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Einführung in die Tensorrechnung: Lösungen A


Übung 1.1

Nach Gleichung (1.10) ist



Nach Gleichung (1.11) ist dann



also



Übung 1.2

Wir setzen


Dann ist nach Gleichung (1.10)




und wegen



Addiert man die Komponentendarstellungen von u und w, erhält man die gleichen Komponenten. Also ist




Übung 1.3

Es ist (siehe Übungen 1.1 und 1.2)



Übung 1.4

Es ist



und folglich Ev = v.


Übung 1.5

Wir setzen



und berechnen und vergleichen wie bei Übung 1.2 die Komponentenmatrizen (ui), (vi) und (ti).


Übung 1.6

Es ist wegen der Distributivität des Nachprodukts



Übungen 1.7 und 1.8

Setzt man


so ist





und



Aus diesen homogenen Gleichungen können nur die Quotienten



der Vektorkomponenten bestimmt werden, nicht aber diese selbst. Daraus folgt:

Genau eine Komponente der beiden Vektoren kann frei gewählt werden, die übrigen ergeben sich dann daraus. Das bedeutet, dass durch die Matrix die Richtungen der beiden Vektoren bestimmt sind, nicht aber deren Beträge. Ferner: Der Betrag von v ist bei gegebener Matrix dem Betrag von u umgekehrt proportional.

 


Übung 1.9

Die Summe der Komponenten in der Hauptdiagonalen ist gleich dem Skalarprodukt der Vektoren v und w:



Übung 1.10

Wegen



ist




Übung 2.1

1. Gradient: Der Operator »grad« kann definitionsgemäß nur auf skalare Größen angewendet werden, ist also kein Tensor.

2. Divergenz: Der Operator »div« wird zwar auf Vektoren angewendet, erzeugt aber einen Skalar. Also ist »div« kein Tensor.

3. Rotation: Der Operator »rot« wird auf Vektoren angewendet und erzeugt wieder einen Vektor (Bedingung (1)). Ferner gilt rot (u + v) = rot u + rot v (Bedingung (2)) und rot (a v) = a rot v (Bedingung (3)). Also ist »rot« ein Tensor vom Rang 2. Der Vektor w = rot v ist (als solcher) invariant gegen Koordinatentransformation. - Allerdings ist Folgendes zu beachten: Der Operator rot ist ein Differentialoperator. Seine Anwendung auf konstante Vektoren ergibt immer den Nullvektor, also ein triviales Ergebnis. Haben wir dagegen ein »Vektorfeld« vorliegen, in dem v = v(x, y, z), dann kann rot vo sein.

4. Laplace-Operator: Der Laplace-Operator

kann auf skalare und vektorielle Funktionen angewendet werden. Bei Anwendung auf einen konstanten Vektor werden schon die 1. Ableitungen zu null. Bei Anwendung auf einen Feldvektor v = v(x, y, z) kann ein von null verschiedener Vektor entstehen. Für die partiellen Ableitungen gilt:

Folglich kann Δ ein Tensor sein.


5. Nablaoperator: Bei Anwendung des Nablaoperators

auf einen konstanten Vektor v werden die Ableitungen zu null. Bei Anwendung auf einen Feldvektor entsteht ein Skalar, da die beim Multiplizieren entstehenden Produkte alle einen Faktor ei · ek enthalten, der entweder 0 oder 1 ist. Der Nablaoperator ist kein Tensor.


Übung 2.3

Es ist (Beispiel 2.1) Pv = (v · e)e und (Beispiel 2.2) Sv = v - 2(v · e)e, also ist



wobei E die 3 x 3 Einheitsmatrix ist.


Damit ergibt sich für die Matrix von S:




Wenn e mit dem Basisvektor e1 zusammenfällt, wird u2 = u3 = 0 und u1 u1 = u2. Damit wird




Übung 2.4

Für jedes Vektorprodukt gilt:

1. Es ist ein Vektor,

2. (a + b) x c = a x c + b x c

3. (na) x b = n(a x b).

Also ist S ein Tensor.


 

Übung 3.1

Das Ergebnis der Multiplikation ist



Wenn zwei Matrizen gleich sind, müssen ihre einander entsprechenden Elemente gleich sein. Also ist



Übung 4.3

1. Für eine lineare Funktion f gelten nach Gleichungen (4.3) und (4.4):



Ferner ist nach Gleichung (4.8) und Gleichung (4.1)



(Lies: F mal v1 ist gleich f von v1 und beachte den Unterschied!)

Mit u = v1 + v2 und f(u) = Fu gilt dann



2. Mit k v = w folgt aus



 

Übung 5.1

Da in der Gleichung keine linearen Glieder auftreten sollen, muss sein:


 

Übung 5.2

1. Die Gleichung eines Ellipsoids, dessen Hauoptachsen mit den Koordinatenachsen zusammenfallen, lautet


Rotationsellipsoid hat zwei gleiche Hauptachsen, also muss sein



woraus wegen



folgt



2. Wenn des Ellipsoid eine Kugel ist, sind alle drei Hauptachsen gleich, also



 


Übung 7.1 Da die Systeme denselben Ursprung haben, muss für x = y = z = 0 auch u = v = w = 0 sein. Die Transformationsgleichungen dürfen daher kein Konstantglied haben.

 

Übung 7.2 Der Ortsvektor eines Punktes P(x, y, z bzw. u, v, w) ist im XYZ-System

(Ü 7.2.1)


im UVW-System

(Ü 7.2.2)


Da x, y, z die senkrechten Projektionen von r auf die Koordinatenachsen sind und diese sich aus den entsprechenden Skalarprodukten ergeben, ist



und mit Gleichung (Ü 7.2.2)


(Ü 7.2.3)


Bezeichnen wir die Richtungskosinus von ei mit αi, dann wird aus Gleichung (Ü 7.2.3):


(Ü 7.2.4)


wobei ei der Betrag des Vektors ei ist.

Analog findet man

(Ü 7.2.5)


(Ü 7.2.6)


Es handelt sich also um drei lineare homogene Funktionen.

Aus den Gleichungen (7.2.4, 7.2.5 und 7.2.6) können mit den Methoden der Algebra (Einsetzungsmethode, Gleichsetzungsmethode, Additionsmethode) oder mit einem Rechenprogramm Gleichungen für u, v und w gewonnen werden.


Übung 7.3 Die partiellen Ableitungen ergeben sich aus den Gleichungen (7.1).


Übung 7.4 Der Vektors grad u weist in die Richtung der größten Steigung (des steilsten Anstiegs der skalaren Feldgröße u. Der Betrag von grad u ist gleich dem Maß dieser größten Steigung. Der Vektor grad u steht auf der positiven Seite der VW-Ebene senkrecht, weil nur in dieser Richtung die u-Werte zunehmen.


Übung 7.5

Anstieg von u.PNG