Digitale Schaltungstechnik/ Zahlensysteme
Unär
BearbeitenUnärdarstellungen von Zahlen werden insbesondere beim Decoder verwendet. Solche Zahlen sind Ziffernfolgen von 0 und 1, wobei es genau eine Eins in der Folge gibt.
Dezimal | Unär |
---|---|
0 | 00001 |
1 | 00010 |
2 | 00100 |
3 | 01000 |
4 | 10000 |
Allgemein kann eine N-stellige Zahl die Ziffern 0...N-1 darstellen.
Ein Decoder wandelt diese Zahlendarstellung in eine Binärzahl um.
Binär
BearbeitenBinärdarstellungen von Zahlen enthalten ebenfalls die Ziffern 0 und 1. Sie sind N-stellige Ziffernfolgen der Form , wobei eine solche Ziffernfolge verschiedene Werte annehmen kann.
Dezimal | Binär |
---|---|
0 | 00000 |
1 | 00001 |
2 | 00010 |
3 | 00011 |
4 | 00100 |
5 | 00101 |
6 | 00110 |
7 | 00111 |
8 | 01000 |
Positive Dualzahlen
BearbeitenGeht aus dem Zusammenhang klar hervor, dass es sich um positive Zahlen handelt, kann man den Wert einer Zahl, deren Ziffernfolge ist berechnen durch:
Negative Dualzahlen
BearbeitenBetrag-Vorzeichen
BearbeitenNegative Betrag-Vorzeichen-Zahlen haben den Nachteil, dass sie doppelte Darstellungen für die Null haben. Ansonsten ist das erste Bit bei negativen Zahlen immer Eins.
Dezimal | Binär |
---|---|
2 | 00010 |
1 | 00001 |
0 | 00000 |
-0 | 10000 |
-1 | 10001 |
-2 | 10010 |
-3 | 10011 |
-4 | 10100 |
Einerkomplement
BearbeitenNegative Zahlen im Einerkomplement haben auch eine "doppelte Null", das erste Bit ist immer "1". Das Einerkomplement einer negativen Zahl erhält man, in dem man alle Bits vom Betrag der Zahl umkehrt. Beispiel: 210 = 000102 und -210=111012.
Das Einerkomplement wird heute nur noch selten verwendet, moderne Computerhardware nutzt das Zweierkomplement.
Dezimal | Binär |
---|---|
2 | 00010 |
1 | 00001 |
0 | 00000 |
-0 | 11111 |
-1 | 11110 |
-2 | 11101 |
-3 | 11100 |
-4 | 11011 |
Zweierkomplement
BearbeitenBeim Zweierkomplement einer N-Bit-Zahl (zn-1,zn-2,...,z0) ist ebenfalls die höherwertigste Stelle zn-1zu Eins gesetzt. Allerdings ist der Wert dieser Zahl
Beispielsweise ist die Zahl 10102 = -23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = -8 + 2 = -6
Umgekehrt, sucht man eine N-stellige Zahl K im Zweierkomplement, berechnet man -2n-1 + x = K. x stellt man für die übrigen Ziffern als positive Zahl dar.
Beispiel 1
BearbeitenGesucht ist das 5-stellige Zweierkomplement von -9. Es gilt:
also
und daraus folgt sofort, dass x = 7 ist.
710 = 01112
Es ist also -910 = 101112
Beispiel 2
BearbeitenGesucht ist das 8-stellige Zweierkomplement der Zahl -9. Es gilt
also
und daraus folgt sofort, dass x = 119 ist.
11910 = 11101112
Es ist also -910 = 111101112
Zusammenfassung Beispiele
Bearbeiten-9 als 5-Bit Zahl ist 1.0111. Als 8-Bit Zahl aber 1111.0111 (Punkt zum Veranschaulichen geschrieben). Allgemein kann man sagen, wenn man eine negative Zahl verlängert, dann verlängert man den linken Bereich, wo die Einsen stehen.
Beliebige Basis
BearbeitenGanze Zahlen mit einer beliebigen Basis b können die Ziffern 0, 1, 2, ..., b-1 haben und lassen sich so darstellen: