung der einreihigen Matrix B (bzw. des Vektors) zur 3x3-Matrix A sind zwei Fälle zu unterscheiden, das »Vorprodukt« und das »Nachprodukt«.

1. Das Vorprodukt

Das Vorprodukt BA kann wegen der Verkettbarkeitsbedingung nur gebildet werden, wenn B eine Zeilenmatrix ist. Daher vereinbaren wir:

(1.8)

${\boldsymbol {BA}}={\begin{pmatrix}{b_{1}}&{b_{2}}&{b_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{pmatrix}}.$

Nach den Regeln der Matrizenmultiplikation ist das Ergebnis ebenfalls eine Zeilenmatrix:

(1.9)

${\boldsymbol {BA}}={\begin{pmatrix}{b_{1}a_{11}+b_{2}a_{21}+b_{3}a_{31}}&{b_{1}a_{12}+b_{2}a_{22}+b_{3}a_{32}}&{b_{1}a_{13}+b_{2}a_{23}+b_{3}a_{33}}\end{pmatrix}}.$

 

Nun können wir eine neue Rechenoperation für Vektoren definieren, nämlich das Vorprodukt der Matrix eines Vektors mit einer 3 x 3 Matrix, indem wir in den Gleichungen 1.8 und 1.9 die Matrix B durch die Matrix (v) eines Vektor v ersetzen. Dabei müssen wir wegen der Verkettbarkeitsbedingung die transponierte Matrix (v)^T benutzen. Dann gilt für das Vorprodukt (v)^T A

(1.10)

$\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{pmatrix}}.$

Analog zu Gleichungen 1.8 und 1.9 ist

(1.11)

$\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}{v_{1}a_{11}+v_{2}a_{21}+v_{3}a_{31}}&{v_{1}a_{12}+v_{2}a_{22}+v_{3}a_{32}}&{v_{1}a_{13}+v_{2}a_{23}+v_{3}a_{33}}\end{pmatrix}}$

Wir vereinbaren nun, dass die Matrix auf der rechten Seite der Gleichung 1.11 als die transponierte Matrix (w)^T eines Vektors w interpretiert werden soll:

$\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}{v_{1}a_{11}+v_{2}a_{21}+v_{3}a_{31}}&{v_{1}a_{12}+v_{2}a_{22}+v_{3}a_{32}}&{v_{1}a_{13}+v_{2}a_{23}+v_{3}a_{33}}\end{pmatrix}}=:\left({\boldsymbol {w}}\right)^{\mathsf {T}}.$

Für den Vektor w selbst gilt nach Gleichung 1.4:

${\boldsymbol {w}}=\left({\boldsymbol {w}}\right)^{\mathsf {T}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left[\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}\right]{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}$

Also Folge dieser Vereinbarung gilt künftig:

Das Vorprodukt ( v )^T A aus der transponierten Matrix eines Vektors v und einer 3 x 3 Matrix A ist die transponierte Matrix ( w )^T eines Vektors w mit folgender Eigenschaft:

(1.12)

${\boldsymbol {w}}=\left({\boldsymbol {w}}\right)^{\mathsf {T}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left[\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}\right]{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}$

oder

(1.13)

${\boldsymbol {w}}=\left(v_{1}a_{11}+v_{2}a_{21}+v_{3}a_{31}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left(v_{1}a_{12}+v_{2}a_{22}+v_{3}a_{32}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left(v_{1}a_{13}+v_{2}a_{23}+v_{3}a_{33}\right){\boldsymbol {e}}_{3}$

Anmerkung: Die eckigen Klammern dienen hier und im Folgenden dazu, die Reihenfolge der Multiplikationen zu verdeutlichen. (Runde Klammern werden zur Kennzeichnung von Matrizen benutzt.)

 

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Übung 1.1

Beweisen Sie, dass (v)^T E = (v)^T, wobei

${\boldsymbol {E}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

die 3 x 3 Einheitsmatrix und v ein Vektor ist.

Übung 1.2

Beweisen Sie das Distributivgesetz für das Vorprodukt:

$\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}\left[{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}\right]=\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}+\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {B}}$

wobei A und B  3 x 3-Matrizen sind und v ein Vektor ist.

Übung 1.3

Beweisen Sie:

$\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}\left[{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {A}}\right]=\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}+\left({\boldsymbol {v}}\right)^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}.$

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2. Das Nachprodukt

Hier muss wegen der Verkettbarkeitsbedingung die Matrix B als Spaltenmatrix geschrieben werden:

(1.14)

${\boldsymbol {AB}}={\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{b_{1}}\\{b_{2}}\\{b_{3}}\end{pmatrix}}\,.$

Das Ergebnis ist nach den Regeln der Matrizenmultiplikation eine Spaltenmatrix:

(1.15)

${\boldsymbol {AB}}={\begin{pmatrix}{a_{11}b_{1}+a_{12}b_{2}+a_{13}b_{3}}\\{a_{21}b_{1}+a_{22}b_{2}+a_{23}b_{3}}\\{a_{31}b_{1}+a_{32}b_{2}+a_{33}b_{3}}\end{pmatrix}}\,.$

 

Nun können wir auch das Nachprodukt der Matrix eines Vektors mit einer 3 x 3 Matrix definieren, indem wir in Gleichung 1.14 die Matrix B durch die Matrix eines Vektors v ersetzen und vereinbaren, dass die Spaltenmatrix auf der rechten Seite der Gleichung 1.16 die Matrix (w) eines Vektors w sein soll.

(1.16)

${\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {v}}\right)={\begin{pmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\{a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}+a_{13}v_{3}}\\{a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2}+a_{23}v_{3}}\\{a_{31}v_{1}+a_{32}v_{2}+a_{33}v_{3}}\end{pmatrix}}=\left({\boldsymbol {w}}\right).$

Für den Vektor w gilt daher

(1.17)

${\boldsymbol {w}}=\left({a_{11}v_{1}+a_{12}v_{2}+a_{13}v_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({a_{21}v_{1}+a_{22}v_{2}+a_{23}v_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({a_{31}v_{1}+a_{32}v_{2}+a_{33}v_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}.$

 

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Übung 1.4

Beweisen Sie: E(v) = (v), wobei E die 3 x 3 Einheitsmatrix und v ein Vektor ist

Übung 1.5

Beweisen Sie das Distributivgesetz für das Nachprodukt:

$\left[{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}}\right]\left({\boldsymbol {v}}\right)={\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {v}}\right)+{\boldsymbol {B}}\left({\boldsymbol {v}}\right)$

wobei A und B 3 x 3 Matrizen sind und v ein Vektor ist.

Übung 1.6

Beweisen Sie:

$\left[{{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {A}}}\right]\left({\boldsymbol {v}}\right)=\left({\boldsymbol {v}}\right)+{\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {v}}\right),$

wobei v ein Vektor, A eine 3 x 3 Matrix und E die 3 x 3-Einheitsmatrix ist.

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Produkte von Vektoren

Es gibt drei Arten von Produkten von je zwei Vektoren:

• das Skalarprodukt,

• das Vektorprodukt und

• das dyadische Produkt.

Das Vektorprodukt wird hier nicht benötigt.

1. Das Skalarprodukt

In der Vektoralgebra wird das Skalarprodukt v·w zweier Vektoren im Hinblick auf physikalische Belange basisunabhängig so definiert:

(1.19)

${\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}=v\,w\,\cos \varphi \,,$

wobei v und w die Beträge der beiden Vektoren sind und φ der von ihnen eingeschlossene Winkel ist.

Beschreibt man die Vektoren durch ihre Komponenten bezüglich einer kartesischen Basis {e₁, e₂, e₃}, dann erhält man für ihr Skalarprodukt formal die Gleichung

(1.20)

${\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}=\left({v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+v_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\left({w_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+w_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+w_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right).$

In der Vektoralgebra wird gezeigt, dass Skalarprodukte distributiv sind und man daher die Klammern nach den Regeln der Algebra ausmultiplizieren darf. Berücksichtigt man dabei, dass

${\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{3}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}=0\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{3}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}=1$

ist (was sich aus der Definitionsgleichung (1.19) für φ = 90° bzw. 0° ergibt), so erhält man

(1.21)

${\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.$

Die rechte Seite der Gleichung (1.21) ist identisch mit dem Produkt der Zeilenmatrix (v_i)^T und der Spaltenmatrix (w_i):

(1.22)

$\left({v_{i}}\right)^{T}\left({w_{i}}\right)={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{w_{1}}\\{w_{2}}\\{w_{3}}\end{pmatrix}}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\,.$

sodass also gilt

(1.23)

${\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}=v\,w\,\cos \varphi =\left({v_{i}}\right)^{T}\left({w_{i}}\right)$

 

2. Das dyadische Produkt

Das dyadische Produkt zweier Vektoren v und w (kurz auch: Dyade) wird geschrieben

${\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}$

und gelesen: v mal im Kreis w.

Ebenso wie die beiden Vektoren ist auch ihr dyadisches Produkt vom benutzten Basissystem unabhängig. Bei der Definition des dyadischen Produkts wird die Komponentendarstellung der Vektoren bezüglich einer bestimmten Basis benutzt, und daher ist auch das Ergebnis zunächst eine basisabhängige Größe, und zwar eine Matrix. (Leider gibt es – anders als bei den vektoralgebraischen Definitionen des Skalar- und des Vektorprodukts - keine anschauliche und basisunabhängige Definition des dyadischen Produkts, die nur auf den Eigenschaften der beiden Vektoren basiert.)

Definition: Haben v und w in einem bestimmten Basissystem die Komponenten (v₁, v₂,v₃) und (w₁, w₂,w₃), ist also

${\boldsymbol {v}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left({v_{i}}\right)^{T}\left({{\boldsymbol {e}}_{i}}\right)\,,\quad {\boldsymbol {w}}={\begin{pmatrix}{w_{1}}&{w_{2}}&{w_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left({w_{i}}\right)^{T}\left({{\boldsymbol {e}}_{i}}\right)\,,$

dann ist das dyadische Produkt ${{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}$ der beiden Vektoren im benutzten Basissystem

(1.24)

${{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}={\begin{pmatrix}{v_{1}}\\{v_{2}}\\{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{w_{1}}&{w_{2}}&{w_{3}}\end{pmatrix}}=\left({v_{i}}\right)\left({w_{i}}\right)^{T}.$

Durch Ausmultiplizieren erhält man nach Gleichung (1.6)

(1.25)

${{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}={\begin{pmatrix}{v_{1}w_{1}}&{v_{1}w_{2}}&{v_{1}w_{3}}\\{v_{2}w_{1}}&{v_{2}w_{2}}&{v_{2}w_{3}}\\{v_{3}w_{1}}&{v_{3}w_{2}}&{v_{3}w_{3}}\end{pmatrix}}\,.$

Diese 3 x 3 Matrix stellt – wie noch gezeigt werden wird – einen Tensor vom Rang 2 dar.

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Übungen:

1.7 Welche Beziehungen müssen zwischen den Elementen einer 3 x 3 Matrix bestehen, damit diese ein dyadisches Produkt darstellen kann? Hinweis: Man setze a_ik = u_iv_k und untersuche die Konsequenzen.

1.8 Können aus den Elementen einer Tensormatrix eindeutig die Vektoren u und v bestimmt werden, deren dyadisches Produkt der Tensor ist? Wenn nein, warum nicht, und wie viel Vektorkomponenten können willkürlich gewählt werden?

1.9 Welche Beziehung besteht zwischen den auf der Hauptdiagonalen der Tensormatrix stehenden so genannten »Tensorkomponenten 1. Art« u₁ v₁, u₂ v₂, u₃ v₃ einerseits und dem Skalarprodukt u · v andererseits?

1.10 Welche Beziehungen bestehen zwischen den übrigen 6 Tensorkomponenten (sie heißen »Tensorkomponenten 2. Art«) und den Komponenten des Vektorprodukts u x v?

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Rechengesetze für Dyaden

Die einschlägigen Rechengesetze für 3x3-Matrizen lassen sich unmittelbar auf Dyaden übertragen.

1. Multiplikation einer Dyade mit einem Skalar

Matrizen werden mit einem Skalar multipliziert, indem alle ihre Elemente v_i w_k mit diesem Skalar multipliziert werden. Dabei ist die Reihenfolge der Faktoren beliebig. Also ist

(1.26)

$k\left[{{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}\right]=\left[{k{\boldsymbol {v}}}\right]\otimes {\boldsymbol {w}}={\boldsymbol {v}}\otimes \left[{k{\boldsymbol {w}}}\right]=\left[{{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}\right]k\,.$

Anmerkung: Die eckigen Klammern dienen hier und im Folgenden dazu, die Reihenfolge der Multiplikationen festzulegen.

 

2. Produkte eines Vektors mit einer Dyade

Auch hier müssen wir zwischen Vorprodukt und Nachprodukt unterscheiden.

2.1. Das Vorprodukt

Unter dem Vorprodukt des Vektors u mit der Dyade ${\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}$ verstehen wir das Produkt

${\boldsymbol {u}}\left[{{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}\right]\,.$

Wir gehen aus von Gleichung (1.10) und ersetzen darin v durch u und A durch die Dyade. In der Komponentendarstellung ist dann (v_i) durch (u_i) und (a_ik durch (v_iw_k) zu ersetzen.

Die Matrizendarstellung des Vorprodukts ist dann

(1.27)

${\boldsymbol {u}}\left[{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\right]=\left({u_{i}}\right)^{T}\left[{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\right]={\begin{pmatrix}{u_{1}}&{u_{2}}&{u_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{v_{1}w_{1}}&{v_{1}w_{2}}&{v_{1}w_{3}}\\{v_{2}w_{1}}&{v_{2}w_{2}}&{v_{2}w_{3}}\\{v_{3}w_{1}}&{v_{3}w_{2}}&{v_{3}w_{3}}\end{pmatrix}}.$

Das Ergebnis ist analog zu Gleichung (1.10) ein Vektor t (statt w), für den gilt:

(1.28)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {t}}=\left({t_{i}}\right)^{T}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}}=\left({u_{1}v_{1}w_{1}+u_{2}v_{2}w_{1}+u_{3}v_{3}w_{1}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\\+\left({u_{1}v_{1}w_{2}+u_{2}v_{2}w_{2}+u_{3}v_{3}w_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({u_{1}v_{1}w_{3}+u_{2}v_{2}w_{3}+u_{3}v_{3}w_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}\,.\end{matrix}}$

Dafür kann man mit Hilfe von Skalarprodukten schreiben

(1.29)

${\boldsymbol {t}}=\left[{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right]w_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\left[{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right]w_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+\left[{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right]w_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}=\left[{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}\right]{\begin{pmatrix}{w_{1}}&{w_{2}}&{w_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}\\{\boldsymbol {e}}_{2}\\{\boldsymbol {e}}_{3}\end{pmatrix}},$

und schließlich

${\boldsymbol {t}}=\left[{{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}}\right]{\boldsymbol {w}}=k\,{\boldsymbol {w}},$

da das Skalarprodukt u·v eine reelle Zahl k ist.

Also ist

(1.30)

${\boldsymbol {u}}\left[{{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}\right]=k\,{\boldsymbol {w}}\,.$

Das Vorprodukt eines Vektors und einer Dyade ist also ein Vektor vom k-fachen Betrag des zweiten Vektors der Dyade, wobei k gleich dem Skalarprodukt aus dem »Vorvektor« und dem ersten Vektor der Dyade ist.

 

2.2 Das Nachprodukt

Unter dem Nachprodukt eines Vektors mit einer Dyade verstehen wir das Produkt

$\left[{{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}\right]{\boldsymbol {u}}\,.$

Die Matrizendarstellung dieses Produkts ist

(1.31)

$\left[{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}\right]{\boldsymbol {u}}={\begin{pmatrix}{v_{1}w_{1}}&{v_{1}w_{2}}&{v_{1}w_{3}}\\{v_{2}w_{1}}&{v_{2}w_{2}}&{v_{2}w_{3}}\\{v_{3}w_{1}}&{v_{3}w_{2}}&{v_{3}w_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{u_{1}}\\{u_{2}}\\{u_{3}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{v_{1}w_{1}u_{1}+v_{1}w_{2}u_{2}+v_{1}w_{3}u_{3}}\\{v_{2}w_{1}u_{1}+v_{2}w_{2}u_{2}+v_{2}w_{3}u_{3}}\\{v_{3}w_{1}u_{1}+v_{3}w_{2}u_{2}+v_{3}w_{3}u_{3}}\end{pmatrix}}.$

Das Ergebnis ist analog zu Gleichung (1.18) ein Vektor t, für den gilt

(1.32)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {t}}=\left({v_{1}w_{1}u_{1}+v_{1}w_{2}u_{2}+v_{1}w_{3}u_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\\\left({v_{2}w_{1}u_{1}+v_{2}w_{2}u_{2}+v_{2}w_{3}u_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({v_{3}w_{1}u_{1}+v_{3}w_{2}u_{2}+v_{3}w_{3}u_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}.\\\end{matrix}}$

und nach Ausklammern von v_i

(1.33)

${\boldsymbol {t}}=\left[{{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}}}\right]v_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+\left[{{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}}}\right]v_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+\left[{{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}}}\right]v_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}=\left[{{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}}}\right]{\begin{pmatrix}{v_{1}}&{v_{2}}&{v_{3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}\\{{\boldsymbol {e}}_{2}}\\{{\boldsymbol {e}}_{3}}\end{pmatrix}},$

und schließlich

(1.34)

${\boldsymbol {t}}=\left[{{\boldsymbol {w}}\cdot {\boldsymbol {u}}}\right]{\boldsymbol {v}}=k{\boldsymbol {v}}.$

Also ist

(1.35)

$\left[{{\boldsymbol {v}}\otimes {\boldsymbol {w}}}\right]{\boldsymbol {u}}=k{\boldsymbol {v}}.$

Das Nachprodukt ist also ein Vektor vom k-fachen Betrag des ersten Vektors der Dyade, wobei k das Skalarprodukt des zweiten Vektors der Dyade und des »Nachvektors« ist.

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