Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Mächtigkeit von Mengen

Potenzmenge von $\mathbb {R}$

Ich habe noch einige Anmerkungen zum letzten Abschnitt "Vertiefung zum Thema Mächtigkeit". Nachdem die Potenzmenge $P(A)$ mächtiger als $A$ selbst ist, muss $P(\mathbb {R} )$ mächtiger als $\mathbb {R}$ sein, entsprechend $P(P(\mathbb {R} ))$ mächtiger als $P(\mathbb {R} )$ usw. Wenn es vermutlich keine Menge gibt, die mächtiger ist als $\mathbb {N}$, aber weniger mächtig als $\mathbb {R}$, verhält es sich dann auch so mit den Mächtigkeiten von $\mathbb {R}$ und $P(\mathbb {R} )$, von $P(\mathbb {R} )$ und $P(P(\mathbb {R} ))$ usw.?--Michael Oestreicher 21:34, 16. Nov. 2016 (CET)

Die Aussage, dass es allgemein zwischen den Mächtigkeiten einer unendlichen Menge $X$ und ihrer Potenzmenge ${\mathcal {P}}(X)$ keine weiteren Mächtigkeiten gibt, ist die sogenannte allgemeine Kontinuumshypothese. Sie ist ebenso wie die einfache Kontinuumshypothese mit den Axiomen von ZFC weder beweisbar noch widerlegbar. -- Jürgen-Michael Glubrecht 19:46, 2. Nov. 2018 (CET)

Unvollständig: Wann sind zwei Mengen gleich groß?

Die Idee, die Größe von Mengen per Bijektion zu vergleichen ist sinnvoll und praktikabel, aber es ist nicht die einzige Möglichkeit.

Eine andere, für den Vergleich der Größe der Menge der natürlichen und der Quadratzahlen geeignete wäre es, zu sehen (zu beweisen), dass die Quadratzahlen ausnahmslos alles natürliche Zahlen sind, während es umgekehrt natürliche Zahlen gibt, die keine Quadratzahlen sind, wie z.B. die Zwei.

Zu deutsch: natürliche Zahlen enthalten Zahlen, die es in den Quadratzahlen nicht gibt, während die Quadratzahlen nur natürliche Zahlen enthalten. Somit ergibt sich, dass die Menge der Quadratzahlen um mindestens eine Zahl (hier: die Zwei) kleiner ist als die Menge der natürlichen Zahlen.

Auf diesem Weg bekommt man den ZUSÄTZLICHEN Beweis, dass die Menge kleiner ist. Zusätzlich zu der Erkenntnis, dass die Menge gleich groß ist.

Da die Mächtigkeit sich aber NUR auf die Bijektion bezieht, ist der Begriff der Mächtigkeit nicht identisch mit dem Begriff der "Anzahl Elemente", wie das auf dieser Seite impliziert wird.

Thomas Mack --134.169.32.181 15:27, 8. Mai 2018 (CEST)

Der Begriff "Anzahl Elemente" lässt sich eben nicht einfach auf unendliche Mengen übertragen! Die Teilmengen-Beziehung - genau das ist es ja, was Thomas Mack in seinem Beitrag anspricht - ist sicher eine Möglichkeit, Mengen hinsichtlich ihrer Grösse zu vergleichen. Aber das alleine reicht doch nicht aus: wie will man zwei Mengen vergleichen, die keine gemeinsamen Elemente haben? Die Teilmengen-Beziehung hilft da nicht weiter. -- Jürgen-Michael Glubrecht 20:29, 2. Nov. 2018 (CET)

Abbildung der Bijektivität zwischen Rationalen und Natürlichen

Ich hab in websubject.de eine Abbildung gefunden, die ich verständlicher finde. Vielleicht könnte man diese auch hier benutzen?

1/1↔1	2/1↔3	3/1↔6	4/1↔10	...
1/3↔2	3/2↔5	5/2↔9	...
1/3↔4	2/3↔8	...
1/4↔7	...
...

Man könnte dadurch eine Bijektivität zwischen $\mathbb {Z} ^{+}$ und $\mathbb {Q} ^{+}$ beweisen. Genauso kann eine Bijektivität zwischen $\mathbb {Z} ^{-}$ und $\mathbb {Q} ^{-}$ gezeigt werden und dadurch auch zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q}$, da $\mathbb {Z}$ und $\mathbb {N}$ schon bijektiv sind (gezeigt im vorherigen Abschnitt). Als Aufgabe könnte man dann nach der Tabelle der Bijektivität zwischen $\mathbb {N}$ und $\mathbb {Q}$ fragen...

Noch dazu: Mir fehlt die Information $|P(\mathbb {N} )|=|\mathbb {R} |$. Könnte sie einfach so als Info am Ende des Abschnitts über Reelle und Natürlichen Zahlen vorkommen?

LG! Yomomo 12:33, 18. Okt. 2023 (CEST)