Einführung in die Systemtheorie/ Mathematische Modelle eines technischen dynamischen Systems

Mathematische Modelle eines technischen dynamischen Systems

Die Aufgabe eines mathematischen Modells eines realen dynamischen Prozesses dient dem Erkennen und der Vorhersage des Systemverhaltens bei messtechnisch erfassbaren System-Einflussgrößen. Dazu zählen z.B. durch rechnergesteuerte Simulation:

Systemverhalten bei kritischen Umgebungsbedingungen, bestimmten Testsignalen, Störsignalen,
Optimierung des Reglers bei geregelten Systemgrößen,
Zerstörungsfreie Systemprüfung im Anlagenbau, in der verfahrenstechnischen Industrie, in der Chemieindustrie bei Großsignalverhalten.

Dynamische Systeme mit konzentrierten Parametern als Eingrößen- und Mehrgrößensysteme können sich linear, nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und global-proportional, -integral und -differenzial verhalten. Systeme mit konzentrierten Parametern (Feder-Masse-System) haben im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Parametern (z. B. Wärmefluss im homogenen Medium) keine räumliche Ausdehnung.

Häufig wird für die lineare Systembeschreibung als sogenannte Bewegungsgleichung die systembeschreibende gewöhnliche Differenzialgleichung mit konstanten Parametern verwendet. Viele ausgeführte technische dynamische Systeme enthalten nichtlineare, totzeitbehaftete und begrenzende Komponenten, so dass mit der Beschreibung der Differenzialgleichung nur eine Annäherung an das tatsächliche Verhalten eines realen Systems sein kann. Die meisten Prozesse sind mit dynamischen Systemen nichtlinear, so dass lineare Annäherungen getroffen werden müssen.

Gut angepasste Modelle aus vermischten linearen und nichtlinearen Systemen können nur numerisch definiert und mit Computern berechnet werden.

Begriffsklärungen der konträren Eigenschaften mathematischer Modelle dynamischer Übertragungssysteme:

Modell-Eigenschaften	Eigenschaft 1	Eigenschaft 2	Kommentar
Modell-Erstellung	analytisch	experimentell	Analytisch durch Differenzialgleichungen und Übertragungsfunktionen experimentell meistens durch die Systemsprungantwort.
Modell-Darstellung	parametrisch	nicht- parametrisch	Parametrisch in Form einer Differenzialgleichung entweder analytisch oder experimentelle Identifikation. Die Sprungantwort ist ein nichtparametrisches dynamisches Modell
Modellverhalten	linear	nichtlinear	Ein lineares System muss der Linearitätseigenschaft des „Superpositionsprinzips“ entsprechen. Nichtlineare Systeme können im Arbeitspunkt linearisiert werden oder durch Wertetabellen numerisch berechnet werden.
Modellverhalten	dynamisch	statisch	Ein dynamisches Modell enthält Energiespeicher, die das Zeitverhalten bestimmen. Ein statisches Modell kat kein Zeitverhalten. Es kann in einem dynamischen Modell enthalten sein, wenn die zeitlichen Ableitungen der Ein- und Ausgangsgrößen des Modells (Differenzialgleichung) zu Null gesetzt werden.
Darstellung der Parameter	konzentriert	verteilt	Dynamische Systeme ohne räumliche Ausdehnung der Systemspeicher haben konzentrierte Systemparameter. Beispiel: Masse, Kondensator! Die System-Ausgangssignale sind nur zeitabhängig. Dynamische Systeme mit räumlicher Verteilung der Systemspeicher enthalten verteilte Systemparameter. Beispiel: Wärmefluss in einem homogenen Medium, Spannungsabfall in elektrischen Leitungen. Bei diesen Systemen sind die Variablen nicht nur Funktionen der Zeit sondern auch von Ortskoordinaten abhängig. (Beschreibung durch partielle DGL)
Zeitabhängigkeit der Parameter	zeitinvariant	zeitvariant	Zeitinvariante Systeme werden durch gewöhnliche DGL mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Bei zeitvarianten Systemen hat die gewöhnliche DGL keine konstanten Parameter. Beispiel: Die Masse einer Rakete reduziert sich während des Antriebs.
Beschreibungsform des Modellverhaltens	kontinuierlich	diskret	Die Differenzialgleichung f(t) oder die Übertragungsfunktion F(s) beschreiben kontinuierliche Funktionen. Differenzengleichungen beschreiben zeitdiskrete Darstellungen für ein kleines Zeitintervall Δt. Durch rekursive Berechnung addiert sich für jede Berechnungs- folge k ein neuer Wert Δy(k) zum alten Wert y(k-1). Damit entsteht ein gebrochener Zeitverlauf für y(k*Δt). Alle Berechnungsgrößen treten im zeitlichen Abstand Δt auf.
Modellordnung	exakt	reduziert	Die Systemidentifikation kann theoretisch anhand physikalischer Grundlagen getroffen werden. Damit ist die Ordnung der Systemspeicher exakt erfasst. Durch das Verfahren der experimentellen Systemidentifikation ergibt sich häufig ein Modell reduzierter Ordnung.
Modellvarianten	vollständig	vereinfacht	Je nach Bedeutung eines dynamischen Prozesses wird ein vollständiges oder vereinfachtes Modell der Aufgabenstellung angepasst (Kosten-Nutzen-Bewertung).

Modellierung eines unbekannten dynamischen Systems

Für die Ermittlung eines guten mathematischen Modells eines realen Systems müssen sowohl die Systemstruktur als auch die Parameter (Systemkonstanten) ermittelt werden. Die Aufgabe der Systemidentifikation kann theoretisch (anhand physikalischer Grundlagen) oder experimentell durch Messung des Ein- Ausgangsverhaltens mittels geeigneter Testsignale erfolgen:

Vorgehensweise zur Modellierung eines dynamischen Systems mit Differenzialgleichungen

Systemzerlegung in rückwirkungsfreie einfache Teilsysteme,
Definition der physikalischen Gesetze der Teilsysteme:

Mechanische Systeme: Newtonsches Gesetz, Kräfte- und Momenten-Gleichgewicht, Erhaltungssätze von Impuls, Drehimpuls und Energie.

Elektrische Systeme: Kirchhoffsche Gesetze, Ohmsches Gesetz, Induktionsgesetz, Maxwellsche Gleichungen (bei Feldern, d.h. örtlich verteilten Systemen),

Thermische Systeme: Wärmeleitungs- und Wärmeübertragungsgesetze, Erhaltungssätze der inneren Energie oder Enthalpie.

Systeme mit Stofftransport: Gesetz der Gasdynamik, Diffusionsgesetz.

Kopplungsbeziehungen bei Mehrgrößensystemen beschreiben,
Zusammenfassung aller Gleichungen zu einer Differenzialgleichung, eines Differenzialgleichungssystems oder einer Übertragungsfunktion.

Systeme mit Energiespeichern wie Spannung an einem Kondensator, Strom in einer Induktivität, bei einem Feder-Massesystem die potentiellen und kinetischen Energieanteile führen trotz der unterschiedlichen physikalischen Systemgrößen zu identischen Strukturen der systembeschreibenden Differenzialgleichungen bzw. im komplexen Frequenzbereich zu identischen Übertragungsfunktionen.

Für lineare bzw. angenäherte lineare dynamische Systeme sind verschiedene Methoden der Modellierung bekannt.

Die Analyse eines bestehenden technischen Übertragungssystems erfolgt bei globalen P- oder I-Verhalten meistens durch die Sprungantwort, Impulsantwort oder durch Einspeisen einer variablen sinusförmigen Frequenz konstanter Amplitude.

Für einfache Ansprüche der schnellen Bestimmung einer Ersatzbeschreibung eines realen Übertragungssystems existieren verschiedene heuristische Verfahren, die auch unter dem Begriff "Faustformelverfahren" in der Regelungstechnik bekannt sind. Sie beziehen sich meist auf die grafisch aufgezeichnete Sprungantwort einer Regelstrecke für nichtschwingende lineare Systeme höherer Ordnung. Häufig werden für diese Verfahren der einfachen Bestimmung der Streckenparameter die für einen Regelkreis erforderlichen Parameter der Standardregler (P-, I-, PI-, PD-, und PID-Regler) zugehörig mitgeliefert.

Modellierung eines linearen dynamischen Systems durch die Aufstellung der Differenzialgleichung

Ein einfaches Beispiel der theoretischen Entwicklung der systembeschreibenden Differenzialgleichung wird in dem Kapitel „Entstehung einer Differenzialgleichung“ mit einem RLC-Netzwerk gezeigt. Bei diesem Beispiel der Berechnung eines Systems aus Kombinationen von Bauelementen aus Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten unter Vernachlässigung von parasitären Eigenschaften der Bauelemente (Kapazität einer Induktivität, Induktivität eines gewickelten Widerstandes, Temperatureinfluss) handelt es sich um ein reales Modell eines linearen Systems mit konzentrierten Energiespeichern und nicht um eine Annäherung.

Modellierung nach der Frequenzganganalyse

Die experimentelle Systemidentifikation eines realen Systems erfolgt durch Messung des Eingangs-Ausgangs-Verhaltens durch Anregung mit einer Wechselspannung variabler Frequenz. Anhand der Asymptoten-Schnittpunkte des Frequenzgangs im Bode-Diagramm kann auf die Übertragungsfunktion des Systems geschlossen werden. Die Prüfung des Phasengangs ist erforderlich, wenn das Gesamtsystem eine Totzeitkomponente enthält.

Modellierung eines linearen Systems mit Totzeit durch ein PT2-Verzögerungsglied und Ersatztotzeit

Sehr gute Modelle erhält man aus der Sprungantwort eines Systems durch Approximation mit einem PT2-Glied und einer Ersatztotzeit. Das PT₂-Glied und das Ersatz-Totzeitglied wirken als Reihenschaltung. Details werden in den nachfolgenden Kapiteln behandelt!

Mathematische Werkzeuge

Die Analyse des Verhaltens eines dynamischen Systems zur Erstellung eines Modells und insbesondere für die experimentelle Systemidentifikation erfordert die Kenntnis der mathematischen Werkzeuge zur Beschreibung der synthetischen Zusammenstellung unterschiedlicher Teilsysteme wie zum Beispiel entkoppelte Verzögerungssysteme, Integrationen, Totzeitsysteme, nichtlineare statische Systeme.

Wegen des hohen Bekanntheitsgrades und der übersichtlichen Gleichungsdarstellung werden lineare Modelle häufig im s-Bereich als Übertragungsfunktionen dargestellt. Lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten können durch die Laplace-Transformation beliebig in den s-Bereich und umgekehrt können Übertragungsfunktionen vom s-Bereich in den Zeitbereich transformiert werden. Für die Systemberechnung mit Anfangswerten ist die mathematische Form der Differenzialgleichungen vorteilhaft.

Die transzendente Darstellung der Totzeitsysteme $G_{Tt}(s)=e^{-T_{t}\cdot s}$ ist nur für die grafische Darstellung im komplexen Frequenzbereich geeignet. Der Systementwurf im Frequenzbereich hat nur eine informative didaktische Bedeutung. Regelkreise mit Totzeitsystemen lassen sich nur numerisch einfach berechnen.

Mit der numerische Behandlung und der diskreten Zeit Δt lässt sich jede Modellanpassung eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises berechnen. Es ist gleichgültig, ob die Systembeschreibungen als Übertragungsfunktion oder Differenzialgleichungen vorliegen.

Lösung von Differenzialgleichungen mit Anfangswerten:

Lineare gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beliebiger Ordnung lassen sich im Gegensatz zur klassischen Lösung sehr einfach mit der numerischen Differenzengleichung der Integration lösen.

Beispiel systembeschreibende DGL 2. Ordnung:

a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)\,

Es wird die explizite Form nach der höchsten Ableitung verwendet, d.h. alle Terme der Gleichung werden durch den Koeffizienten a2 dividiert und dann nach ${\ddot {y}}(t)\,$ freigestellt.

${\ddot {y}}(t)={\frac {1}{a_{2}}}\cdot (-a_{0}\cdot y(t)-a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+b_{0}\cdot u(t))$

Jede Ableitung von y(t) wird nach dem Signalflussplan der expliziten Darstellung numerisch durch die Differenzengleichung der Integration integriert. Die Differenzengleichung der numerischen Integration mit der Berechnungsfolge k(0, 1, 2 ...k_MAX) und T = 1 (Euler-Streckenzugverfahren) lautet:

$y_{(k)}=y_{(k-1)}+u_{(k)}\cdot {\frac {\Delta t}{T}}$

Sämtliche Signaloperationen erfolgen algebraisch

Anfangswerte können einfach für jeden Integrator (Energiespeicher) vorgegeben werden. Die Integrationen finden über Integrierglieder mit den gewünschten Anfangswerten statt. Die Integratoren starten zum Zeitpunkt t = k*Δt = 0 mit der Rekursionsfolge k = 0 und enden bei k_MAX. Weil es sich damit um bestimmte Integrale handelt, müssen keine Integrationskonstanten wie bei der klassischen Lösung einer Differenzialgleichung ermittelt werden.

Siehe Beispiel des Hauptkapitels „Numerische Berechnung dynamischer Systeme“ unter Anwendung numerischer Berechnungen.

→ Siehe "Berechnungsbeispiel gewöhnliche DGL 2. Ordnung mit Anfangswerten" Kapitel: Numerische Berechnung dynamischer Systeme

Kombinierte nichtlineare und lineare Systeme

Die Zusammensetzung unterschiedlicher Teilsysteme mit einer Totzeit und differenzierendem, verzögerndem, begrenzendem und nichtlinearem Verhalten zu Steuerstrecken und Regelkreisen können nur numerisch berechnet werden.

Lineare Systeme: Für die Beschreibung der linearen Systeme stehen Differenzengleichungen zur Verfügung.

Nichtlineare Systeme können mit Werteangaben in tabellarischer Form benutzt werden.

Begrenzungseffekte erfordern logische zeitunabhängige Gleichungen. (WENN-, DANN-, SONST-Anweisungen)

Totzeitsysteme können durch programmierte Laufzeit-Schleifenbildung beliebiger Rechenprogramme nachgebildet werden bzw. bei Anwendung der Tabellenkalkulation durch die INDEX-Anweisung:

Die Anweisung „INDEX ( Bezug: Spalte; Bereich)“ verwendet einen Index, um aus einem Bezug einen Wert zu wählen.

Tabellarische Darstellung der Zwischen- und Endergebnisse. Zum Verständnis des Systemverhaltens und insbesondere des inneren System-Bewegungsablaufs bei Mit- und Rückkopplungen sollten alle Teil- und Endergebnisse numerischer Berechnungen tabellarisch pro Berechnungsfolge k=(0, 1, 2, ...k_MAX) pro Zeile abgelegt werden. Die Programmiersprache numerischer Berechnungen ist beliebig. Es empfiehlt sich die Anwendung der Tabellenkalkulation, weil keine Formatierungsaufgaben erforderlich sind und die grafische Darstellung beliebiger Ergebnisse bereits mitgeliefert wird.

Modell-Bestimmung durch Approximation an die Sprungantwort eines Systems höherer Ordnung

Das bekannteste Verfahren der Identifikation eines dynamischen Systems mit globalen P-Verhalten aus der Sprungantwort ist das Wendetangentenverfahren. Es ist kein Modell im Sinne der Systemtheorie, bei dem sich das Modell ähnlich wie das modellierte Originalsystem verhält, sondern es handelt sich um empirisch gefundene Werte, aus denen sich Parameter für die Anwendung von Standardreglern für Regelkreise geringer Ansprüche bilden lassen.

Wendetangentenverfahren:

Industrielle Regelstrecken höherer Ordnung mit globalen P-Verhalten mit oder ohne Totzeit lassen sich nach einer messtechnischen Aufzeichnung der System-Sprungantwort durch eine grafisch an den Gradienten des Signalanstiegs im Wendepunkt angelegte Tangente für eine Auslegung von Standardregelkreisen identifizieren. Die Abszisse mit dem Zeitmaßstab wird durch die Tangente in die Zeitabschnitte der Verzugszeit T_U und Anstiegszeit T_g zerlegt.

Die genaue Lage des Wendepunktes der Sprungantwort kann – falls erforderlich – durch einfaches Differenzieren dy / dt oder manuell Δy / Δt ermittelt werden.

Die stationäre P-Verstärkung Kp des Systems ergibt sich nach genügend langer Zeit aus dem Ausgangs-Eingangssignalverhältnis y(t) / u(t).

Das Wendetangentenverfahren liefert Kennwerte einer System-Sprungantwort, anhand derer Einstellwerte für regelungstechnische Anwendungen aus einer Tabelle entnommen werden können.

→ Siehe auch Wikipedia-Artikel: Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)

Synthetische Modell-Bestimmung nach der System-Sprungantwort

Für ein bestehendes dynamisches Übertragungssystem höherer Ordnung handelt es sich in den meisten Fällen um ein System mit globalen P-Verhalten (Regelstrecke mit Ausgleich) oder globalen I-Verhalten mit und ohne Totzeit. Aus der Sprungantwort eines dynamischen Systems mit P-Verhalten kann nicht so einfach die Systemordnung und ein mögliches Totzeitverhalten erkannt werden. Deshalb bietet sich für ein derartiges System ein Modell an, das aus der Reihenschaltung eines Totzeitgliedes und eines Verzögerungsgliedes zu wählender Ordnung besteht.

Je nach Ergebnis des Verhaltens der Sprungantwort eines linearen Systems höherer Ordnung mit und ohne Totzeit folgt die synthetische Zusammensetzung eines Modells aus einfachen Komponenten wie die Reihenschaltung von einem Totzeitglied und Verzögerungsgliedern und gegebenenfalls die eines I-Gliedes, deren mathematische Schreibweisen bekannt sind.

Das Ziel für die Auslegung des Modells ist, das möglichst identische Zeitverhalten bei der Sprungantwort oder der Impulsantwort mit dem Original zu erreichen. Mit der numerischen Berechnung und grafischen Darstellung können die zu optimierenden Parameter des Modells in weiten Grenzen verändert werden, bis die Sprungantworten des Originals mit dem Modell übereinstimmen.

Vorgehensweise

Die Sprungantwort des Originals mit globalen P-Verhalten (Regelstrecke mit Ausgleich) ist bekannt.
Als Modell wird die Reihenschaltung eines Ersatz-Totzeitgliedes (Ersatztotzeit T_te) mit einem Verzögerungsglied n-ter Ordnung (Ersatz-Zeitkonstante T_e) wie folgt gewählt:

G(s)={\frac {e^{-{T_{te}}\cdot s}}{(T_{e}\cdot s+1)^{n}}}

Durch die vorzugsweise numerische Berechnung wird der Verlauf des Verzögerungsgliedes mit dem Parameter T_e dem Verlauf des Gradienten der Originalfunktion in Übereinstimmung gebracht. Die Ordnung n des Verzögerungsgliedes kann beliebig sein. Es empfiehlt sich die Ordnung 1 oder 2. Die Ordnung 2 erlaubt eine leichtere Anpassung des Modell-Verzögerungsgliedes an das Original.
Durch zeitliche Verschiebung der Verzögerungsfunktion bis zur Deckung mit der Originalfunktion wird die Ersatztotzeit T_te bestimmt.

Die Übergangsfunktion (Sprungantwort) eines Modells niedriger Ordnung für ein lineares System höherer Ordnung kann natürlich nicht mit dem Original identisch sein. Es stellt sich die Frage, wie exakt die Sprungantwort des Modells mit dem Original übereinstimmen muss, damit der Modellfehler gering bleibt?

PT₁-T_te-Modellapproximation an die Sprungantwort eines PT₅-Verzögerungsgliedes

Das Modell wird genauer, wenn der Anstiegsgradient des Verzögerungsgliedes grafisch zeitlich über die Lage des Wendepunktes des Anstiegsgradienten des Originals zu größeren Werten verschoben wird und damit drei kleine Flächen mit dem Original einschließt.

PT₁-T_te-Modell eines Systems höherer Ordnung aus der Sprungantwort

$G(s)={\frac {e^{-{T_{te}}\cdot s}}{T_{e}\cdot s+1}}$

In dem dargestellten grafischem Beispiel der Sprungantwort eines dynamischen Systems 5. Ordnung gleicher Zeitkonstanten mit dem PT1-T_te-Modell wurde numerisch berechnet und mit dem im nächsten Kapitel angegebenen Verfahren auf gute Annäherung geprüft. Es handelt sich um ein relativ genaues und geprüftes PT₁-T_te-Modell, das sich auch in einem Regelkreis – in bestimmten Grenzen – wie das Original verhält.

Andere PT₁-T_te-Modellierungsverfahren

In der Fachliteratur werden auch Methoden für die Bestimmung der Größe der Ersatzzeitkonstanten T_e beschrieben, in dem durch die zwei Schnittpunkte des Modells mit dem Original Y₁(t₁), Y₂(t₂) geometrisch die Ersatz-Verzögerungszeitkonstante T_e berechnet wird. ^[1]

Die Berechnung setzt voraus, dass eine Annahme getroffen wird, wie der Verlauf des PT₁-Gliedes um die Ersatztotzeit T_te versetzt erfolgen muss, damit die Schnittpunkte zwischen Original und Modell entstehen können.

Ersatz-Zeitkonstante T_e:

$T_{e}={\frac {t_{2}-t_{1}}{ln\,{\frac {Y_{MAX}-Y_{1}}{Y_{MAX}-Y_{2}}}}}$

Ersatztotzeit T_te

$T_{te}=T_{e}\cdot ln\,(1-{\frac {Y_{1}}{Y_{MAX}}})+t_{1}$

Andere empirische Verfahren der Bestimmung eines PT₁T_te--Modells beziehen sich direkt auf das Zeitverhalten der Sprungantwort eines PT₁-Gliedes:

PT₁-Modell:

y_{PT_{1}}(t)=1-e^{-{\frac {t}{T_{e}}}}

PT₁-T_te-Modell

y_{PT_{1}T_{te}}(t)=1-e^{-{\frac {t-T_{te}}{T_{e}}}}\qquad f{\ddot {u}}r\quad y_{PT_{1}T_{te}}(t)>0

Für die angegebenen Gleichungen werden für die Parameter T_e und T_te so oft unterschiedliche Werte eingesetzt, bis die Sprungantworten des Modells mit der des Originals ungefähr übereinstimmen.

Fazit: Es gibt keine vernünftige Alternative zur genauen Modellbestimmung als die numerische Berechnung.

PT₂-T_te-Modellapproximation an die Sprungantwort eines PT₅-Verzögerungsgliedes

PT₂-T_te-Modell eines Systems höherer Ordnung aus der Sprungantwort

Verzögerungen 1. Ordnung haben keinen Wendepunkt, weil das zeitliche Verhalten der Sprungantwort sich kontinuierlich mit abnehmender Geschwindigkeit der Asymptote nähert. Die Sprungantwort einer PT2-Verzögerung hat im Bereich des Wendepunktes einen annähernd linearen Bereich konstanter Signal-Geschwindigkeit, bei der sich das grafische Anlegen einer Tangente vereinfacht.

$G(s)={\frac {e^{-{T_{te}}\cdot s}}{{(T_{e}\cdot s+1})^{2}}}$

Der Verlauf des PT₂-Gliedes mit zwei gleichen Zeitkonstanten T_e wird dem Verlauf des Originals im Bereich beider Wendepunkte durch die Ersatzzeitkonstante T_e und durch die Ersatztotzeit T_te so angeglichen, dass im Bereich der Wendepunkte das PT₂-T_te-Modell zeitlich mit dem Original zwei Schnittpunkte und damit drei kleine Flächen bildet, also T_te >> T_u ist.

Das grafische Bild zeigt das optimierte PT₂-T_te-Modells zur Sprungantwort eines dynamischen Systems 5. Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten und globalen P-Verhalten. Das Modell und das Original zeigen in je einem Regelkreis mit gleichem PI-Regler weitgehend identische Eigenschaften. Selbst bei Einsatz in je einem Regelkreis mit einem PID-Regler bei einer gewählten Dämpfung mit einer Überschwingweite von ca. 5 % verhält sich das Modell sehr ähnlich gegenüber dem Original. Das ist insofern erstaunlich, weil die zwei in der Reihenstruktur zerlegbaren PD-Anteile des PID-Reglers bei Pole-Nullstellen-Kompensation der Regler-Auslegung mit der Original-Regelstrecke bei dem Modell den Einfluss der Pole reduzieren und damit eine Modell-Regelstrecke mit dominanter Totzeit hervorrufen.

PT₂-T_te-T_t-Modell eines Systems höherer Ordnung mit Totzeit

Modell für Systeme mit Totzeit T_t:

G(s)={\frac {e^{-{(T_{te}+T_{t})}\cdot s}}{{(T_{e}\cdot s+1})^{2}}}

An dem Modell hat sich gegenüber dem mit echter Totzeit T_t behafteten Original nur die Totzeitsumme T_t+T_te geändert. Alle übrigen Beziehungen gelten wie für das PT₂-T_te-Modell.

Weil in einer Sprungantwort eines realen Übertragungssystems höherer Ordnung der Anteil der echten Totzeit T_t nicht erkennbar ist, gilt das bewährte Modell mit einer Verzögerung 2. Ordnung und Ersatztotzeit T_te sowohl für Übertragungssysteme mit und ohne Totzeit T_t:

$G(s)={\frac {e^{-{T_{te}}\cdot s}}{{(T_{e}\cdot s+1})^{2}}}$

Prüfung des Modellverfahrens in einem Regelkreis mit einem I-Regler

Das Verfahren der Erstellung eines Modells kann überprüft werden, indem man durch Abschätzung der Sprungantwort des unbekannten Übertragungssystems ein nicht genaues, aufwendiges, bekanntes, virtuelles Original mit Totzeit und Verzögerung höherer Ordnung bestimmt. Werden das virtuelle Original und das Modell des virtuellen Originals in je einen Regelkreis mit einem I-Regler gleicher Regelparameter eingebunden, dann muss bei einem guten Modell eine weitgehende Übereinstimmung in den Sprungantworten der Regelgrößen erzielt werden.

Die Verstärkung K_p des I-Reglers sollte so groß gewählt werden, dass die Kreisdämpfung mit der Regelstrecke des Originals sehr gering ist und die Regelgröße sehr stark überschwingt. Damit machen sich Modellfehler stärker bemerkbar.

Beispiel der Prüfung der Modell-Güte

Virtuelles Original 5. Ordnung mit bekannten Parametern ohne Totzeit:

G(s)={\frac {1}{(T\cdot s+1)^{5}}}

Gewähltes Modell des virtuellen Originals mit einer Verzögerung 2. Ordnung und Ersatztotzeit T_te:

G(s)={\frac {e^{-{T_{te}}\cdot s}}{(T_{e}\cdot s+1)^{2}}}

Anmerkung: Die Approximation eines Modells an das Original höherer Ordnung mit gleichen Zeitkonstanten ist schwieriger als die Anpassung an ein Original mit unterschiedlichen Zeitkonstanten der gleichen Ordnung!

Vorzugsweise werden die Sprungantworten des virtuellen Originals und des Modells mittels numerischer Berechnungen an einem PC durchgeführt.
Die Sprungantwort des virtuellen Originals wird für die gewählte Zeitkonstante T grafisch am Bildschirm abgebildet.
Der Gradient der Sprungantwort des Modells wird durch empirische Wahl der Zeitkonstante T_e dem Gradienten des virtuellen Originals in Übereinstimmung gebracht.
Die Ersatztotzeit T_te des Modells wird im Diagramm wird durch zeitliche Verschiebung der Verzögerungsfunktion zur Deckung mit der Sprungantwort des virtuellen Originals bestimmt. Der Feinabgleich für T_e und T_te zur korrekten Deckung der beiden Sprungantworten ist noch jederzeit möglich.

Die bevorzugte vereinfachte Modellstruktur des Modells und das virtuelle Original können durch Einbindung in je einem Regelkreis mit einem I-Regler und einer eingestellten Kreisdämpfung D < 0,1 (d.h. große Überschwingung der Regelgröße) mit gleichen Reglerparametern geprüft werden. Sind für beide Modell-Regelkreise die An- und Ausregelzeiten und die Überschwingweiten der Regelgrößen näherungsweise identisch, handelt es sich um ein gutes Modell.

Modelle für Systeme mit verteilten Energiespeichern

Systemspeicher im dynamischen System

Physikalisch betrachtet ist der Zustand eines dynamischen Systems durch den Energiegehalt der im System vorhandenen Energiespeicher zu einem beliebigen Zeitpunkt bestimmt. Das zeitliche Verhalten der Systemausgangsgröße y(t) eines Übertragungssystems zu einem beliebigen Zeitpunkt t = t₀ ist abhängig vom Energiegehalt der Systemspeicher (Anfangswerte), von den Systemparametern und der Systemeingangsgröße
u(t). Die Vorgeschichte des Systems für y(t) zur Zeit t < 0 hat keine Bedeutung für die betrachtete Zeit t > 0.

Lineare zeitinvariante dynamische Systeme mit konzentrierten Speichern (ohne räumliche Ausdehnung!) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen y =f(t) mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Konstante Koeffizienten bedeuten, dass sich das Zeitverhalten des Systems nicht ändert. Diese Systeme können auch in einer speziellen Darstellung der Differenzialgleichung im Zustandsraum y = f(t) oder durch Transformation der Differenzialgleichung zu Übertragungsfunktionen G = f(s) beschrieben werden. Übertragungsfunktionen behandeln keine Anfangswerte, das System mit f(s) ist für den Ruhezustand definiert.

Systeme mit verteilten Energiespeichern

Dynamische Systeme mit räumlicher Verteilung der Systemspeicher enthalten verteilte Systemparameter. Beispiel: Wärmefluss in einem homogenen Medium, Spannungsabfall in elektrischen Übertragungsleitungen. Bei diesen Systemen sind die Variablen nicht nur Funktionen der Zeit, sondern auch von Ortskoordinaten abhängig. Als Beschreibung eines derartigen Systems gilt allgemein die partielle Differenzialgleichung, bei der die gesuchte Funktion von zwei Variablen abhängt, vom Ort und von der Zeit.

Problematisch ist beispielsweise die zeitabhängige Beschreibung des Wärmeflusses in verschiedenen Medien wie bei Gasen, Flüssigkeiten, Feststoffen und Metallen. Bei einer gewöhnlichen Heizungsregelung handelt es sich bei der Regelstrecke um ein System mit verteilten Energiespeichern in Flüssigkeiten oder Feststoffen.

Kompliziert oder beinahe unmöglich ist die geforderte Systemabgrenzung der in der Praxis bei ausgeführten Übertragungssystemen verschiedenster geometrischer Formen von der Umgebung. Trifft eine bekannte Strahlungsenergie auf ein System, bei dem die Masse, Oberfläche, Homogenität, Wärmewiderstand, Wärmeableitungen unbekannt sind, so kann nur ein messtechnischer Versuch das zeitliche Verhalten der Temperatur an einem bestimmten Ort des Systems zu bestimmten Umgebungsbedingungen klären.

Vereinfachtes Ersatzmodell für Systeme mit verteilten Energiespeichern

Betrachtet man den Temperaturverlauf in einem homogenen Medium an verschiedenen weit entfernten Messorten von der Wärmequelle nach einem positiven Wärme-Energiesprung, so erreicht der am weitesten entfernte Messort am spätesten das Temperatur-Maximum. Nach genügend langer Zeit ist der stationäre Zustand am Messort erreicht, wenn der Wärmezufluss gleich dem Wärmeabfluss ist. Im stationären Zustand beliebiger Messorte sind die Temperaturwerte nach einem Temperatursprung mit steigender Entfernung vom Systemeingang immer kleiner. Die Ursache liegt darin, dass das Medium ein mehr oder weniger guter Wärmeleiter ist, von dem je nach äußeren Abmessungen die Wärmeenergie durch Konvektion, Strahlung oder Ableitung mit anderen Materialien abfließt.

Ein elektrisches Modell zum Verständnis dieses Verhaltens ist eine Kombination von gleichen RC-Gliedern (Widerstand-Kondensator-Schaltung T = R * C) mit gleichen Zeitkonstanten T. Die Übergangsfunktion (Sprungantwort) eines derartigen Systems mit einer Kette von z. B. vier RC-Gliedern ohne Abschlussglied in Reihenschaltung lautet:

G(s)={\frac {1}{T^{4}\cdot s^{4}+7\cdot T^{3}\cdot s^{3}+15\cdot T^{2}\cdot s^{2}+10\cdot T\cdot s+1}}

Durch die Nullstellen-Bestimmung und Umrechnung der Pole in Zeitkonstanten wird ersichtlich, dass die Sprungantwort mit zunehmender Ordnung durch eine kleine Totzeit und eine dominante Zeitkonstante (Verzögerungsglied 1. Ordnung) bestimmt wird. Erst wenn dieses RC-Glieder-Modell einen Widerstands-Abschluss erhält, wird mit der zunehmenden Entfernung von der Einspeisung verständlich, dass im stationären Zustand die Spannungsabfälle ortsabhängig sind und die Spannungen an den Kondensatoren kleiner werden.

Das dargestellte grafische Bild zeigt das Temperaturverhalten einer auf einer Sandsteinplatte aufgestrahlte Wärmeenergie an zwei Messorten. Das Zeitverhalten des Wärmeflusses an beiden Messpunkten entspricht annähernd dem Verhalten eines PT1-Gliedes mit einer dominanten Zeitkonstante und der Reihenschaltung eines sehr kleinen Ersatz-Totzeitgliedes.

Das System weist unterschiedliche Ersatz-Zeitkonstanten T_E für den Anstieg und Abfall des Wärmeflusses auf und verhält sich damit auch zeitvariant. Dies erklärt sich durch die Wärmeflussdifferenz der beiden Oberflächen der Platte links und rechts. Beim Ansprung ist das System im Ruhezustand. Beim Rücksprung (Strahlungsquelle = 0 W) hat das System am Messpunkt 1 höhere Anfangswerte. Ein bestimmter Teil der gespeicherten Wärmeenergie um den Messpunkt 1 fließt nach Messpunkt 2, was sich als vergrößerte Zeitkonstante bemerkbar macht.

In der praktischen Anwendung wird ein aufzuheizendes Medium eine festzulegende Wärme-Isolation aufweisen. In diesem Falle wird für das genannte Experiment eine gewählte Endtemperatur als Ausschnitt einer e-Funktion früher erreicht. Beim Energierücksprung ist die Temperatur-Differenz der beiden Messpunkte wegen verminderter Verluste geringer, und die Unterschiede der beiden Zeitkonstanten für Temperatur-Aufbau und -Abbau werden wegen der Isolation größer.

Das mathematische Modell für den Wärmefluss in einem homogenen Medium lässt sich nach der Aufzeichnung der Sprungantwort durch ein einfaches Modell mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied annähern. Die Parameter der Ersatztotzeit T_tE und der Ersatzzeitkonstanten T_E sind anhand des Messprotokolls zu bestimmen.

$G(s)=\left.{\frac {e^{-{T_{tE}}\cdot s}}{(T_{E}\cdot s+1)}}\right\|_{T_{E}=T_{2}\ beiAbfall}^{T_{E}=T_{1}\ beiAnstieg}$

Heuristische Methoden der Modellbeschreibungen

Ziegler-Nichols (Veröffentlichung: 1942):

Ziegler und Nichols haben zwei heuristische Verfahren entwickelt:

Verfahren 1 bezieht sich auf eine unbekannte Regelstrecke und einen unbekannten Regler mit P-, I-, D-Verhalten. Ohne Kenntnis der Strecken- und Reglerparameter werden manuell zunächst in dieser Reihenfolge die P-Verstärkung und danach auch die I- und D-Anteile bis jeweils an die Stabilitätsgrenze des Regelkreises eingestellt. Alle auf diese Weise ermittelten Parameter der Stabilitätsgrenze werden dann halbiert.

Verfahren 2: Für die aus dem Wendetangentenverfahren ermittelten Streckenparameter werden tabellarisch Reglerparameter für P-, PI, PD- und PID-Regler angegeben.

Chien, Hrones und Reswick (1952) haben später überarbeitete empfohlene Parameter-Einstellungen für die Standard-Regler in verschiedenen Varianten festgelegt.

T-Summen-Regel mit einer Ersatz-Summen-Zeitkonstante (nach Udo Kuhn 1995)

Wenn die Übertragungsfunktion der Strecke vorliegt:

Summe über alle n Verzögerungszeitkonstanten minus Summe aller m Nullstellenzeitkonstanten plus Totzeit.

T_{\Sigma }=T_{1}+T_{2}+\ldots T_{n}-(T_{v1}+T_{v2}+\ldots T_{vm})+T_{t}

Damit lautet die Übertragungsfunktion des Modells mit K_p als statische Verstärkung:

G(s)={\frac {K_{p}}{T_{\Sigma }\cdot s+1}}

Wenn die Sprungantwort vorliegt:

Bei der T-Summen-Regel zur Identifikation einer PTn-Regelstrecke (ohne Totzeit) eignet sich für lineare Systeme höherer Ordnung ähnlicher Zeitkonstanten. Das Verfahren teilt mit einer senkrechten Linie die Anstiegsfunktion der Sprungantwort in zwei gleiche Flächen. Der Wert der so getroffenen Zeitachse entspricht der Summenzeitkonstante

T_{\Sigma }\,

.

Zeit-Prozent-Verfahren für nicht schwingende Übertragungssysteme

(Veröffentlichungen: G. Schwarze 1962 und Wolfgang Latzel: Einstellregeln 1993)

Aus der positiven normierten Sprungantwort (Sprungeingang u(t) = 1) werden aus dem Verlauf der Ausgangsgröße y(t) die Werte y(t) = 10 %, 50 % und 90 % des Maximalwertes y_MAX(t) die zugehörigen Zeitwerte T₁₀, T₅₀ und T₉₀ erfasst und daraus eine Modell-Übertragungsfunktion aus n gleichen Verzögerungsgliedern gebildet. Es wird eine Tabelle benötigt, die in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik zu entnehmen ist. Die Tabelle gibt die Systemordnung und benötigten Faktoren nach folgender Gleichung für die Ersatzzeitkonstante T_M an:

Bestimmung der Ersatzzeitkonstanten T_M:

Tm={\frac {1}{3}}\cdot (\alpha 10\cdot T10+\alpha 50\cdot T50+\alpha 90\cdot T90)

Bestimmung des Modells mit K_p als statische Verstärkung:

Gs(s)={\frac {K_{p}}{(T_{M}\cdot s+1)^{n}}}

Anmerkung: Dieses Verfahren ergibt eine erstaunlich gute Anpassung des Modells an ein lineares Übertragungssystem ohne Totzeit.

Die Tabellen dieses Verfahrens sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik enthalten, z. B.:

Gerd Schulz: "Regelungstechnik 1" Verlag Oldenbourg, 3. Auflage 2004
Manfred Reuter - Serge Zacher: "Regelungstechnik für Ingenieure" Verlag Vieweg, 11. Auflage 2003