Einführung in die Systemtheorie/ Übertragungsfunktion

Eine Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System) von dessen Eingangssignal im Bildbereich (Frequenzbereich, s-Bereich). Sie wird definiert als Quotient der transformierten Ausgangsgröße $Y(s)$ zur transformierten Eingangsgröße $U(s)$:

Ein lineares Übertragungsglied mit dem Eingangssignal u und Ausgangssignal y.

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$

Die Übertragungsfunktion G(s) beschreibt das Eigenverhalten des Übertragungssystems vollständig und unabhängig von den Signalen. Eine Übertragungsfunktion ermöglicht es somit, das Ausgangssignal des Übertragungssystems aus dem Eingangssignal und der Übertragungsfunktion zu berechnen.

Dynamische zeitinvariante Systeme mit konzentrierten Energiespeichern (z. B. Feder-Masse-Dämpfer-Systeme oder elektrische L-, C- und R-Glieder) werden durch gewöhnliche Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Wenn sich das System im Ruhezustand befindet, haben die Energiespeicher den Wert Null. Unter dieser Bedingung, dass die Anfangsbedingungen der systembeschreibenden Differenzialgleichung zu dem betrachteten Zeitpunkt $t=0$ gleich Null sind, ist die Übertragungsfunktion des Systems gleich der laplacetransformierten Differenzialgleichung des Systems. Durch Anwendung des Differenziationssatzes und des Integrationssatzes der Laplace-Transformation kann jeder Term der Differenzialgleichung einzeln transformiert und daraus die Übertragungsfunktion gebildet werden. Es können auch die Differenzialgleichungen einzelner Komponenten des Übertragungssystems transformiert werden und daraus die Übertragungsfunktion berechnet werden.

Die Übertragungsfunktion $G(s)$ kann immer als gebrochen-rationale Funktion geschrieben werden. Durch die Nullstellenbestimmung des Polynoms im Zähler und des Polynoms im Nenner (= Pole) lässt sich die Übertragungsfunktion in Linearfaktoren aufteilen. Bestimmte Eigenschaften des Systems lassen sich bereits ohne Rücktransformation in den Zeitbereich direkt aus dieser Darstellung der Übertragungsfunktion ableiten.

Im Zeitbereich betrachtet, haben die Terme $f(s)$ im Zähler ein differenzierendes Verhalten, im Nenner haben sie ein global verzögerndes oder integrierendes Verhalten. Dies gilt auch für die Behandlung linearer nicht-phasenminimaler, instabiler Übertragungssysteme mit Polen in der rechten s-Halbebene.

Der Übertragungsfunktion eines Systems $G_{1}(s)$ kann die transzendente Funktion des Totzeitgliedes $G_{Tt}(s)=e^{-s\,T_{t}}$ multiplikativ angehängt werden zu $G(s)=G_{1}(s)\,G_{Tt}(s)$. Diese Form der Übertragungsfunktion als Gesamtsystem ist nur für Frequenzgang-Analysen geeignet.

Grundlagen Laplace-Transformation

Die Übertragungsfunktion $G(s)$ eines linearen dynamischen Systems $g(t)$ entsteht z. B. aus der Laplace-Transformation einer systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichung. Sie ist in der Regelungstechnik die häufigste Darstellungsform des Eingangs- und Ausgangsverhaltens von linearen Übertragungssystemen im komplexen Frequenzbereich.

Die Laplace-Transformation dient ähnlich wie die Fourier-Transformation der Zerlegung einer nicht sinusförmigen Funktion $f(t)$ in sehr viele sinusförmige Teilfunktionen. Weil nach der Fourier-Transformation die Funktion $f(t)$ für große Zeiten $t$ gegen Null gehen muss, können instabile Systeme mit wachsender Ausgangsgröße $y(t)$ nicht transformiert werden. Auch für die in der Systemtheorie und Regelungstechnik häufig benutzte System-Eingangsgröße $u(t)$ der Sprungfunktion $u_{\sigma }$(t) existiert keine Fourier-Transformierte. Die Laplace-Transformierte $F(s)$ entsteht aus der Fourier-Transformierten $F(j\omega )$ indem $j\omega$ durch $\delta +j\omega$ ersetzt wird.

Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, mit deren Anwendung sich eine Zeitfunktion $f(t)$ in die Bildfunktionen $F(s)$ mit der komplexen Frequenz $s=\delta +j\cdot \omega$ übertragen lässt.

Die folgende Gleichung der einseitigen Laplace-Transformation einer Zeitfunktion $f(t)$ ist gültig unter der Voraussetzung, dass alle Signale für $t<0$ verschwinden. Die Integrationsgrenze -0 berücksichtigt auch die Impulsfunktion (Diracimpuls) bei $t=0$.

Laplace-Transformation einer Zeitfunktion:

$F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}=\int \limits _{-0}^{\infty }f(t)\cdot e^{-s\cdot t}dt$

Laplace-Rücktransformation einer Funktion F(s) des komplexen Frequenzbereichs:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\cdot \pi \cdot j}}\int \limits _{\delta -j\infty }^{\delta +\infty }F(s)\cdot e^{s\cdot t}ds$

• t bezeichnet die unabhängige Variable im Originalbereich.
• $s=\delta +j\omega$ mit $\delta$ = Realteil und $\omega$ = Imaginärteil ist die unabhängige Variable im Bildbereich.
• ${\mathcal {L}}^{-1}$ ist das Symbol für die inverse Laplace-Transformation des Bildbereichs.

Das Laplace-Integral muss nicht für jede Zeitfunktion $g(t)$ mit der Ausgangsgröße $y(t)$ und der Eingangserregung $u(t)$ neu berechnet werden, die Standardfunktionen sind bekannt. Eine der wichtigsten Anwendungen der Laplace-Transformation ist die Bestimmung der Übertragungsfunktion $G(s)$ aus der einem dynamischen System zugehörigen Differenzialgleichung $f(t)$.

Die Transformation
der Differenziale und Integrale einer gewöhnlichen Differenzialgleichung erfolgt nach dem Laplace-Differenziationssatz und Integrationssatz. Die Zahlenwerte der Koeffizienten a_i und b_i sind identisch mit denen der Differenzialgleichung f(t) und der Übertragungsfunktion G(s) der Polynomdarstellung.

Nach dem Differenziationssatz oder dem Integrationssatz erfolgt die Transformation der Zeitfunktion f(t) zur Variablen s:
${\text{Ableitung}}\ {\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{k}f(t)}{dt^{k}}}\right\}=s^{k}\cdot F(s)\qquad {\text{Integral}}\ {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}{f(\tau )d\tau }\right\}={\frac {1}{s}}\cdot F(s)$

k bedeutet die jeweilige Ordnung der Ableitung.

Ebenso werden zur Bestimmung des Systemverhaltens Laplace-transformierte Eingangssignale $U(s)$ als Erregung des Systems verwendet wie Impuls-, Sprung- und Sinusfunktionen, deren Schreibweisen im Bildbereich bekannt sind. Die Funktionen des Bildbereiches und des Originalbereiches können je nach Aufgabenstellung von dem einen in den anderen Zustand transformiert werden.

Allgemeine Darstellungsformen der Übertragungsfunktion

Aus der Laplace-Transformation einer systembeschreibenden Differenzialgleichung entsteht die Grundform der Übertragungsfunktion G(s) in Polynom-Darstellung. Daraus lassen sich weitere bekannte Schreibweisen der Übertragungsfunktionen errechnen, die unterschiedliche Eigenschaften für die Berechnung der Ausgangsgröße y(t) im Zeitbereich des Übertragungssystems G(s) bei gegebenem Eingangssignal U(s) aufweisen. Alle Formen der Übertragungsfunktionen sind mathematisch bei Rückrechnung mit der Polynomdarstellung identisch.

Übertragungsfunktion	Darstellungsform im s-Bereich
Polynom-Darstellung	$G(s)={\frac {b_{m}s^{m}+\dotsb +b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dotsb +a_{1}s+a_{0}}}$
Pol-Nullstellen-Darstellung	$G(s)=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}$ (Darstellung für reelle Pole und Nullstellen) s = Laplace-Operator, sn = Zahlenwert der Nullstelle, sp = Zahlenwert der Polstelle
Zeitkonstanten-Darstellung	$G(s)=K\cdot {\frac {(T_{V1}\cdot s+1)(T_{V2}\cdot s+1)\dotsm (T_{Vm}\cdot s+1)}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\dotsm (T_{n}\cdot s+1)}}$ (Für reelle Pole und Nullstellen mit Absolutglied und negativen Zahlenwerten)
Partialbruch-Darstellung	$G(s)={\frac {A_{1}}{s-s_{p1}}}+{\frac {A_{2}}{s-s_{p2}}}+\dotsb +{\frac {A_{n}}{s-s_{pn}}}$ (Für reelle Pole und Nullstellen mit Absolutglied)

Die Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome der Übertragungsfunktion in je eine Produktform (Linearfaktoren) gestattet eine einfache detaillierte Interpretation des Systemverhaltens und der Bestimmung der Koeffizienten des Übertragungssystems. Diese Zerlegung in Linearfaktoren (Faktorisierung von Polynomen) erfolgt durch die Bestimmung der Nullstellen der Polynome.

Ein lineares zeitinvariantes Übertragungssystem ohne Totzeit ist durch Pole, Nullstellen und Proportionalitätsfaktoren der Übertragungsfunktion vollständig bestimmt.

Die Linearfaktoren symbolisieren als kleinste Übertragungseinheit ein typisches System-Zeitverhalten, das sich zusätzlich konträr verhält, ob die Linearfaktoren im Nenner oder Zähler der Übertragungsfunktion stehen.

Die Übertragungsfunktion $G(s)=Y(s)/U(s)=Z(s)/N(s)$ eines dynamischen Übertragungssystems kann einfache und mehrfache Linearfaktoren im Zähler und Nenner enthalten. Derartige Systeme beschreiben das Frequenzverhalten mit der komplexen Frequenz $s=\delta +j\omega$ mit einem Systemeingang $U(s)$ und einen Systemausgang $Y(s)$. Sie wird erfolgreich eingesetzt für Systemanalyse, Systemsynthese, Systemstabilität und erlaubt die algebraische Behandlung von beliebig geschalteten rückwirkungsfreien Teilsystemen.

Die komplexe Frequenz $s=\delta +j\omega =\operatorname {Re} (s)+j\cdot \operatorname {Im} (s)$ ist eine unabhängige Variable des Laplace- oder Bildbereichs. Sie tritt mit einem ganzzahligen Exponenten als Potenz im Zähler und Nenner einer Übertragungsfunktion auf, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Transformation einer Ableitung bestimmter Ordnung der gewöhnlichen Differenzialgleichung. Die Größe s in der Übertragungsfunktion kann beliebig algebraisch behandelt werden, enthält aber keinen Zahlenwert. (Imaginäre Einheit: $\mathrm {j} ={\sqrt {-1}}$; Re = Realteil, Im = Imaginärteil)

Elektrische, mechanische, biologische und andere dynamische Systeme können durch die gleiche Form der Übertragungsfunktion beschrieben werden, wenn die Anzahl und die Struktur der Systemspeicher identisch sind.

Die Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems kann algebraisch für die multiplikative (Reihenstruktur), subtraktive, additive und zurückgekoppelte Struktur (Regelkreis) beliebig zusammengestellt werden. Dabei kann es sich um einen industriellen Prozess, um eine Steuerstrecke, eine Regelstrecke, einen Regler oder einen Regelkreis handeln. Zum Beispiel kann die Übertragungsfunktion des sehr bekannten PID-Reglers in der Reihenstruktur oder Parallelstruktur beschrieben werden, die sich äußerlich nicht gleichen, aber bei unterschiedlichen Koeffizienten ein identisches Frequenz- und Zeitverhalten haben. Beide Schreibweisen haben technische Vorteile.

Die folgenden idealen PID-Reglerstrukturen sind mathematisch identisch. Die Koeffizienten T1 und T2 ergeben sich durch Faktorenvergleich mit den Koeffizienten $K_{P}$, $T_{N}$ und $T_{V}$:

PID-Reglerstruktur	Übertragungsfunktion mit Nullstellenüberschuss
Reihenstruktur	$G(s)={\frac {K_{P}}{T_{N}}}\cdot {\frac {(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)}{s}}$
Parallelstruktur	$G(s)=K_{P}\cdot \left(1+{\frac {1}{T_{N}\cdot s}}+T_{V}\cdot s\right)$

Polynom-Darstellung

Die Anwendung der Laplace-Transformation einer systembeschreibenden Differenzialgleichung führt zu der Übertragungsfunktion als gebrochen-rationale Funktion in die Polynom-Darstellung. Dabei werden die Koeffizienten der Differenzialgleichung in die Übertragungsfunktion vollständig übernommen. Anstelle der Ableitungen der Differenzialgleichung tritt der Laplace-Operator $s$ entsprechend dem Grad der Ableitung als Potenz von $s$ auf.

Erst die Aufspaltung der Polynome im Nenner und Zähler der Übertragungsfunktion in Linearfaktoren (Teilsysteme, Produktterme) 1. Ordnung und 2. Ordnung (mit konjugiert komplexen Polen) zeigt anschaulich im nächsten Kapitel jeweils im Zähler und Nenner maximal drei verschiedene Linearfaktoren, mit fundamental unterschiedlichen Eigenschaften im Zeitbereich.

Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die lineare Differenzialgleichung n-ter Ordnung beschrieben

$a_{n}y^{(n)}+\dotsb +a_{1}y^{(1)}+a_{0}y=b_{m}u^{(m)}+\dotsb +b_{1}u^{(1)}+b_{0}u$

$y\,$ ist Ausgangs- und $u\,$ Eingangssignal als Funktion der Zeit, $y^{(1)}=y'(t)\,$ die 1. Ableitung nach der Zeit.

Wenn die Koeffizienten $a_{i}\,$ und $b_{i}\,$ konstant (also zeitunabhängig) sind, ist die Laplace-Transformation ausführbar.

Mit den vorgegebenen Anfangsbedingungen für das Ein- und Ausgangssignal (Werte zum Zeitpunkt $t=0\,$ )

$y^{(i)}(0)=0\;$ für alle $0\leq i\leq n\,$

$u^{(i)}(0)=0\;$ für alle $0\leq i\leq m\,$

lautet die Laplace-Transformierte der Ein- und Ausgangsgrößen

$\int \limits _{0}^{\infty }y^{(i)}(t)e^{-st}dt=s^{i}\cdot Y(s)\,$

$\int \limits _{0}^{\infty }u^{(i)}(t)e^{-st}dt=s^{i}\cdot U(s)\,$

$U(s)\,$ und $Y(s)\,$ sind die komplexe Eingangs- bzw. Ausgangsfunktion in Abhängigkeit von der komplexen Variablen $s=\delta +\mathrm {j} \omega \,$ im Bildbereich.

Die Laplace-Transformierte der Differenzialgleichung ist

$Y(s)(a_{n}s^{n}+\dotsb +a_{1}s+a_{0})=U(s)(b_{m}s^{m}+\dotsb +b_{1}s+b_{0})$.

Es handelt sich anstelle der Differenzialgleichung um eine algebraische Gleichung, deren Analyse mit Methoden der Algebra möglich ist.

Die Übertragungsfunktion G(s) in Polynomdarstellung

ist das Verhältnis der Laplace-Transformierten der Wirkung (Ausgang) durch die Laplacetransformierte der Ursache (Eingang):

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\dotsb +b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\dotsb +a_{1}s+a_{0}}}$

Die statische Verstärkung $K$ des Übertragungssystems ist durch das Verhältnis der Koeffizienten $K=b_{0}/a_{0}$ bestimmt.

$G(s)={\frac {b_{0}}{a_{0}}}\cdot {\frac {1+{\frac {b_{1}}{b_{0}}}s+\dotsb +{\frac {b_{m}}{b_{0}}}s^{m}}{1+{\frac {a_{1}}{a_{0}}}s+\dotsb +{\frac {a_{n}}{a_{0}}}s^{n}}}$

Alle Koeffizienten der Differenzialgleichung, die das Zeitverhalten bestimmen, sind in der Übertragungsfunktion im Nenner enthalten. Die Koeffizienten des Zählers bestimmen die Größe der Amplitude $f(t)$. Die Übertragungsfunktion beschreibt das Verhalten des Systems vollständig. Damit ist es möglich, Aussagen über das Verhalten des Systems ohne Lösung der Differenzialgleichung zu erhalten.

Die Übertragungsfunktion ist eine analytische Funktion. Da sie Funktion der komplexen Variablen $s=\delta +\mathrm {j} \omega \,$ ist, kann sie als

$G(s)=u(\delta ,\omega )+\mathrm {j} v(\delta ,\omega )\;$

geschrieben werden. Das ist eine Abbildung der von $\delta ,\omega \,$ aufgespannten $s$-Ebene in die von $u,v\,$ aufgespannte $G$-Ebene. Alle Methoden der Funktionentheorie können zur Analyse eingesetzt werden. Das Erstellen einer Grafik ist wegen der vier Dimensionen nur in zwei dreidimensionalen Grafiken möglich, z. B. als

$\mathrm {Betrag} (\delta ,\omega )={\sqrt {u^{2}(\delta ,\omega )+v^{2}(\delta ,\omega )}}$

$\mathrm {Phase} (\delta ,\omega )=\arctan \left({\frac {v(\delta ,\omega )}{u(\delta ,\omega )}}\right).$

Pol-Nullstellen-Darstellung

Unter dem Begriff Nullstellen versteht man jene Werte, die in eine Funktion $f$ eingesetzt, den Funktionswert Null liefern. Nullstellen von Polynomen werden in der Mathematik auch häufig mit Wurzeln oder Nullstellen bezeichnet. In der Regelungstechnik werden die Nullstellen des Zählerpolynoms mit Wurzeln oder Nullstellen, die des Nennerpolynoms mit Polen bezeichnet.

Ein Polynom $n$-ten Grades hat genau $n$ Nullstellen bzw. $n$ Pole. Diese Nullstellen und Pole können reelle oder komplexe Zahlen sein.

Die Nullstellen eines Polynoms 2. Ordnung lassen sich durch die bekannte Formel der quadratischen Gleichung lösen. Für Polynome bis 4. Ordnung existieren Rechenprogramme, die auch im Internet unter dem Suchbegriff "Nullstellen (Lösungen) von Polynomen" zu finden sind. Polynome noch höherer Ordnung können numerisch mit dem Newton-Verfahren gelöst werden.

Die Nullstellen eines Polynoms sind unabhängig von Polynomfaktoren. Der System-Verstärkungsfaktor der Übertragungsfunktion in der Pol-Nullstellen-Darstellung beträgt $k=b_{m}/a_{n}$.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt für ein Polynom:

$P(x)=b_{m}x^{m}+\dotsb +b_{1}x+b_{0}=b_{m}\cdot \prod _{i=1}^{m}(x-x_{i})\,$

mit dessen Nullstellen $x_{i}\,$. Sie können einfach oder mehrfach, reell oder paarweise konjugiert komplex sein.

Die Übertragungsfunktion in Pol-Nullstellen-Darstellung lautet:

$G(s)=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}$

In dieser allgemeinen Darstellung ist noch nicht definiert, um welche Art von Linearfaktoren es sich bei der Übertragungsfunktion handelt. Das Systemverhalten wird erst deutlich, wenn Zahlenwerte für die Nullstellen, Pole und Verstärkung $k$ vorliegen.

Bei gegebenen Zahlenwerten mit den $s_{n}$ (Nullstellen) und den $s_{p}$ (Polen, Nullstellen des Nennerpolynoms) ist die Übertragungsfunktion vollständig bestimmt und mit der Polynom-Darstellung identisch. Diese Darstellung ist für allgemeine Aussagen über das System z. B. für Stabilitätsuntersuchungen wichtig.

Linearfaktoren

Linearfaktoren sind Produktterme eines Polynoms im Zähler und Nenner einer Übertragungsfunktion G(s).

Sind die Nullstellen bzw. die Pole einer Übertragungsfunktion G(s) in der Polynomdarstellung bekannt, kann das Zähler- und Nennerpolynom in Produktterme (Linearfaktoren) zerlegt werden, z. B.:

• im Zähler mit der Nullstelle $s_{n}$ der Linearfaktor $s-s_{n}$ und
• im Nenner mit dem Pol $s_{p}$ der Linearfaktor $s-s_{p}$ gebildet werden.

Weil die Nullstellen aus zu Null gesetzten Polynomen berechnet werden, muss sichergestellt werden, dass keine Faktoren gekürzt worden sind. Es empfiehlt sich eine Prüfung vorzunehmen, ob die Pol- Nullstellendarstellung (= Produktdarstellung) durch Ausmultiplizieren auch mit dem Polynom identisch ist.

Eine Nullstelle des Zählerpolynoms s_n oder ein Pol des Nennerpolynoms s_p kann folgende drei stabile Formen von Zahlenwerten einnehmen:

• {s_n; s_p} = 0, (Absolutglied $a_{0};b_{0}$ des Polynoms fehlt),
• {s_n; s_p} = $-\delta$ (reeller Wert der Pole und Nullstellen),
• {s_n; s_p} = $-\delta \pm j\omega$ (konjugiert komplexer Wert der Pole oder Nullstellen).

Sind die Realteile von Nullstellen und Polen negativ, handelt es sich um ein stabiles System. Negative Realteile der Pole bedeuten asymptotische Stabilität des Teilsystems.

Bei reellen Nullstellen entsteht der Produktterm 1. Ordnung $s-s_{p}$. Ist der Wert der Nullstelle s_p negativ, lässt sich dafür auch $s+a$ schreiben, wenn a ein negativer Wert der Nullstelle ist (stabiles System).

Bezeichnet man bei konjugiert komplexen Nullstellen bzw. Polen den Realteil mit $\delta$ und den Imaginärteil mit $\omega$, dann ergeben sich bei Übertragungsfunktionen in der Produktdarstellung bei reellen und konjugiert komplexen Nullstellen und Polen unterschiedliche Gleichungen, die durch die Größe der Zahlenwerte der Koeffizienten der Polynomdarstellung bestimmt werden. Die angegebenen 3 Formen der Linearfaktoren können einfach und mehrfach auftreten.

In der linearen Regelungstechnik und Systemtheorie ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (stabilen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf drei Grundformen geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Die Linearfaktoren haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob sie im Zähler oder im Nenner einer Übertragungsfunktion stehen.

Stehen die Linearfaktoren im Zähler, haben sie eine differenzierende Wirkung, stehen sie im Nenner, haben sie eine verzögernde (speichernde) Wirkung:

Typ Linearfaktor Pol-Nullstellen-Darstellung	Typ Linearfaktor Zeitkonstanten-Darstellung	Bedeutung im Zähler	Bedeutung im Nenner
$G_{1}=s-0=s$ Absolutglied a0 oder b0 fehlt	$G_{1}(s)=s$ Nullstelle oder Pol $\{s_{n1};s_{p1}\}=0$	Differenzierer, D-Glied	Integrator, I-Glied
$G_{2}(s)=s-s_{n}\ oder\ G_{2}(s)=s-s_{p}$ Pole und Nullstellen sind reell Negative Werte = stabile Systeme	$G_{2}(s)=T\cdot s+1$ T = 1 / sn oder T = 1 / sp $\{s_{n2};s_{p2}\}=-\delta \ {\mathrel {\hat {=}}}$ "reelle Zahl"	PD1-Glied	Verzögerung, PT1-Glied
Polynom: $G_{3}(s)=[s-(\delta +j\omega )]\cdot [s-(\delta -j\omega )]$ $=s^{2}-2\cdot \delta \cdot s+\delta ^{2}+\omega ^{2}$ $:=s^{2}-p\cdot s+q=$ mit$\ p=2\cdot \delta$ und $q=\delta ^{2}+\omega ^{2}$	Normalform: $G_{3}(s)=T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1$ T = 1 / sn oder T = 1 / sp $s_{n3_{1}}=-\delta +j\omega ;\ s_{n3_{2}}=-\delta -j\omega$ $s_{p3_{1}}=-\delta +j\omega ;\ s_{p3_{2}}=-\delta -j\omega$	PD2-Glied: für -1 < D < 1 mit konjugiert komplexen Nullstellen	Schwingungsglied PT2-Glied: für -1 < D < 1 mit konjugiert komplexen Polen

Dabei ist T die Zeitkonstante, s die komplexe Frequenz, D der Dämpfungsgrad.

Globales Systemverhalten

Die Linearfaktoren in der Pol- Nullstellen-Darstellung mit den Bezeichnungen s_n und s_p müssen negativen Zahlenwerten entsprechen, wenn es sich um sogenannte phasenminimale (stabile) Systeme handelt. Dies kann zu Missverständnissen führen, deshalb werden anstelle der Bezeichnungen der Pole und Nullstellen Hilfsgrößen eingeführt (wie a, b, c. ...), die negativen Zahlenwerten entsprechen. Daraus folgt, dass die Linearfaktoren in der Pol-Nullstellen-Darstellung z. B. (s + a) mit a einen positiven Zahlenwert darstellen, die zugehörigen Pole s_p oder Nullstellen s_n des Linearfaktors negativen Zahlenwerten entsprechen.

Beispiel: Bestimmung des Pols eines Linearfaktors G(s) = s + 3 im Nennerpolynom:

$s+3=0;\quad s\ {\mathrel {\hat {=}}}\ s_{p}=-3$

Sind Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in der Polynomdarstellung gegeben, können mit verschiedenen Methoden, wie mit der pq-Formel $x^{2}+px+q=0$ für Systeme zweiter Ordnung, oder fertige im Internet verfügbare Programme bis 4. Ordnung mit dem Aufruf - "Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen" - die Pole und Nullstellen bestimmt werden.

Für Systeme mit Polynomen 2. Ordnung der Form $s^{2}+p\cdot s+q=0\,$ errechnen sich die Nullstellen bzw. die Pole:

$s_{p1;2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

Wenn das Polynom 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen $(s^{2}-2\cdot \delta \cdot s+\delta ^{2}+\omega ^{2})=0$ in die Form zur Lösung einer gemischt quadratischen Gleichung gebracht wird, lassen sich die Nullstellen für p und q durch Faktorenvergleich bestimmen. $p=2\cdot \delta$ wird positiv, wenn negative Realteile von $s_{p}$ oder $s_{n}$ vorliegen.

Die Pol- Nullstellendarstellung der Übertragungsfunktion für ein asymptotisch stabiles System enthält immer positive Zahlenwerte, was voraussetzt, dass die Pole und Nullstellen negative Realteile enthalten.

Wenn in einer systembeschreibenden Differenzialgleichung oder in der zugehörigen Übertragungsfunktion aus der geschlossenen Reihenfolge der Ableitungen bestimmte Koeffizienten fehlen, bzw. zu Null gesetzt sind, ergibt sich für das Gesamtverhalten im Zeitbereich folgendes typische Systemverhalten:

• Beispiel einer Übertragungsfunktion der Polynomdarstellung und der Zerlegung in die Pol-Nullstellen-Darstellung mit reellen Linearfaktoren:

$G_{1}(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}:=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}$

Sind in der Polynomdarstellung alle Ableitungen und zugehörige Koeffizienten lückenlos mit positivem Vorzeichen vorhanden, stellt die Übertragungsfunktion für die Exponenten n > m ein zeitverzögerndes asymptotisch stabiles System dar. Werden negative Werte der Pole und Nullstellen eingesetzt, entstehen positive Linearfaktoren.

Das Gesamtsystem wird als "globales proportionales Systemverhalten" bezeichnet.

• Beispiel einer Übertragungsfunktion der Polynomdarstellung ohne Absolutglied im Nennerpolynom und der Zerlegung in die Pol-Nullstellen-Darstellung mit reellen Linearfaktoren:

Der Term der gewöhnlichen Differenzialgleichung oder eines transformierten Polynoms im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion mit den Koeffizienten $a_{0}$ und $b_{0}$ wird allgemein als Absolutglied bezeichnet. Für $a_{0}=0$ oder $b_{0}=0$ gilt:

$G(s)=s-0=s$

Linearfaktor ohne Absolutglied $a_{0}$ des Polynoms im Nenner, Pol $s_{p1}=0$.

$G_{2}(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{1}s}}:=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{s(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}$

Fehlt das Absolutglied a₀ im Nennerpolynom (a₀ = 0), kann die Variable s aus dem Nennerpolynom ausgeklammert werden. Dieses Gesamtverhalten des Systems wird als "globales integrierendes Systemverhalten" bezeichnet. Fehlt das Absolutglied b₀ im Zählerpolynom (b₀ = 0), kann die Variable s aus dem Zählerpolynom ausgeklammert werden. Dieses Gesamtverhalten des Systems wird als "globales differenzierendes Systemverhalten" bezeichnet.

• Beispiel einer Übertragungsfunktion in der Pol-Nullstellen-Darstellung mit einem konjugiert komplexen Pol im Nennerpolynom:

Bei dynamischen Systemen 2. Ordnung (z.B. Feder-Masse-Dämpfungssystem) oder bei Systemen 1. Ordnung, die eine positive Rückführung enthalten (Regelkreise), kann ein Energieaustausch stattfinden. Solche Systeme mit konjugiert komplexen Lösungen der Pole und Nullstellenkönnen können in einem Gesamtsystem enthalten sein und treten immer paarweise - meist im Nenner der Übertragungsfunktion - mit einem identischen Realteil $\delta$ auf.

$s_{n1}=-\delta +j\omega$ $\$ und $\$ $s_{n2}=-\delta -j\omega \,$, oder zusammengefasst

$s_{n1;2}=-\delta \pm j\omega$

Die Polynome mit konjugiert komplexen Nullstellen werden zur einfacheren Berechenbarkeit zu quadratischen Termen zusammengefasst, in denen nur reelle Koeffizienten auftreten. Deshalb lässt sich ein Elementarsystem 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen und Nullstellen nicht in 2 Linearfaktoren 1. Ordnung mit nur reellen Koeffizienten zerlegen.

$G_{3}(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}:=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{[s-(\delta +j\omega )]\cdot [s-(\delta -j\omega )]\dotsm (s-s_{pn})}}$

Wird der Klammerausdruck mit den komplexen Größen im Nenner aufgelöst, entsteht:

$G(s)=[s-(\delta +j\omega )]\cdot [s-(\delta -j\omega )]=s^{2}-2\cdot \delta \cdot s+\delta ^{2}+\omega ^{2}\ :=s^{2}-p\cdot s+q\ {\bigg |}\qquad p=2\cdot \delta$ und $q=\delta ^{2}+\omega ^{2}$

$G_{3}(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}:=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s^{2}-2\cdot \delta \cdot s+\delta ^{2}+\omega ^{2})\dotsm (s-s_{pn})}}:=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s^{2}-p\cdot s+q)\dotsm (s-s_{pn})}}$

Sind in der Polynomdarstellung alle Ableitungen und zugehörige Koeffizienten lückenlos mit positivem Vorzeichen vorhanden, stellt diese Übertragungsfunktion für die Exponenten n > m und einem Polynom mit konjugiert komplexen Polen ein zeitverzögerndes asymptotisch stabiles, gedämpft schwingendes System dar.

Zeitkonstantendarstellung

Es existieren 2 faktorielle Darstellungsformen, die Pol-Nullstellen-Darstellung und die Zeitkonstanten-Darstellung. Die Zeitkonstanten-Darstellung hat einen höheren Anschauungswert und den Vorteil, dass bei Änderung der Zeitkonstante sich die Systemverstärkung nicht ändert.

Die Zeitkonstanten-Darstellung errechnet sich direkt aus der Pol-Nullstellendarstellung, indem der Produktterm so umgeformt wird, dass beide Formen mathematisch identisch sind: $s+a=a\cdot ({\tfrac {1}{a}}\cdot s+1)=a\cdot (T\cdot s+1)$ mit $T=1/a$. Der Produktterm s - s_n wird so umgestellt, dass der Reziprokwert 1/s_n = T gebildet wird.

Der Produktterm in der Zeitkonstanten-Darstellung mit negativem Wert der Polstelle s_P (Term im Nenner asymptotisch stabiles System) lautet damit:

$\underbrace {(s-s_{n})} _{\text{Produktterm}}\ :=\underbrace {(s+a)} _{\text{Produktterm}}=\ \underbrace {a\cdot ({\frac {1}{a}}\cdot s+1)} _{a={\text{negativer Wert}}}\quad :=\underbrace {K\cdot (T\cdot s+1)} _{\text{Zeitkonstanten-Darstellung}}\qquad {\bigg |}\quad a=negativerNullstellenwert$

Bei der Zeitkonstantendarstellung des Linearfaktors werden die Terme positiv dargestellt. Dies setzt voraus, dass die Realanteile der zugehörigen Nullstellen und Pole negativ sind.

Dabei bedeutet a eine Hilfsgröße für die negative Nullstelle (-s_n) oder Polstelle (-s_p).

Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung mit dem Linearfaktor 1. Ordnung mit Absolutglied eines phasenminimalen Systems:

$G(s)={\frac {b_{0}\cdot s_{n1}\cdot s_{n2}\dotsm s_{nm}\cdot ({\frac {1}{s_{n1}}}\cdot s+1)({\frac {1}{s_{n2}}}\cdot s+1)\dotsm ({\frac {1}{s_{nm}}}\cdot s+1)}{a_{0}\cdot s_{p1}\cdot s_{p2}\dotsm s_{pn}\cdot ({\frac {1}{s_{p1}}}\cdot s+1)({\frac {1}{s_{p2}}}\cdot s+1)\dotsm ({\frac {1}{s_{pn}}}\cdot s+1)}}=$

$G(s)={\frac {K\cdot (T_{V1}\cdot s+1)(T_{V2}\cdot s+1)\dotsm (T_{Vm}\cdot s+1)}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\dotsm (T_{n}\cdot s+1)}}$ Globales Proportionalverhalten für $m<n$ und $t\to \infty$.

Vorteil der Zeitkonstanten-Darstellung

• Das Zeitverhalten ist direkt ablesbar.
• Die statische Verstärkung ändert sich nicht, wenn eine Zeitkonstante geändert wird.

Zeitliches Verhalten in Abhängigkeit von der Pol-Nullstellen-Anzahl

Je nach Anzahl der Pole $n$ und Nullstellen $m$ einer Übertragungsfunktion ergibt sich folgendes Systemverhalten für Linearfaktoren 1. Ordnung mit Absolutglied:

• $m<n$

Bei dieser Übertragungsfunktion ist das Systemverhalten im Zeitbereich bei Polüberschuss definiert. Die Sprungantwort $y(t)$ nähert sich asymptotisch dem Maximum.

• $n=m$

Bei gleicher Anzahl von Polen und Nullstellen hängt das Systemverhalten von der Größe der Zeitkonstanten ab. Die Sprungantwort kann ein differenzierendes oder verzögerndes Verhalten zeigen.

• $m>n$

Nullstellenüberschuss ist technisch nicht realisierbar.

Tabelle wichtiger regulärer (phasenminimaler) Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung:

Übertragungsfunktion G(s)	$K$	${\frac {1}{T\cdot s}}$	$T\cdot s$	$K_{PD1}(T\cdot s+1)$	${\frac {K_{PT1}}{T\cdot s+1}}$	${\frac {K_{PT2}}{T^{2}s^{2}+2DTs+1}}$	$K_{T_{t}}\cdot e^{-T_{t}\cdot s}$
Übergangsfunktion (Sprungantwort)
Benennung	P-Glied	I-Glied	D-Glied	PD1-Glied	PT1-Glied	PT2-Glied	Totzeitglied

Die praktische Bedeutung des Linearfaktors 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Nullstellen im Zähler der Übertragungsfunktion liegt z. B. in der Anwendung als Vorfilter. Ein PD2_KK-Glied im Eingang eines Regelkreises kann das gedämpfte Schwingungsverhalten der Regelgröße (Einschwingvorgang) vollständig kompensieren.

Verstärkungsfaktor K

Erst durch die Kenntnis der Produktform mit Linearfaktoren ist eine Rücktransformation des Systemverhaltens in den Zeitbereich möglich.

In den Laplace-Transformationstabellen zur Berechnung des System-Zeitverhaltens werden für die Linearfaktoren in der Pol-Nullstellen-Darstellung die Werte von Polen und Nullstellen meistens die Buchstaben $a,b,c,\dotsc$ verwendet. In der Zeitkonstanten-Darstellung treten anstelle der Nullstellen und Pole deren Reziprokwerte als Zeitkonstanten. In beiden Darstellungsformen sind Faktoren zu berücksichtigen, die im s-Bereich und Zeitbereich identisch sind, d. h. nicht transformiert werden.

Die Verstärkungsfaktoren der Pol-Nullstellen-Darstellung $k$ und der Zeitkonstanten-Darstellung $K$ sind unterschiedlich. Da sich die Verstärkungsfaktoren aus der Polynomdarstellung der Übertragungsfunktion errechnen, müssen im Falle der Rückrechnung der beiden Formen in die Polynom-Darstellung identische Polynome ergeben.

• Der Verstärkungsfaktor der Pol-Nullstellen-Darstellung $k=b_{m}/a_{n}$ errechnet sich aus den Koeffizienten der Polynom-Darstellung.

Wenn sich in der Pol-Nullstellen-Darstellung ein Pol oder Nullstelle ändert, dann ändert sich auch die Verstärkung $k$.

• Der statische Verstärkungsfaktor $K$ der Zeitkonstanten-Darstellung berechnet sich aus $K=b_{0}/a_{0}$ der Polynom-Darstellung oder mit den Polen und Nullstellen aus der Pol-Nullstellen-Darstellung. Siehe Tabelle!

Wenn sich in der Zeitkonstanten-Darstellung eine Zeitkonstante ändert, bleibt die statische Verstärkung $K$ konstant.

Maximal existieren drei unterschiedliche Linearfaktoren für phasenminimale Übertragungssysteme. Bei nichtphasenminimalen Systemen mit Absolutglied (positive Pole und / oder Nullstellen) existieren 2 weitere Linearfaktoren, die sich an dem negativen Vorzeichen erkennen lassen.

Phasenminimumsysteme und Nichtphasenminimumsysteme

Ein Phasenminimumsystem kann aus mehreren Teilsystemen bestehen und hat für einen gegebenen Amplitudengang eine minimale Phasenverschiebung. Bei Phasenminimumsystemen besteht zwischen Amplitudengang und Phasengang ein eindeutiger Zusammenhang.

• Phasenminimumsysteme sind Systeme ohne Totzeit, deren rationale Übertragungsfunktionen G(s) keine Pole und keine Nullstellen in der rechten s-Halbebene haben.
• Nicht alle Phasenminimumsysteme sind stabil. Sie erfüllen alle den Begriff der "Internen Stabilität" aber nicht alle sind "Extern stabil".
• Nichtphasenminimale Systeme haben ein Minuszeichen in der Übertragungsfunktion.
• Nichtphasenminimumsysteme enthalten eine Totzeit oder Pole oder Nullstellen in der rechten s-Halbebene.
• Nichtphasenminimumsysteme mit Polen in der rechten s-Halbebene sind instabile Systeme. Dieses System reagiert auf ein Eingangssignal mit einem unbeschränkten Ausgangssignal.
• Nichtphasenminimumsysteme mit Polen in der rechten s-Halbebene und Phasenminimumsysteme sind relativ leicht zu regeln.
• Nichtphasenminimumsysteme mit Nullstellen in der rechten s-Halbebene (Allpass-Systeme) sind stabile Systeme aber sehr schwierig zu regeln.
• Nullstellen in Phasenminimumsystemen und Nichtphasenminimumsystemen haben Einfluss auf die Amplituden der Ausgangssignale. Pole bestimmen das Zeitverhalten.

Sprungantwort der Linearfaktoren im Nenner der Übertragungsfunktion.

Zeitverhalten der Linearfaktoren für ein gegebenes Eingangssignal u(t)

Das Zeitverhalten der drei Formen der Linearfaktoren im Nenner der Übertragungsfunktion ist für gleiche Zahlenwerte der Zeitkonstanten im nebenstehenden Diagramm als Sprungantwort des normierten Eingangssignal $U(s)=1/s$ dargestellt. Dem Linearfaktor PT2_KK-Glied mit den konjugiert-komplexen Polen (Schwingungsglied) wurde ein willkürlich bestimmter Wert der Dämpfung mit $D=0{,}25$ vorgegeben. Wenn die Dämpfung $D\geq 1$ beträgt, ergeben sich zwei reelle Pole, und das Nenner-Polynom lässt sich in zwei PT1-Verzögerungsglieder aufspalten.

Rampenantwort der Linearfaktoren im Zähler der Übertragungsfunktion.

Das Zeitverhalten der drei Formen der Linearfaktoren im Zähler der Übertragungsfunktion mit differenzierender Wirkung ist in dem nächsten Diagramm dargestellt. Differenzierende ideale Systeme ($m>n=$ Nullstellen-Überschuss) kann man nicht als Sprungantwort darstellen, weil die Differenziation eines Sprunges zur Zeit $t=0_{(+)}$ stattfindet.

Die Einheits-Sprungantwort (für $u(t)=1$) eines D-Gliedes ($m>n$ oder $m=n$) verläuft nach der Einschwingzeit auf $y(t)=0$. Die Einheits-Sprungantwort (für $u(t)=1$) eines PD-Gliedes oder PD2-Gliedes ($m>n$ oder $m=n$) verläuft nach der Einschwingzeit auf $y(t)=1$.

Eine Anstiegsfunktion (Rampe) im $s$-Bereich: $U(s)=K_{I}/s^{2}$ und im Zeitbereich: $u(t)=K_{I}\cdot t$ (gewählt: $u(t)=2\cdot t$) eignet sich zur Darstellung des Systemverhaltens (Rampenantwort) mit Nullstellen-Überschuss.

Linearfaktoren mit PD-Verhalten verlaufen nach dem Einschwingen parallel zur Anstiegsfunktion mit steigendem Abstand der Ordnung wie dargestellt. PD2_KK-Glieder mit konjugiert komplexen Nullstellen verlaufen nach dem Einschwingen parallel zur Rampe und nähern sich mit kleiner werdenden Dämpfung der Rampe an. Begründung: Mit kleiner werdender Dämpfung $D\to 0$ nähert sich die Übertragungsfunktion $G_{\text{PD2}}(s)=a\cdot s^{2}+1$ an. Der Term $b\cdot s$ ist in dem Polynom bei $D=0$ verschwunden.

Partialbruch-Darstellung zur Rücktransformation in den Zeitbereich

Mit der Partialbruchzerlegung einer Übertragungsfunktion G(s) in der Pol-Nullstellen-Darstellung wird die faktorisierte Darstellung in additive Teilbrüche überführt, die sich relativ einfach ohne Anwendung von Laplace-Transformationstabellen in den Zeitbereich $f(t)$ übertragen lassen.

Partialbruchzerlegung der Zähler und Nennerpolynome der Übertragungsfunktion

Eine Übertragungsfunktion G(s) als gebrochen-rationale Funktion lässt sich durch die Partialbruchzerlegung in einfache additive Funktionen zerlegen, die einer Parallelschaltung der Teilsysteme entsprechen:

$G(s)=G_{1}(s)+G_{2}(s)+G_{3}(s)+\cdots +G_{n}(s)$

Die Überführung in den Zeitbereich auf einfache bekannte Grundfunktionen der inversen Laplace-Transformation erfolgt durch:

${\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\{G_{1}(s)\}+{\mathcal {L}}^{-1}\{G_{2}(s)\}+{\mathcal {L}}^{-1}\{G_{3}(s)\}+\cdots +{\mathcal {L}}^{-1}\{G_{n}(s)\}$

Dazu muss das Nennerpolynom N(s) einer Übertragungsfunktion G(s) in folgende Form faktorisiert werden. Die Pole der Übertragungsfunktion bestimmen die Partialbrüche:

$G(s)={\frac {Z(s)}{N(s)}}={\frac {Z(s)}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\ldots (s-s_{pn})}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{(s-s_{pi})}}$

Ein Produktterm eines einfachen PT1-Verzögerungsgliedes des Nenners einer Übertragungsfunktion mit der Polstelle a kann unmittelbar in den Zeitbereich überführt werden:

${\frac {1}{s+a}}\ \bullet \!\!-\!\!\circ \ e^{-at}$

Die Nenner der Partialbruchterme im s-Bereich bestimmen das Systemverhalten im Zeitbereich und können auf einfache Laplace-Korrespondenzen zurückgeführt werden. Dabei bedeutet a im s-Bereich einen reellen negativen Wert der Polstelle. Es ergeben sich additive Komponenten der Übertragungsfunktion, deren Signalanteile einer Parallelschaltung von Einzelsystemen entsprechen. Die inverse Transformation der additiven Komponenten f(s) in f(t) ist einfach und hat einen hohen Bekanntheitsgrad.

Ein Systemausgangssignal Y(s) soll in den Zeitbereich y(t) überführt werden:

Die Partialbruchzerlegung dient der einfachen Überführung eines Systemausgangssignals Y(s) in den Zeitbereich y(t) für ein gegebenes Eingangssignal U(s). Deshalb bezieht sich die Partialbruchzerlegung auf das Produkt G(s)*U(s).

Bei der Partialbruchzerlegung sind 3 Fälle zu unterscheiden:

• Die Pole sind reell und verschieden
• Die Pole sind reell und gleich
• Die Pole sind konjugiert komplex

Partialbruchzerlegung von Übertragungsfunktionen mit reellen verschiedenen Polen:

Das Systemausgangssignal y(t) ergibt sich durch die Suchfunktion der Laplace-Transformationstabellen Y(s) = G(s) * U(s).

U(s) kann z. B. ein Testsignal als Impulsfunktion, Sprungfunktion oder Anstiegsfunktion sein.

$y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\cdot U(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\{G_{1}(s)\cdot U(s)\}+{\mathcal {L}}^{-1}\{G_{2}(s)\cdot U(s)\}+{\mathcal {L}}^{-1}\{G_{3}(s)\cdot U(s)\}+\cdots +{\mathcal {L}}^{-1}\{G_{n}(s)\cdot U(s)\}$

$Y(s)={\frac {Z(s)}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\ldots (s-s_{pn})}}={\frac {A_{1}}{s-s_{p1}}}+{\frac {A_{2}}{s-s_{p2}}}+\ldots +{\frac {A_{n}}{s-s_{pn}}}$

Die Residuen A_i lauten:

$A_{i}=\left.[G(s)\cdot (s-s_{pi})]\right|_{s=s_{pi}}\,$

Lösung im Zeitbereich

$y(t)=A_{1}\cdot e^{s_{p1}\cdot t}+A_{2}\cdot e^{s_{p2}\cdot t}+\ldots +A_{n}\cdot e^{s_{pn}\cdot t}$

Anwendungsbeispiel der Partialbruchzerlegung einer Übertragungsfunktion G(s) mit 2 PT1-Gliedern

Beispiel: Übertragungsfunktion ohne differenzielle Anteile (Nullstellen).

Das Eingangssignal U(s) = 1/s ist ein normierter Eingangssprung f(t) = 1:

Fall: Die Pole sind reell und verschieden! Das Produkt U(s) * G(s) wird mittels der Partialbruchzerlegung von der Reihendarstellung der Einzelkomponenten in eine Paralleldarstellung zerlegt: $Y(s)={\frac {6}{s\cdot (s+2)\cdot (s+4)}}={\frac {A_{1}}{s}}+{\frac {A_{2}}{s+2}}+{\frac {A_{3}}{s+4}}$ Die Gleichung der Lösung der Residuen lautet: $A_{i}=\left.[G(s)\cdot (s-s_{pi})]\right|_{s=s_{pi}}\,$ $A_{1}=\left.{\frac {6}{(s+2)\cdot (s+4)}}\right|_{s=0}=0{,}75$ $A_{2}=\left.{\frac {6}{(s)\cdot (s+4)}}\right|_{s=-2}=-1{,}5$ $A_{3}=\left.{\frac {6}{(s)\cdot (s+2)}}\right|_{s=-4}=0{,}75$ Daraus folgt: $Y(s)={\frac {6}{s\cdot (s+2)\cdot (s+4)}}={\frac {0{,}75}{s}}+{\frac {-1{,}5}{s+2}}+{\frac {0{,}75}{s+4}}$ Damit erhält man durch die inverse Transformation einfacher Komponenten des s-Bereichs die Gleichung der Ausgangsgröße y(t) für den Zeitbereich: ${\underline {\underline {y(t)=0{,}75-1{,}5\cdot e^{-2\cdot t}+0{,}75\cdot e^{-4\cdot t}}}}\,$

Anmerkung: Die unbekannten Parameter A₁ bis A_n lassen sich auch durch Koeffizientenvergleich ermitteln!

Frequenzgang und Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion

Die Übertragungsfunktion G(s) ist eine abstrakte nicht messbare Form der Systembeschreibung zur mathematischen Behandlung linearer dynamischer Systeme. Sie bestimmt das Eingangs-Ausgangssignal-Verhalten eines Übertragungssystems für beliebige Eingangssignale im komplexen Frequenzbereich. Die Übertragungsfunktion G(s) mit dem Laplace-Operator $s=\delta +j\omega$ kann in Realteil und Imaginärteil oder in Betrag und Phase zerlegt werden.

$G(s)=\operatorname {Re} [G(s)]+j\cdot \operatorname {Im} [G(s)]=|G(s)|\cdot e^{j\cdot \varphi }$

Mit Ausnahme der Anfangsbedingungen enthält die Übertragungsfunktion alle Informationen über ein lineares dynamisches System.

Typische aperiodische Eingangssignale als Testsignale sind Sprungfunktion, Anstiegsfunktion und Impulsfunktion. Für diese aperiodischen Eingangssignale U(s) kann das Systemausgangssignal y(t) im Zeitbereich mit der Suchfunktion G(s) * U(s) über die Laplace-Transformationstabellen bestimmt werden.

Frequenzgang

Der Frequenzgang G(jω) ist eine frequenzabhängige komplexe Größe und beschreibt ein Übertragungssystem im eingeschwungenen Zustand. Er definiert das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsamplitude und berücksichtigt den Phasenwinkel. Er ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion als messbare Beschreibungsform, die zur empirischen Systemidentifikation eines unbekannten linearen technischen Übertragungssystems genutzt werden kann.

Der Frequenzgang kennzeichnet das Verhalten eines Systems mit erzwungener Dauerschwingung und der imaginären Frequenz $s=p=j\omega$ (p = Differenzialoperator).

Wird der Realteil des Laplace-Operators $\delta$ der Übertragungsfunktion G(s) zu Null gesetzt, geht die komplexe Übertragungsfunktion G(s) in den komplexen Frequenzgang

$G(j\omega )=\operatorname {Re} (\omega )+j\cdot \operatorname {Im} (\omega )$ über.

Beide mathematischen Begriffe der Übertragungsfunktion und des Frequenzgangs unterscheiden sich nur durch die Entstehungsweise. Sie können je nach Aufgabenstellung als Übertragungsfunktion im s-Bereich $s=\delta +j\omega$ oder als Frequenzgang mit $s=p=j\omega \,$ geschrieben werden.

Der Frequenzgang eines Übertragungssystems beschreibt das Signalverhalten des Systems für eine Erregung des Systemeingangs mit einer sinusförmigen Frequenz.

System-Eingangssignal:

$u(t)={\hat {u}}\cdot \sin(\omega \cdot t)$

Für ein Eingangssignal u(t) konstanter Amplitude und variabler Kreisfrequenz ω ist die Systemantwort eines zeitabhängigen linearen Systems in Abhängigkeit des Eingangssignals frequenzabhängig und phasenverschoben.

System-Ausgangssignal:

$y(t)={\hat {y}}(\omega )\cdot \sin[\omega \cdot t+\varphi (\omega )]$

Ist der Einschwingvorgang abgeklungen, ändert sich die Systemausgangsgröße mit der gleichen harmonischen Frequenz der Eingangsgröße aber mit einer anderen Amplitude und einer Phasenverschiebung.

Das Verhältnis der Scheitelwerte der Amplituden ${\frac {\hat {y}}{\hat {u}}}$ und die Phasenverschiebung $\varphi$ hängen von der Kreisfrequenz $\omega$ ab.

Herleitung des Frequenzgangs:

Aus dem sinusförmigen Eingangssignal im Zeitbereich $u(t)={\hat {u}}\cdot \sin(\omega \cdot t)$ wird die komplexe Funktion im Frequenzbereich:

$U(j\omega )={\hat {U}}\cdot [\cos(\omega t)+j\cdot \sin(\omega t)]$

Nach der Eulerschen Formel (= Beziehung der trigonometrischen Funktionen mit den Exponentialfunktionen) wird das Eingangssignal:

$U(j\omega )={\hat {U}}\cdot e^{\,j\cdot \omega \cdot t}$

Für das Ausgangssignal gilt in gleicher Weise:

$Y(j\omega )={\hat {Y}}\cdot e^{\,j\cdot (\omega \cdot t+\varphi )}={\hat {Y}}\cdot e^{\,j\cdot \omega \cdot t}\cdot e^{\,j\cdot \varphi }$

Der Frequenzgang G(jω) ergibt sich aus dem Quotient der beiden Gleichungen des Ausgangs- zum Eingangssignal:

$G(j\omega )={\frac {Y(j\omega )}{U(j\omega )}}={\frac {{\hat {Y}}\cdot e^{\,j\omega t}\cdot e^{\,j\varphi }}{{\hat {U}}\cdot e^{\,j\omega t}}}={\frac {\hat {Y}}{\hat {U}}}\cdot e^{j\varphi }$

Der Frequenzgang G(jω) eines Übertragungssystems gibt das Verhältnis der sinusförmigen Ausgangsschwingung zur sinusförmigen Eingangsschwingung in der komplexen Form für alle Werte der Kreisfrequenzen ω an. Der Betrag |G(jω)| ist ein Maß für die Amplitudenänderung in Abhängigkeit von ω.

Der Frequenzgang wird entweder in Real- und Imaginärteil:

$G(j\omega )=\operatorname {Re} [G(j\omega )]+j\cdot \operatorname {Im} [G(j\omega )]$

oder in Betrag und Phase angegeben:

$G(j\omega )=|G(j\omega )|\cdot e^{j\cdot \varphi }$

Herleitung des Frequenzgangs aus der Übertragungsfunktion

Der Frequenzgang kann aus der systembeschreibenden Differenzialgleichung, aus der Übertragungsfunktion oder über empirische Messungen eines linearen Hardware-Systems mit sinusförmiger Erregung und der Systemantwort bestimmt werden.

Die Herleitung des Frequenzgangs G(jω) aus der Übertragungsfunktion G(s) ist besonders einfach. Der Frequenzgang geht durch den Grenzübergang mit s → jω aus der Übertragungsfunktion hervor. Es muss nur $j\omega$ gegen $\delta +j\omega$ ausgetauscht werden.

${\begin{aligned}G(j\omega )=\lim _{s\to j\omega }\end{aligned}}\ G(s)$

Übertragungsfunktion G(s) eines linearen Übertragungssystems in der Zeitkonstantendarstellung

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=K\cdot {\frac {(T_{V1}\cdot s+1)(T_{V2}\cdot s+1)\dotsm (T_{Vm}\cdot s+1)}{(T_{1}\cdot s+1)(T_{2}\cdot s+1)\dotsm (T_{n}\cdot s+1)}}$

Frequenzgang G(jω) eines linearen Übertragungssystems in der Zeitkonstanten-Darstellung

$G(j\omega )={\frac {Y(j\omega )}{U(j\omega )}}=K\cdot {\frac {(T_{V1}\cdot (j\omega )+1)(T_{V2}\cdot (j\omega )+1)\ldots (T_{Vm}\cdot (j\omega )+1)}{(T_{1}\cdot (j\omega )+1)(T_{2}\cdot (j\omega )+1)\ldots (T_{n}\cdot (j\omega )+1)}}$

Grafische Darstellung des Frequenzgangs (Kurzdarstellung)

Ortskurve des Frequenzgangs für 3 PT1-Verzögerungsglieder.

Ortskurve

Der Wert des Frequenzgangs für (jω) ist eine komplexe Größe mit einem Real- und Imaginärteil.

Für die Ermittlung der Ortskurve wird der Frequenzgang in Realteil und Imaginärteil zerlegt und für verschiedene Frequenzen in der Gaußschen Zahlenebene eingetragen.

$G(j\omega )=\operatorname {Re} [G(j\omega )]+j\cdot \operatorname {Im} [G(j\omega )]\,$

Bodediagramm

Eine häufige Anwendung ist die grafische Beurteilung des Frequenzgangs durch Zerlegung in Betrag und Phase. Dabei werden die Frequenzganggleichungen in Produktform mit „Kompensationsgliedern“ z. B. mit dem konjugiert komplexen Wert eines Produktes im Zähler und Nenner so erweitert, dass der Realteil und Imaginärteil getrennt dargestellt werden können.

Es wird eine Wertetabelle aufgestellt, bei der für den Realteil und für den Imaginärteil der Frequenzganggleichung G(jω) mehrere Werte als Funktion der Kreisfrequenz ω berechnet werden.

Der mit Amplitudengang bezeichnete Betrag G(jω) lautet:

$|G(j\omega )|={\sqrt {(\operatorname {Re} {[G(j\omega )])}^{2}+{(\operatorname {Im} {[G(j\omega )}])}^{2}}}$

Der Phasengang (jω) lautet:

$\varphi (j\omega )=\arctan {\frac {\operatorname {Im} [G(j\omega )]}{\operatorname {Re} [G(j\omega )]}}$

Bodediagramm eines PT₂-Schwingungsgliedes
(K = 2, T = 1; Varianten: D = 0,2; D = 1; D = 5).

Prinzipielle Anwendung des Frequenzgangs für den Reglerentwurf

• Bodediagramm zur Stabilitätsbetrachtung

Betrag und Phasenwinkel des Frequenzgangs des offenen Kreises werden in 2 getrennten Diagrammen aufgetragen, als Amplitudengang und Phasengang. Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die nacheilende Phasenverschiebung φ vom Ausgangs- zum Eingangssignal des offenen Kreises bei der Kreisverstärkung K = 1 und φ > −180° beträgt.

Die Ermittlung der Stabilität eines Übertragungssystems mit dem Bodediagramm dient dem mathematischen Systemverständnis, hat aber heutzutage keine Bedeutung mehr. Mit geeigneten Rechenprogrammen kann das Systemverhalten für ein Test-Eingangssignal direkt im Zeitbereich dargestellt werden.

• Bodediagramm zur Systemanalyse

Das Bodediagramm kann für die Systemanalyse eines linearen unbekannten dynamischen Systems benutzt werden, indem das unbekannte System mit einer elektrischen Spannung mit variabler sinusförmiger Frequenz konstanter Amplitude erregt und die Systemantwort gemessen wird. Mit Hilfe des Bodediagramms können die Eckfrequenzen und damit auch die Übertragungsfunktion G(s) und gegebenenfalls auch eine vorhandene Totzeit über den Phasengang festgestellt werden.

• Ortskurve zur Stabilitätsbetrachtung

Die Frequenzganggleichung des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. In Richtung steigender Werte von ω darf der kritische Punkt (-1; j0) auf der linken (negativen) Seite der Achse der Realteile nicht umschlungen bzw. berührt werden, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil.

Die Ermittlung der Stabilität eines Übertragungssystems mit der Ortskurve des Frequenzgangs dient dem mathematischen Systemverständnis, hat aber für die Stabilitätsbetrachtung keine Bedeutung mehr.

Grundlagen Mehrgrößensysteme

Industrielle Prozesse können unterschiedliche abgegrenzte dynamische Systeme enthalten, die untereinander vermascht sind und mehrere Ausgangssignale und Eingangssignale haben. Solche Systeme werden im Gegensatz zu Eingrößensystemen als Mehrgrößensysteme bezeichnet. Die zugehörigen Übertragungsfunktionen stellen sich als Grafik symbolisch durch einen Block dar. Die Pfeile an den Ein- und Ausgängen eines Blockes zeigen die Richtung und die Verknüpfung des Signalflusses an. Das Gesamtsystem entspricht einem mathematischen Modell.

Blockdiagramm eines Mehrgrößensystems in Matrix / Vektor-Darstellung.

Hat ein Gesamtsystem beispielsweise je 2 Ein- und Ausgänge, deren Teilsysteme miteinander additiv vermascht sind, so kann die Übertragungsfunktion als Übertragungsmatrix geschrieben werden. Es werden P-kanonische und V-kanonische Strukturen unterschieden.

In Matrix-Vektor-Schreibweise ergibt sich folgende Darstellung als Übertragungsmatrix:

${\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{11}(s)&G_{12}(s)\\G_{21}(s)&G_{22}(s)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\\end{bmatrix}}$

Allgemein lässt sich ein Mehrgrößensystem z. B. eine Regelstrecke mit beliebiger Anzahl von Eingängen (Stellgrößen) und Ausgängen (Regelgrößen) durch folgende Matrixgleichung beschreiben:

${\underline {Y}}(s)={\underline {G}}(s)\cdot {\underline {U}}(s)\,$

Die genannten Größen haben folgende Bedeutung:

• ${\underline {Y}}(s)\,$ = Ausgangsgrößenvektor,
• ${\underline {G}}(s)\,$ = Strecken-Übertragungsmatrix,
• ${\underline {U}}(s)\,$ = Eingangsgrößenvektor.

Anwendung der Korrespondenztabelle $F(s)\bullet \!\!-\!\!\circ f(t)$ der Laplace-Transformation

Einschwingvorgänge dynamischer Systeme, die sich im Ruhezustand befinden und in einen bewegten Zustand überführt werden, können durch Differenzialgleichungen beschrieben werden. Ein wirksames Mittel, diese Differenzialgleichungen zu lösen, ist die Laplace-Transformation für den Fall leerer Energiespeicher (Anfangswerte = 0). Mit der Durchführung der Laplace-Transformation entsteht die Übertragungsfunktion mit G(s) = Y(s) / U(s) als das Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße im sogenannte Bildbereich (s-Bereich). G(s) ist eine algebraische Gleichung in Form einer gebrochen-rationalen Funktion. Die Rücktransformation vom Bildbereich F(s) in den Zeitbereich f(t) wird als inverse Laplace-Transformation bezeichnet.

Die Korrespondenztabellen der Laplace-Transformation geben je nach Ausführlichkeit die Lösung der inversen Transformation vom Bildbereich in den Zeitbereich für zahlreiche Formen der Übertragungsfunktionen wieder. Das Zeitverhalten für die Systemausgangsgröße y(t) eines dynamischen linearen Übertragungssystems kann für ein gegebenes Eingangssignal u(t) aus den Laplace-Korrespondenztabellen für die entsprechende Funktion im Bildbereich F(s) (Produkt $G(s)\cdot U(s)$) für den Zeitbereich f(t) bestimmt und berechnet werden.

Diese Korrespondenztabellen können im Fachbuchhandel erworben werden, stehen aber im eingeschränkten Umfang in fast jedem Fachbuch der Mathematik oder der Regelungstechnik zur Verfügung. Die korrespondierenden Gleichungen f(t) höherer Ordnung mit konjugiert komplexen Polen und Nullstellen sind zur leichteren Berechenbarkeit in mehrere Gleichungen aufgeteilt, weshalb in der Fachliteratur leider häufig unterschiedliche Formen und Gleichungssymbole verwendet werden.

Die Funktionen im Bildbereich F(s) der Transformationstafeln sind im Nenner und Zähler der Übertragungsfunktion G(s) als Linearfaktoren in Produktform dargestellt.

• Bei der Produktform der Pol-Nullstellen-Darstellung werden der Einfachheit halber anstelle der Bezeichnungen für Pole und Nullstellen die Anfangsbuchstaben des Alphabetes benutzt und negative Werte als stabile Systeme vorausgesetzt. Diese Buchstaben entsprechen Pole und Nullstellen gleichermaßen und unterscheiden sich als Pole oder Nullstellen dadurch, ob sie im Nenner oder Zähler der Übertragungsfunktion stehen.
• Bei der Produktform als Zeitkonstanten-Darstellung werden die Pole bzw. die Nullstellen mit T = 1 / s_p bzw. T = 1 / s_n umgerechnet. Die dabei entstehenden Faktoren unterliegen keiner Transformation in den Zeitbereich, müssen aber berücksichtigt werden.
• Die Linearfaktoren mit konjugiert komplexen Nullstellen werden zu einem Polynom so umgerechnet, das keine imaginären Größen entstehen.

Linearfaktoren der Laplace-Transformationstabellen

Die Darstellung der Linearfaktoren ist in den Laplace-Korrespondenztabellen ist nicht einheitlich. Sie unterscheiden sich in der Pol- Nullstellendarstellung und insbesondere bei der Produktform mit konjugiert-komplexen Nullstellen. Es existieren in den Laplace-Transformationstabellen zwei verschiedene Schreibweisen in der Zeitkonstanten-Darstellung mit $T=1/\omega _{0}$ und der Frequenzdarstellung mit $\omega _{0}=1/T$. Häufig werden für den Dämpfungsgrad D und im Zeitbereich zur Reduzierung der großen Gleichungen verschiedene griechische Buchstaben für Teillösungen verwendet.

Die korrespondierenden Gleichungen im Zeitbereich mit reellen Polen und Nullstellen sind sehr einfach zu berechnen. Dagegen führt das Produkt der Linearfaktoren mit konjugiert komplexen Nullstellen und Polen zu umfangreichen Gleichungen des Zeitbereichs.

Das Produkt der Linearfaktoren mit konjugiert komplexen Nullstellen oder Polen ist ein Polynom 2. Ordnung, das keine imaginären Anteile enthält und auch nicht in Linearfaktoren ohne imaginäre Größen zerlegbar ist.

Im Zähler und Nenner einer Übertragungsfunktion existieren folgende drei Formen von Linearfaktoren:

• {s_n; s_p} = 0, (Absolutglied $a_{0};b_{0}$ des Polynoms fehlt),
• {s_n; s_p} = $-\delta$ (reeller Wert der Pole und Nullstellen),
• {s_n; s_p} = $-\delta \pm j\omega$ (konjugiert komplexer Wert der Pole oder Nullstellen).

Negative Realteile der Pole bedeuten asymptotische Stabilität des Teilsystems.

Bei reellen Nullstellen oder Polen entsteht der Produktterm 1. Ordnung $s-s_{n}$ oder $s-s_{p}$. Ist der Wert der Nullstelle s_n oder der Pol s_p negativ, lässt sich dafür auch $s+a$ schreiben, wenn a ein negativer Wert der Nullstelle oder Pol ist (stabiles System).

In den Transformationstabellen sind keine negativen Zeichen in den Produktformen der Übertragungsfunktionen enthalten. Die reellen Pole und Nullstellen in den Linearfaktoren werden mit den Anfangsbuchstaben des Alphabetes bezeichnet und entsprechen negativen Realteilen. Negative Zahlenwerte für die Zeichen (a, b, c, ...) würden positive Pole und Nullstellen bedeuten und damit Systeminstabilität.

Die Linearfaktoren in der Pol-Nullstellen-Darstellung der Transformationstabellen für reelle Pole und Nullstellen lauten: s + a.

Die Linearfaktoren in der Pol-Nullstellen-Darstellung der Transformationstabellen für konjugiert komplexe Pole und Nullstellen lauten wie folgt:

Zur Vermeidung imaginärer Größen in den Linearfaktoren werden die konjugiert komplexen Nullstellenpaare bzw. Polepaare multipliziert, damit das imaginäre Symbol $j$ verschwindet $(j^{2}=-1)$. Zur Übersichtlichkeit dieser Rechenoperation wird für den negativen Realteil der Nullstelle s_n bzw. Pol s_p die Hilfsgröße $\alpha$ eingeführt. Der Wert des Imaginärteils bei Polen und Nullstellen bleibt $\omega$.

${\text{Realteil}}\ -\delta :=\alpha ;\qquad {\text{Imaginärteil}}:=\omega$

$[s-(-\delta +j\omega )]\cdot [s-(-\delta -j\omega )]\ :=[s-(\alpha +j\omega )]\cdot [s-(\alpha -j\omega )]\ =s^{2}+2\cdot \alpha \cdot s+\alpha ^{2}+\beta ^{2}\ :=s^{2}+p\cdot s+q\ {\bigg |}\qquad mit\ p=2\cdot \alpha ;\ q=\alpha ^{2}+\omega ^{2}$

Damit entstehen keine negative Zeichen in der Pol-Nullstellen-Darstellung des Polynoms.

Tabelle der drei Formen der Linearfaktoren in den Transformationstabellen

Linearfaktoren Ordnung des Polynoms	Pol-Nullstellen-Darstellung	Zeitkonstanten-Darstellung
Linearfaktor ohne Absolutglied $a_{0}$ oder $b_{0}$ der DGL	$s+0=s\,$	$s$
Linearfaktor (Reeller Pol oder Nullstelle)	$s+a\,$ (a; b; c...) entsprechen negativen Werten der Pole oder Nullstellen	$T\cdot s+1\ {\bigg |}\qquad \ mit\ T=1/a$. Verstärkungsfaktoren K unterliegen nicht der Transformation.
Polynom 2. Ordnung Produkt zweier Linearfaktoren mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen	$[s-(\alpha +j\omega )]\cdot [s-(\alpha -j\omega )]=$ $=s^{2}+2\cdot \alpha \cdot s+\alpha ^{2}+\omega ^{2}$ $:=s^{2}+p\cdot s+q$ $mit\ p=2\cdot \alpha ,\ q=\alpha ^{2}+\omega ^{2}$	Normalform im Nenner oder Zähler: $T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1\ {\bigg |}\qquad {\text{mit}}\ -1<D<1$ Schreibweise mit $\omega _{0}:$ ${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot {\frac {1}{\omega _{0}}}\cdot s+1\ {\bigg |}\qquad {\text{mit}}\ T=1/\omega _{0}$ Beispiel Verzögerungsglied PT2KK: ${\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\cdot D\cdot \omega _{0}\cdot s+\omega _{0}^{2}}}={\frac {1}{{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot {\frac {1}{\omega _{0}}}\cdot s+1}}$

Suchbegriff der Laplace-Korrespondenztabelle

Für die Ermittlung des Zeitverhaltens eines dynamischen Systems wird die Übertragungsfunktion G(s) mit dem transformierten Eingangssignal U(s) multipliziert.

Die direkte Überführung einer Übertragungsfunktion F(s) über die Laplace-Korrespondenztabelle - ohne Multiplikation mit einem transformierten Testsignal - in den Zeitbereich f(t) ist immer die Impulsantwort (Gewichtsfunktion) y(t), weil 1 das transformierte Signal der Impulsfunktion $u_{\delta }(t)\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ U_{\delta }(s)=1$ ist.

Allgemein gilt für die inverse Transformation vom s-Bereich in den Zeitbereich der Suchbegriff:

$y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\underbrace {\left\{G(s)\cdot U(s)\right\}} _{\text{Suchbegriff}}$

Transformierte Eingangssignale

Die üblichen Eingangssignale U(s) als Testsignale sind:

Impulsfunktion (Stoß):

$u_{\delta }(t)\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ U_{\delta }(s)={\mathcal {L}}^{-1}\,\{u_{\delta }(t)\}=1$

Sprungfunktion:

$u_{\sigma }(t)\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ U_{\sigma }(s)={\mathcal {L}}^{-1}\,\{u_{\sigma }(t)\}=1/s$

Anstiegsfunktion (Rampe):

$u_{\alpha }(t)\ \circ \!\!-\!\!\bullet \ U_{\alpha }(s)={\mathcal {L}}^{-1}\,\{u_{\alpha }(t)\}=1/s^{2}$

Korrespondenzen zur Laplace-Transformation (Auszüge)

Laplace-Transformation-Korrespondenztabelle

s-Bereich F(s)	Zeitbereich y(t); t > 0		s-Bereich F(s)	Zeitbereich y(t); t > 0
1	Dirac-Impuls		${\frac {1}{s\cdot (1+T\cdot s)}}$	$1-e^{-{\frac {t}{T}}}$
1 / s	Sprung σ(t) = 1		${\frac {1}{s\cdot (1+T\cdot s)^{2}}}$	$1-(1+{\frac {t}{T}})\cdot e^{-{\frac {t}{T}}}$
1 / s²	Rampe t		${\frac {1}{(1+T_{1}\cdot s)\cdot (1+T_{2}\cdot s)}}\quad T_{1}\neq T_{2}$	${\frac {1}{T_{1}-T_{2}}}\cdot (e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-e^{-{\frac {t}{T_{2}}}})$
${\frac {1}{s+a}}$	$\ e^{-a\cdot t}$		${\frac {1}{s\cdot (1+T_{1}\cdot s)\cdot (1+T_{2}\cdot s)}}\quad T_{1}\neq T_{2}$	$1-{\frac {1}{T_{1}-T_{2}}}\cdot (T_{1}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-T_{2}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{2}}}})$
${\frac {1}{s+a^{2}}}$	$\ t\cdot e^{-a\cdot t}$		${\frac {1+T_{V}\cdot s}{(1+T_{1}\cdot s)\cdot (1+T_{2}\cdot s)}}\quad T_{1}\neq T_{2}$	${\frac {1}{T_{1}-T_{2}}}\cdot \left({\frac {T_{1}-T_{V}}{T_{1}}}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}-{\frac {T_{2}-T_{V}}{T_{2}}}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\right)$
${\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}$	$\sin \,(\omega \cdot t)$		${\frac {1+T_{V}\cdot s}{s\cdot (1+T_{1}\cdot s)\cdot (1+T_{2}\cdot s)}}\quad T_{1}\neq T_{2}$	$1-{\frac {T_{1}-T_{V}}{T_{1}-T_{2}}}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{1}}}}+{\frac {T_{2}-T_{V}}{T_{1}-T_{2}}}\cdot e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}$
${\frac {1}{s\cdot (s^{2}+\omega ^{2})}}$	${\frac {1}{\omega ^{2}}}\cdot (1-\cos \,(\omega \cdot t))$		-	-
${\frac {1}{1+T\cdot s}}$	${\frac {1}{T}}\cdot e^{-{\frac {t}{T}}}$		${\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\cdot D\cdot \omega _{0}\cdot s+\omega _{0}^{2}}}$	${\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega _{e}}}\cdot e^{-D\cdot \omega _{0}\cdot t}\cdot \sin \,(\omega _{e}\cdot t);$ $\omega _{e}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}};\quad -1<D<1$
${\frac {1}{(1+T\cdot s)^{2}}}$	${\frac {1}{T^{2}}}\cdot e^{-{\frac {t}{T}}}$		${\frac {\omega _{0}^{2}}{s\cdot (s^{2}+2\cdot D\cdot \omega _{0}\cdot s+\omega _{0}^{2})}}$	$1-{\frac {1}{\sqrt {1-D^{2}}}}\cdot e^{-D\cdot \omega _{0}\cdot t}\cdot \sin \,(\omega _{e}\cdot t+\phi );$ $\omega _{e}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}};\quad \phi =\arccos \,(D);\quad -1<D<1$

Anmerkung: Die Systemantwort von Übertragungssystemen höherer Ordnung Ordnung mit konjugiert komplexen Polen und Nullstellen sind durch die analytischen Gleichungen f(t) der Laplace-Korrespondenztabellen wegen der zahlreichen trigonometrischen und exponentiellen Funktionen nur sehr zeitaufwendig zu berechnen. Die Anwendung der numerischen Berechnung mit Differenzengleichungen der Teilsysteme mittels eines Computers ist erheblich einfacher.

Berechnungsbeispiele mit den Laplace-Transformationstabellen

Während das Zeitverhalten von dynamischen Systemen mit einfachen Polstellen sich leicht berechnen lässt, sind Übertragungssysteme mit Schwingungsanteilen wie beim PT2_KK-Glied in der Korrespondenztabelle für f(t) manchmal schwierig zu lesen. Manche Korrespondenztabellen für F(s) beziehen sich auf die Pol-Nullstellen-Darstellungen, andere auf die Zeitkonstanten-Darstellungen. Instabile Übertragungsglieder 2. Ordnung mit positiven Nullstellen (d. h. Minuszeichen in der Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung) sind in den Korrespondenztabellen der Fachliteratur selten - praktisch nie - angegeben.

Die grafische Darstellung der Sprungantwort (Übergangsfunktion) eines dynamischen Systems ist die häufigste bekannte Darstellung des System-Zeitverhaltens. Wird die korrespondierende Zeitfunktion in den Laplace-Korrespondenztabellen gefunden, kann durch Einsetzen verschiedener Werte für t das Systemverhalten für ein gegebenes Eingangssignal grafisch dargestellt werden.

Die Anwendung der Impulsantwort (Gewichtsfunktion) hat insbesondere Vorteile bei der Systemanalyse einer empirisch aufgenommenen Impulsantwort einer Regelstrecke durch Modellvergleiche.

Beispiel der Anwendung der Laplace-Korrespondenztabelle für ein dynamisches System mit reellen Polen

Es ist darauf zu achten, dass manche Korrespondenztabellen im s-Bereich in der Pol-Nullstellen- Darstellung oder Zeitkonstanten-Darstellung definiert sind. Verstärkungsfaktoren werden nicht transformiert und sind im s-Bereich und Zeitbereich identisch. Gegeben: Übertragungsfunktion für zwei PT1-Glieder in Reihenschaltung: $G(s)={\frac {1}{(s+a)\cdot (s+b)}}\quad a\not =b$ Eingangssignal: Sprungfunktion U(s) = 1/s Gesucht: Zeitverhalten der Systemausgangsgröße y(t) : $y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\underbrace {\left\{G(s)\cdot U(s)\right\}} _{\text{Suchbegriff}}={\mathcal {L}}^{-1}\underbrace {\left\{{\frac {1}{s\cdot (s+a)\cdot (s+b)}}\right\}} _{\text{Suchbegriff}}\qquad {\text{für}}\quad a\not =b$ Lösung: Übergangsfunktion (Sprungantwort) Die nachfolgende Gleichung für y(t) ergibt sich aus der Korrespondenztabelle: $y(t)={\frac {1}{a\cdot b}}\cdot [1-{\frac {b}{b-a}}\cdot e^{-a\cdot t}+{\frac {a}{b-a}}\cdot e^{-b\cdot t}]$

Anmerkung: Für a ≠ b gelten auch für Zahlenwerte der Pole und Nullstellen, die sich z. B. nur in der 10. Dezimalstelle nach dem Komma unterscheiden, vorausgesetzt es wird genau gerechnet! Diese Anwendung der Korrespondenztabelle ist erheblich einfacher, als die Ermittlung der Residuen (lat.: „das Zurückgebliebene“) über die Partialbruchzerlegung!

Beispiel der Umrechnung des Zeitverhaltens der Pol-Nullstellen-Darstellung zur Zeitkonstanten-Darstellung eines PT1-Gliedes

Die Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes kann als Pol-Nullstellen-Darstellung oder als Zeitkonstanten-Darstellung mit $T=1/a$ gewählt werden. Gegeben: Übertragungsfunktion: $G_{1}(s)={\frac {1}{s+a}}={\frac {\frac {1}{a}}{{\frac {1}{a}}\cdot s+1}}={\frac {T}{T\cdot s+1}}$ Eingangssignal: Impulsfunktion U(s) = 1 Lösung im Zeitbereich: Die zugehörigen Zeit-Impulsfunktion laut Transformations-Korrespondenztabelle lautet: $y_{1}(t)=e^{-a\cdot t}$ Gesucht: Wie lautet das Zeitverhalten $y_{2}(t)$ für die Übertragungsfunktion $G_{2}(s)$, wenn keine Transformationstabelle zur Verfügung steht? $G_{2}(s)={\frac {1}{T\cdot s+1}}={\frac {\frac {1}{T}}{s+{\frac {1}{T}}}}={\frac {a}{s+a}}$ Lösung: Faktoren wie T im Zähler der Übertragungsfunktion $G_{1}(s)$ unterliegen nicht der Transformation. Folglich muss die Zeitfunktion $y_{2}(t)$ in Relation zu $y_{1}(t)$ um den Faktor 1 / T berücksichtigt werden. $y_{2}(t)={\frac {1}{T}}\cdot e^{-{\frac {t}{T}}}=a\cdot e^{-a\cdot t}$

Beispiel des Zeitverhaltens eines PT2_KK-Gliedes mit Schwingeigenschaften:

Gegeben: Normalform der Übertragungsfunktion eines $PT2_{KK}$-Schwingungsgliedes: $G(s)={\frac {1}{T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}$ Eingangssignal: Sprungfunktion U(s) = 1 / s Suchfunktion laut Laplace-Transformationstabellen: $Y(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{(s^{2}+2\cdot D\cdot \omega _{0}\cdot s+\omega _{0}^{2})\cdot s}}={\frac {1}{({\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot {\frac {1}{\omega _{0}}}\cdot s+1)\cdot s}}$ Lösung im Zeitbereich: Durch Faktorenvergleich mit der Normalform können die erforderlichen Parameter wie D, ω0, ωe und Φ für die korrespondierende Gleichung des Zeitverhaltens f(t) berechnet werden. Die zugehörigen Sprungantwort y(t) für ein $PT2_{KK}$-Schwingungsglied laut Korrespondenztabelle f(t) lautet: $y(t)=1-{\frac {1}{\sqrt {1-D^{2}}}}\cdot e^{-D\cdot \omega _{0}\cdot t}\cdot \sin(\omega _{e}\cdot t+\phi )$ ${\text{mit}}\ \ \omega _{e}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}};\quad \omega _{0}={\sqrt {\frac {1}{T^{2}}}};\quad \phi =\arccos(D)$. Ein Übertragungssystem 2. Ordnung mit Proportionalverhalten und Schwingeigenschaften setzt voraus, dass der Dämpfungswert 0 < D < 1 beträgt.

Anmerkung: Die Systemantwort von Übertragungssystemen für Systemen 2. Ordnung und beliebiger höherer Ordnung sind durch die analytischen Gleichungen f(t) der Laplace-Korrespondenztabellen wegen der zahlreichen trigonometrischen und exponentiellen Funktionen nur sehr zeitaufwendig zu berechnen. Die Anwendung der numerischen Berechnung mit Differenzengleichungen der Teilsysteme mittels eines Computers ist erheblich einfacher.

Bedeutung der Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion für das Zeitverhalten

Bedeutung der Lage der Pole und Polpaare bei Verzögerungs-Systemen 1. und 2. Ordnung

Die Nullstellen eines Nennerpolynoms bezeichnet man als Pole. Die Zeitkonstanten-Darstellung einer Übertragungsfunktion errechnet sich aus den Polen und Nullstellen der faktoriellen Darstellung der verschiedenen Linearfaktoren.

Die Pol-Nullstellen-Darstellung und die Zeitkonstanten-Darstellung zeigen einen wesentlichen Unterschied in der Anwendung:

• Die Pole- Nullstellen-Darstellung der Übertragungsfunktion bedeutet für die Änderung von Zahlenwerten der Pole und Nullstellen, dass sich die Verstärkungsfaktoren gleichzeitig ändern.
• Die Zeitkonstanten-Darstellung der Übertragungsfunktion bezieht sich nur auf die Größe der Zeitkonstanten, die Verstärkung K der Übertragungsfunktion ändert sich nicht.

Die Übertragungsfunktion G(s) ist eine Funktion, welche die komplexe Variable $s=\delta +j\omega \,$ auf einen komplexen Wert abbildet. G(s) kann in einen Realteil und einen Imaginärteil zerlegt werden.

$G(s)=\operatorname {Re} [G(s)]\ +\ j\cdot \operatorname {Im} [G(s)]\quad \Vert \qquad {\text{mit}}\quad \operatorname {Re} (s)=\delta ;\quad {\text{und}}\quad \operatorname {Im} (s)=\omega .$

Die Lage der reellen und komplexen Pole und Nullstellen lässt sich im s-Diagramm darstellen.

Die Pole eines Nennerpolynoms einer Übertragungsfunktion sind gleichzeitig die Lösung des Systems. Die Pole bzw. die Lage der Pole im s-Diagramm bestimmen unter anderem das Zeitverhalten und die Stabilität des Systems, die Nullstellen im Zähler der Übertragungsfunktion bestimmen die Größe der Amplituden.

Beispiel des Systemverhaltens 2. Ordnung durch Lage der Pole s_1/2 und der Dämpfung D

Ein Verzögerungsglied 2. Ordnung hat die Übertragungsfunktion:

$G(s)={\frac {1}{T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}$

Wird an Stelle der Zeitkonstante T die Eigenfrequenz ω₀ = 1 / T gesetzt, so entsteht die Übertragungsfunktion:

$G(s)={\frac {1}{{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}\cdot s^{2}+{\frac {2\cdot D}{\omega _{0}}}\cdot s+1}}$

Realteil und Imaginärteil der Pole

Die Pole bzw. Polpaare des PT2-Gliedes lassen sich durch die nachfolgende Gleichung in Realteile und Imaginärteile zerlegen:

$s_{1;2}=-\omega _{0}\cdot D\pm j\cdot \omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}}$

Wie aus der Gleichung sichtbar, sind Realteil und Imaginärteil von ω₀ und D abhängig und können nicht beliebig unabhängig voneinander für eine Übertragungsfunktion gewählt werden. Das Systemverhalten mit Schwingungsanteilen ist durch die Lage der Polpaare im s-Diagramm auf der Re(s)-Achse und Im(s)-Achse bestimmt.

Systemverhalten eines Verzögerungsgliedes 2. Ordnung durch die Größe der Dämpfung

Sind Zahlenwerte der Übertragungsfunktionen eines PT2-Gliedes gegeben, lassen sich daraus der Wert der Zeitkonstante T bzw. ω₀ = 1 / T und die Größe der Dämpfung D bestimmen, die das zeitliche Systemverhalten festlegen. Bedingt durch die Größe des Wertes der Dämpfung D > 0, D = 0 und D < 0 lässt sich die Übertragungsfunktion des PT2-Gliedes in neue Gleichungsformen aufspalten. Aus den Werten ω₀ und D lassen sich die Pole bzw. Polpaare aus der Übertragungsfunktion bestimmen, deren Lage im s-Diagramm eindeutigen Stabilitätskriterien zugeordnet sind.

Folgende Dämpfungswerte bestimmen das Zeitverhalten und die Normalform der Gleichung der Übertragungsfunktion:

• Dämpfung D > 1: $\quad$ $G(s)={\frac {1}{(T_{1}\cdot s+1)\cdot (T_{2}\cdot s+1)}}$

Die Übertragungsfunktion lässt sich in zwei PT1-Glieder mit zwei unterschiedlichen Zeitkonstanten aufspalten. Sie enthält zwei negative reelle Pole.

• Dämpfung D = 1: $\quad$ $G(s)={\frac {1}{(T\cdot s+1)^{2}}}$

Grenzwert für einen Doppelpol. Die Übertragungsfunktion lässt sich in zwei PT1-Glieder mit zwei gleichen Zeitkonstanten aufspalten. Sie enthält einen negativen Doppelpol.

• Dämpfung 0 < D < 1: $\quad$ $G(s)={\frac {1}{T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}$

Die Übertragungsfunktion enthält ein konjugiert komplexes Polpaar mit negativem Realteil. Das System schwingt gedämpft.

• Dämpfung D = 0: $\quad$ $G(s)={\frac {1}{T^{2}\cdot s^{2}+1}}$

Die Übertragungsfunktion hat nur ein Polpaar ohne Realteil. Das System schwingt ungedämpft mit konstanter Amplitude.

• Dämpfung -1 < D < 0: $\quad$ $G(s)={\frac {1}{T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1}}$

Das System ist instabil mit positivem konjugiert komplexem Polpaar. Das System schwingt mit zunehmender Amplitude.

• Dämpfung D = - 1: $\quad$ $G(s)={\frac {1}{(T\cdot s-1)^{2}}}$

Das System enthält einen instabilen positiven reellen Doppelpol. Die Systemantwort steigt progressiv bis zu einer endlichen Begrenzung.

• Dämpfung D = < -1: $\quad$ $G(s)={\frac {1}{(T_{1}\cdot s-1)\cdot (T_{2}\cdot s-1)}}$

Das System enthält zwei instabile positive reelle Pole. Die Systemantwort steigt progressiv bis zu einer endlichen Begrenzung.

Systemverhalten bei Änderung der Realteile und Änderung der Imaginärteile

Nachfolgend wird das System-Zeitverhalten von Systemen des PT1- und des PT2_kk-Gliedern als Funktion der Polstellen-Lage und der Polpaar-Lage von Zahlenwerten im s-Diagramm für Re(s) < 0, Re(s) = 0 und Re(s) > 0 dargestellt.

Zunehmende Zahlenwerte der Lage der Realteile der Polpaare bei konstanten Imaginärteilen in der negativen s-Halbebene:

• Der Dämpfungswert wird größer und damit die Überschwingung kleiner,
• Die Schwingungsperioden bleiben gleich bei konstanten Imaginäranteilen.

Zunehmende Zahlenwerte der Lage der Imaginärteile der Polpaare bei konstanten Realteilen in der negativen s-Halbebene:

• Der Dämpfungswert wird kleiner und damit die Überschwingung größer,
• Die Periodendauer wird kleiner und damit die Schwingfrequenz größer.

Die bekannten algebraischen Gleichungen der Übertragungsfunktionen des PT1- und PT2_kk-Gliedes als Phasenminimum-Systeme ändern ihre Form, wenn positive Pole auftreten und werden zu Nichtphasenminimum-Systemen.

Anmerkung: PT1-, PT2-Verzögerungsglieder mit positiven Polen sind instabil und haben damit kein verzögerndes sondern ein beschleunigendes Zeitverhalten. Ein PT1-Glied - bezeichnet aus den Abkürzungen "Proportional", Zeitkonstante = "T" und "Zahl der Ordnung" - im Zusammenhang mit positiven Polen als instabiles Verzögerungsglied zu bezeichnen, ist trotz der ähnlichen mathematischen Schreibweise nicht korrekt.

Die in der Tabelle dargestellten grafischen Sprungantworten wie auch die nicht dargestellten Impulsantworten sind messbar und berechenbar.

Tabellarische Darstellung der Polstellen- und Polpaar-Lage der Übertragungsfunktionen und des System-Zeitverhaltens für Verzögerungssysteme 1. und 2. Ordnung:

Benennung →	Polstellen- Diagramm	PT1-Glied	I-Glied	PT1-Glied Monoton instab.	PT2KK-Glied Oszillatorisch gedämpft	PT2KK-Glied Oszillat. grenzstabil	PT2KK-Glied Oszillatorisch instabil
Übergangsfunktion → (Sprungantwort)
Polstellenlage → Polstellen →	6 Polstellen- Angaben	Re(s) = -0,5 sp = -0,5	Re(s) = 0 sp = 0	Re(s) = 0,5 sp = 0,5	Re(s) = -0,25 sp1/2 = -0,25 ± j * 1,98	Re(s) = 0 sp1/2 = 0 ± j * 2	Re(s) = 0,25 sp1/2 = 0,25 ± j * 1,98
Übertragungsfunktion → Y(s) = G(s) * 1 / s als Sprungantwort		${\frac {1}{s\cdot (2\cdot s+1)}}$	${\frac {1}{s\cdot s}}$	${\frac {1}{s\cdot (2\cdot s-1)}}$	${\frac {1}{s(0{,}25s^{2}+0{,}125s+1)}}$	${\frac {1}{s\cdot (0{,}25s^{2}+1)}}$	${\frac {1}{s(0{,}25s^{2}-0{,}125s+1)}}$
Zeitverhalten y(t) → Laplace- Korrespondenztabelle		$1-e^{-{\frac {t}{T}}}$ T = 2	t	$e^{\frac {t}{T}}-1$ T = 2	$1-{\frac {1}{\sqrt {1-D^{2}}}}\cdot e^{-D\cdot \omega _{0}\cdot t}\cdot$ $\cdot \sin(\omega _{e}\cdot t+\phi );$ $\omega _{e}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}};$ $\phi =\arccos(D);$ ${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}=0{,}25;\ D=0{,}125$	$1-\cos(\omega _{0}\cdot t);$ ${\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}=0{,}25;$ $D=0$	$1-{\frac {1}{\sqrt {1-D^{2}}}}\cdot e^{-D\cdot \omega _{0}\cdot t}\cdot$ $\cdot \cos(\omega _{e}\cdot t-\phi );$ $\omega _{e}=\omega _{0}\cdot {\sqrt {1-D^{2}}};$ $\phi =\arcsin(D);$ $\omega _{0}={\frac {2}{\mathrm {s} }};\ D=-0{,}125$

Bedeutung der Lage der Pole und Polpaare von Verzögerungs-Systemen höherer Ordnung

Übertragungsfunktionen höherer Ordnung in Polynomdarstellung lassen sich durch die Nullstellenbestimmung in Linearfaktoren zerlegen. Für die Bestimmung der Pole und Nullstellen von Übertragungsfunktionen kann man sich fertiger Rechenprogramme für Polynome bis 4. Ordnung bedienen. Derartige Programme findet man auch im Internet unter dem Suchbegriff „Nullstellen von Polynomen“.

Die Überführung der faktorisierten Übertragungsfunktion $G(s)$ für ein gegebenes Eingangssignal $U(s)$ in den Zeitbereich erfolgt über Laplace-Transformationstabellen. Enthalten die Übertragungsfunktionen mehrfache Pole und Nullstellen oder auch konjugiert komplexe Pole, können umfangreiche trigonometrische Berechnungen zur Ermittlung der Systemausgangsgröße $y(t)$ erforderlich werden.

Bei Verwendung der Übertragungsfunktion der Partialbruchform ist die Übertragung der Teilbrüche in den Zeitbereich sehr einfach, dafür ist die Durchführung der Partialbruch-Zerlegung bei Systemen höherer Ordnung aufwändig. Dies gilt besonders bei Linearfaktoren 1. und 2. Ordnung im Zähler der Übertragungsfunktion.

Identische phasenminimale Linearfaktoren im Zähler und Nenner einer Übertragungsfunktion können gegeneinander gekürzt werden (Pol-Nullstellen-Kompensation). Damit vereinfacht sich die Übertragungsfunktion. Dies gilt nicht für nichtphasenminimale Linearfaktoren.

Grundsätzlich interessiert für das Zeitverhalten folgende globale Pol-Eigenschaft:

Eine Übertragungsfunktion G(s) höherer Ordnung hat n verschiedene reelle Pole:

• Alle Pole sind negativ, d. h. $s_{pi}<0$ für alle $i=1,\dotsc ,n$.

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ strebt exponentiell gegen einen Maximalwert. → Stabiles globales P-Verhalten!

• Ein Pol $s_{p}$ ist gleich Null, alle anderen sind negativ.

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ verläuft erst exponentiell, dann linear gegen unendlich. → Grenzstabiles globales I-Verhalten!

• Mindestens ein Pol $s_{p}$ ist positiv, alle anderen sind beliebig.

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ strebt exponentiell gegen unendlich. → Global instabiles Verhalten!

Übertragungsfunktion G(s) höherer Ordnung mit einem konjugiert komplexen Polpaar: $s_{p1/2}=\delta \pm j\omega \,$

• Alle Pole haben einen negativen Realteil:

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ strebt als gedämpfte Schwingung gegen einen Maximalwert. → Global stabiles P-Verhalten!

• Konjugiert komplexes Polpaar hat einen Realteil gleich Null:

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ verläuft als Dauerschwingung mit der Kreisfrequenz ω. → Oszillatorisch grenzstabiles Verhalten!

• Mindestens ein Pol hat einen positiven Realteil für das konjugiert komplexe Polpaar:

Die Sprungantwort der Systemausgangsgröße $y(t)$ in Abhängigkeit vom Eingangssignal $u(t)$ verläuft als eine exponentiell aufklingende Dauerschwingung mit der Kreisfrequenz $\omega$ aus. → Oszillatorisch instabiles Verhalten!

Übertragungsfunktion mit dem Deltaimpuls $U_{\delta }(s)=1\,$

Mit der Gewichtsfunktion (Impulsantwort) mit $s_{pk}=\delta _{k}+j\cdot \omega _{k}$ sind folgende Schlussfolgerungen für das Zeitverhalten und die Stabilität des Systems ableitbar:

1. Bedeutung des Realteils $\delta _{k}\,$ und Imaginärteils $\omega _{k}\,$ der Polstellen:
   • Ist mindestens ein $\omega _{k}\neq 0\,$, so schwingt das System.
   • Sind alle $\delta _{k}<0\,$, so ist das System stabil. Der Eingangsimpuls klingt zeitlich ab.
   • Mit mindestens einem $\delta _{k}>0\,$ ist das System instabil. Der Eingangsimpuls wächst zeitlich unbegrenzt an.
   • Ist mindestens ein $\delta _{k}=0\,$ und alle anderen $\delta _{k}<0\,$, so ist das System grenzstabil. Es geht asymptotisch in einen konstanten Wert oder eine ungedämpfte Schwingung über.
   • Je weiter links $\delta _{k}\,$ in der negativen Halbene von $s\,$ liegt, desto schneller klingt der entsprechende Anteil der Gewichtsfunktion ab.
   • Die Lage des Realteils der Polstellen bestimmt die Dynamik, und der Imaginärteil bestimmt die Frequenz der Schwingungen des Systems.
2. Bedeutung der Nullstellen:
   • Je weiter die Nullstellen $s_{nk}\,$ von der Polstelle $s_{pi}\,$ in der $s$-Ebene liegen, desto stärker wird der Anteil $A_{i}\,$ an der Gewichtsfunktion.
   • Nullstellen mit positivem Realteil (nichtpasenminimales Verhalten) führen zu einem schwer regelbaren Verhalten.

Experimentelle Ermittlung

Die Übertragungsfunktion ist im Gegensatz zum Frequenzgang nicht direkt messbar, kann aber mit Methoden der Systemidentifikation unter anderem aus der Sprungantwort bestimmt werden.

Literatur

• Jan Lunze: Regelungstechnik 1: Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen. 7. Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-68907-2.
• Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 12. Auflage. Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6. 
• Manfred Reuter, Serge Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure: Analyse, Simulation und Entwurf von Regelkreisen. 12. Auflage. Vieweg+Teubner, 2008, ISBN 3-8348-0018-X. 
• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7.

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