Einführung in die Quantenfeldtheorie/ Feldtheorie

Im folgenden bezeichnen wir einen dreidimensionalen Ortsvektor mit in Komponenten für k=1,2,3 und wobei .

Klassische MechanikBearbeiten

Es sei ein klassisches System mit verallgemeinerten Koordinaten gegeben  (i=1,2,..,N). Zum Beispiel für   für n Teilchen in  . Sei die Lagrangefunktionen gegeben als   wobei   die Ableitung nach dem Zeitparameter von   ist. Nun erhält man die Bewegungsgleichungen durch das Variationsprinzip:

 

Wobei   die Variation mit Randbedingungen   an Anfangszeitpunkt   und Endzeitpunkt  . Dies führt auf die bekannte Euler-Lagrange Gleichung:

 

Der verallgemeinerte Impuls   ist:

 

Nun ist die Hamiltonfunktion gegeben durch:

 

(mit Einstein Summenkonvention)

Dies führt auf die bekannten Hamiltongleichungen:

 
 

QuantisierungBearbeiten

Als nächstes führen wir die Quantisierung des klassischen Systems durch. Um das System zu quantisieren betrachten wir   und   als Operatoren mit den Kommutatorrelationen:

 
 

Wobei   und für das Kronecker delta Symbol   gilt 1 wenn   und 0 wenn  .

In der Quantenmechanik wird nun jede physikalische Observable ein hermitischer Operator. In Matrix Form mit den Eigenschaften:

 

Hier bedeutet   die hermitische Konjugation und   die komplexe Konjugation. Somit haben wir.

 
 
 
 

In der klassischen Mechanik ist die Zeitableitung von   und   gegeben durch die Hamilton Gleichungen, während in der Quantenmechanik die Zeitableitung eines Operators   gegeben ist durch die Heisenberg Gleichung:

 

Ein interessantes Beispiel ist das in der klassischen Mechanik   und   kommutieren. Dies bedeutet das z.B. die beiden Hamilton Funktionen:

 
 

Klassisch das gleiche System sind aber in der Quantenmechanik stellen sie zwei verschiedene Systeme dar, die aber klassisch das gleiche Limit haben können ( ).

Beispiel der Quantisierung eines freien Teilchens das sich entlang eines Kreises bewegt mit Radius   (m=1) mit Kondition  :

 

In Polarkoordinaten:

 

Mit konjungiertem Impuls:

 

Klassische Hamilton Funktion:

 

Poisson Klammer ist:

 

Um das System zu quantisieren werden nun die klassischen Variablen durch Operatoren mit den geeigneten Kommutatorrelationen ersetzt.   Mit Operatoren:

 
 

Die quantenmechanische Hamilton Funktion:

 

Harmonischer OszillatorBearbeiten

Beispiel der Quantisierung des harmonische Oszillators mit Einheitsfrequenz. (m=k=1)

 
 

Die klassische Hamilton Funktion ist daher:

 

Hamilton Gleichungen:

 
 

Für Operatoren und die Heisenberg Gleichung:

(  und   und   sind nun Operatoren)

 
 

Nun schauen wir uns die Eigenwerte des harmonischen Oszillators an und definieren dabei die bekannten Operatoren:

 

(nach hermitischer Konjugation)

 

Berechnen der Kommutatorrelationen führt auf:

 

Umgeformt in   und  :

 
 

Kommutatorrelation:

 

Einfaches Multiplizieren der beiden Operatoren führt weiter auf:

 

Vergleich mit oben ergibt:

 
 

Nun sein  :

 

Der Operator   ist stets positiv ! (Summe der quadrate ist immer positiv)

Ein Eigenvektor   der Operators   erfüllt nun:

 

Wobei   jede positive ganze Zahl annehmen kann, 0,1,2,3...n. Sei nun   der Eigenvektor mit dem kleinsten Eigenwert:

 

Damit lassen sich die anderen Eigenvektoren schreiben als:

 

Beweis.....blabla

Führt auf

 
 

Der Operator   würd üblicher weiße als "number occupation" Operator bezeichnet und aufgrund ihrer Eigenschaften   als Erschaffungsoperator und   als Vernichtungsoperator.

Beispiele mit orthonormal Basen   Matrixformen von   und  

 
 
 
 

(gleiches gilt für die duale Darstellung)

Quantisierung des Spin-0 FeldesBearbeiten

Wir untersuchen nun den Vorgang der quantisierung für klassische Felder. Sei   ein lokales Feld wobei  . Felder die ihre Eigenschaften unter Lorentz-transformation erhalten bleiben werden Spin-0 Feld genannt. Wir betrachtet nun ein Feld für das gilt  . Sei nun die Lagrange Dichte des klassischen Klein-Gordon Feldes gegeben durch:

 

Wobei

 

Durch Integration erhält man die Lagrange Funktion:

 

Man bemerke nun den Unterschied zwischen:

 

und

 

Wobei   als Funktional angesehen wird, das eine Funktion einer anderen Funktion ist, nämlich von   und seiner Zeitableitung. Ein weiterer Unterschied ist bei   der Index diskret ist. Während er bei   kontinuierlich durch   ist und eine unendliche Anzahl an Werten annehmen kann.

Nun definieren wir analog zur dirkreten Version der Lagrange Funktion den verallgemeinerten konjugierten Impuls:

 

Im Falle der Lagrange Dichte von oben

 
 
 

Die Hamiltonfunktion:

 

Regeln der Quantisierung (von oben):

 

Nun analog für die Quantisierung unseres Skalarfeldes:

 

Eigenschaften der Dirac Deltafunktion:

  wenn
 .
  (Integral über den gesamten Raum)

Ähnlich wie bei

 
 

Gilt auch:

 
 

Die Zeitableitung ist nun ganz normal gegeben durch die Heisenberg Gleichung, durch setzen von   Erhält man:

 
 

Auf gleiche Weise erhält man:

 

...... ......

Die klassische Bewegungsgleichung der Klein-Gordon Gleichung ist nun:

 

(Gleichung erhält man auch durch das Variationsprinzip)

 

Fourier ZerlegungBearbeiten

Zur Lösung der Klein-Gordon Gleichung benutzen wir die Fouriertransformation der Felder   (Lösung der Klein-Gordon Gleichung von oben) und   :

 
 

Wobei   und   zeitabhängige Operatoren im Hilbertraum und die Komponenten von   (quantisiertem Impuls) gegen sind durch:

 

Mit  

Nun interpretieren wir die Felder   und   als hermitische Operatoren und definieren:

 
 

Weiter definieren wir neue Erschaffungs und Vernichtungs-Operatoren:

 

hermitisch Konjugiert:

 

Indem man das Vorzeichen von   ändert erhält man nun:

 

Analog vom Vorgehen weiter oben kann man nun   und   durch   und   ausdrücken:

 
 

Nun lassen sich die Felder   und   durch die Erschaffungs und Vernichtungsoperatoren ausdrücken:

 

und

 

Nun kann man damit die Kommutatoreigenschaften der Operatoren überprüfen.

Der neue Hamiltonian für den harmonischen Oszillator für Felder mit den Operatoren   und   lässt sich nun schreiben als:

 

Quantisierung des Spin-1/2 FeldesBearbeiten

Als erstes definieren wir drei   Paulimatrizen:

 
 
 

Nun definieren wir noch analog zum Kommutator:

 

den Antikommutator:

 

Die Paulimatrizen erfüllen nun folgende Eigenschaften:

 
 

Antikommutator Eigenschaft:

 

Wobei   ist 1 bei einer geraden Permutation von 1,2,3 und -1 bei einer ungeraden permutation. 0 für alles andere.

Geschrieben in Vektornotation:

 

Als nächstes definieren wir ein "direktes Produkt" zwischen einer   und einer   Matrix, wobei die resultieren Matrix die Dimension   ist.

 

Nun kann man durch das direkte Produkt die   Dirac Matrizen durch die   Pauli Matrixen und eine Einheitsmatrix darstellen:

 
 

Daraus folgt, jedes Element ist eine   Matrix (0 sind Null Matrixen):

 

und   ist gegeben durch: