Digitale Schaltungstechnik/ Schaltalgebra/ Einleitung

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Einleitung Schaltalgebra (1) Wahrheitstabelle Übungen Lösungen KNF & DNF

Die Schaltalgebra besteht aus drei grundlegenden Verknüpfungen und, oder und nicht.

Jeder dieser Funktionen wird mit einem eigenen Zeichen dargestellt:

Begriffe			Zeichen
Deutsch	Englisch	Fachausdruck	Zeichen
Und	AND	Konjunktion	$X=A\land B$
Oder	OR	Disjunktion	$X=A\lor B$
Nicht	NOT	Negation	$X={\overline {A}}$

Klammern

Wie in der gewohnten Algebra gibt es auch hier Klammern.

Die erste Regel der Schaltalgebra die wir hier behandeln ist, dass Klammern die Reihenfolge der Verknüpfung bestimmen.

Die Schemas dienen nur der Veranschaulichung, es geht also noch nicht darum selber ein Schema mit einer gegeben Gleichung zu zeichen.

Beispiel 1

Beschreibung	Ausdruck	Schema
Beginnen wir mit	$X=(A\lor B)\land C$
Zeichnen wir mal die Eingänge der ersten Verknüpfung:	$X=(\color {red}A\color {black}\lor \color {red}B\color {black})\land C$
Nun können wir die eigentliche Verknüpfung einzeichnen:	$X=(A\color {red}\lor \color {black}B)\land C$
Als nächstes brauchen wir nun den Eingang C:	$X=(A\lor B)\land \color {blue}C$
Diesen verknüpfen wir nun mit dem vorherigen Netzwerk:	$X=\color {OliveGreen}(\color {red}A\lor B\color {OliveGreen})\land \color {blue}C$
Nun müssen wir nur noch den Ausgang anschreiben:	$\color {OliveGreen}X=\color {black}(A\lor B)\land C$
Und schon sind wir fertig mit der ersten Aufgabe.

Beispiel 2

Beschreibung	Ausdruck	Schema
Wir beginnen wieder damit, von Links nach Rechts die Gleichung zu lesen und zeichnen deshalb das erste Und-Gatter.	$Y=\color {red}(A\land B)\color {black}\lor (C\land D)$
Nun kümmern wir uns um den nächsten Geklammerten Ausdruck:	$Y=\color {red}(A\land B)\color {black}\lor \color {blue}(C\land D)$
Nun fehlt nur noch die Oder-Verknüpfung:	$Y=\color {red}(A\land B)\color {OliveGreen}\lor \color {black}\color {blue}(C\land D)$
Als letzten Schritt beschriften wir wieder den Ausgang:	$\color {OliveGreen}Y=\color {red}(A\land B)\color {OliveGreen}\lor \color {black}\color {blue}(C\land D)$

Beispiel 3

Beschreibung	Ausdruck	Schema
	$Z=(A\lor E\lor C)\land B$
	$Z=(A\lor E\lor C)\land B$
	$Z=(A\lor E\lor C)\land B$

Zeichenvorrang

Betrachten wir die Gleichung

$X=A\lor B\land C$

so ergeben sich prinzipiell zwei Möglichkeiten:

$X=(A\lor B)\land C$

$X=A\lor (B\land C)$

Damit der gleiche Ausdruck von allen gleich interpretiert wird, wurde definiert:

Die Und-Verknüpfung hat Vorrang vor der Oder-Verknüpfung.

oder kurz

und vor oder

Also lässt sich der Ausdruck

$X=A\lor B\land C$ 

auch so schreiben

$X=A\lor (B\land C)$ 

womit die Schaltung eindeutig

ist.

Analogien

In der Mathematik ist Punkt- vor Strichrechnung (also Multiplikation vor Addition) definiert.

An einem Beispiel:

5 + 6 * 10

entspricht

 5 + (6 * 10) = 65

und nicht

(5 + 6) * 10 = 110

Merkhilfe(n)

$X=A\lor B$ fühlt sich hin und hergezogen -> oder

$X=A\land B$ ist nach [Und]en offen -> und

Aufgaben

zeichnen Sie die folgenden Ausdrücke

Gleichung	Lösung
$X=A\land B\lor C$
$X=B\lor C\land A$
$X=A\land B\lor C\land D$

Vertauschungsgesetz

Die Gleichungen
$Z=A\lor B$
$Z=B\lor A$
sind äquivalenten, also gleichbedeutend.

Ebenso
$Z=A\lor B\lor C\land B$
$Z=C\lor B\lor A\land B$
$Z=A\lor C\lor B\land B$

ebenso wie $Z=A\lor B\lor C\land B$
$Z=A\lor (B\lor C)\land B$
$Z=(A\lor B)\lor C\land B$

Weglassung von Zeichen

Wie in der Mathematik das Malzeichen entfallen kann, kann in der Schaltalgebra das Und-Zeichen entfallen.

$X=A\lor B\land C$

$X=A\lor BC$

Dies erleichtert die Lesbarkeit vor allem von komplexeren Gleichungen und vermeidet Abschreibfehler. Jedoch kann es bei Variablennamen die länger als ein Buchstabe sind zur Verwirrung beitragen und bei den Negationen werden wir auf weitere Probleme treffen.

Folglich: Das Und-Zeichen kann weggelassen werden, darf aber auch immer geschrieben werden.

In diesem Buch wird das Und-Zeichen zumeist weggelassen. Bei kurzen Ausdrücken oder wo es der Klarheit wesentlich dient, ist es aber geschrieben.

Negation

Negationen werden als Strich über dem betreffenden Ausdruck dargestellt.

Negation einer Variable

Beschreibung	Ausdruck	Schema
Beginnen wir mit einem einfachem Beispiel:	$Y={\overline {A}}\land B$
Was was ist, sollte ansich klar sein, aber es zu kolorieren kann nicht schaden:	$\color {OliveGreen}Y=\color {red}{\overline {A}}\color {blue}\land \color {magenta}B$

Klammerwirkung

Beschreibung	Ausdruck	Schema
Eine Nebenwirkung der Negation ist, dass sie klammert, also wie eine Klammer wirkt.	$X={\overline {A\lor B}}\land C$

weitere Bilder und Beispiele fehlen

Mögliche Missverständnisse

Beschreibung	Ausdruck	Schema
Wie gesagt, kann man den Und-Operator ($\land$) weglassen, jedoch kann das in Kombination mit Negationsstrichen zur Verwirrung führen:	$X={\overline {C}}\ {\overline {B}}\ {\overline {A}}$
	$X={\overline {CBA}}$

Mehrere Negationen

Auch wenn wir erst später vermehrt darauf treffen, soll es denoch schon hier eingeführt werden:

Eine Gleichung kann mehrere Negationen enthalten:	$Q={\overline {{\overline {A}}\land {\overline {B}}}}$
Die Zugehörige Schaltung sieht so aus:

Andere Normen

Die verschiedenen Normen und Zeichen werden nur der Vollständigkeit halber erwähnt. In diesem Buch wird nur die europäische Variante verwendet, wobei das UND-Zeichen in der Regel nicht explizit geschrieben wird.

Begriffe			Zeichen
Deutsch	Englisch	Fachausdruck	US-Zeichen	Europäische Zeichen
Und	AND	Konjunktion	$X=A*B\$	$X=A\land B$
Oder	OR	Disjunktion	$X=A+B\$	$X=A\lor B$
Nicht	NOT	Negation	$X=\not A={\overline {A}}$	$X={\overline {A}}=\neg A$