Die Stringtheorie: Schwingende Teilchen

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Grundzüge der Stringtheorie

Vor ca. 2400 Jahren wurde im antiken Griechenland erstmals die Vermutung geäußert, die Welt bestehe aus unteilbaren Teilchen, den Atomen (griechisch „a-tomos“ = unteilbar). Knapp 2200 Jahre später wurde diese Idee wieder aufgegriffen [71], doch im Laufe der Zeit stellte man fest, dass sich Atome in noch kleinere Bestandteile zerlegen lassen, in Elektronen und einen Atomkern. Dieser wiederum besteht aus Protonen und Neutronen, die sich ihrerseits aus jeweils drei Quarks zusammensetzen. Diese Teilchen, Elektronen und Quarks, gelten als elementar und lassen sich nicht weiter zerlegen, sind also die kleinsten bekannten Bausteine der Materie. Bisher wurden Elementarteilchen nach dem Standardmodell als nulldimensionale, punktförmige Objekte aufgefasst, die weder räumliche Ausdehnung, noch innere Struktur besitzen [68].

Im Gegensatz dazu behauptet die Stringtheorie, dass Teilchen doch eine räumliche Ausdehnung besitzen, nämlich in Form von kleinen, schwingenden, unendlich dünnen, also eindimensionalen Saiten, die jedoch so klein sind, dass sie aus der Entfernung als Punktteilchen erscheinen. Nach der Stringtheorie entspricht jedes Teilchen (auch Eichbosonen) einem bestimmten Schwingungsmodus eines Strings [9]. Veranschaulichen lässt sich dies an einer Gitarrensaite: Jeder erzeugte Ton entspricht einer bestimmten Frequenz, mit der die Saite schwingt. Analog dazu erzeugen die verschiedenen Schwingungsmuster eines Strings verschiedene Eigenschaften von Teilchen, wie z.B. Masse, Ladung, Spin, usw., wobei immer eine ganze Zahl von Wellenbergen und –tälern auf die Länge des Strings passt [10] [11]. Dies lässt sich gut am Beispiel der Teilchenmasse darstellen: Die Energie eines bestimmten Schwingungsmusters hängt von seiner Amplitude und Wellenlänge ab. Je größer die Amplitude und je kleiner die Wellenlänge, desto größer die Energie (Quantenmechanische Beziehung nach Einstein: $E=h\cdot \nu$). Aus der Relativitätstheorie geht hervor, dass Masse und Energie zwei Seiten der gleichen Medaille sind (Relativistische Beziehung ebenfalls nach Einstein: $E=m\cdot c^{2}$), folglich legt die Energie des Schwingungsmusters die Masse des Strings fest. Schwere Teilchen beruhen demnach auf Strings, die heftiger, also mit höherer Energie schwingen und umgekehrt [68] [12]. Ein String kann auf zwei verschiedene Arten schwingen, man unterscheidet hier zwischen den gerade erläuterten gewöhnlichen Schwingungen und so genannten Schwerpunktschwingungen. Letztere bezeichnen die Bewegung eines Strings, die seine Position aber nicht seine Form verändern [68] und werden erst später eine Rolle spielen. Im Prinzip kann ein String unendlich viele Schwingungen ausführen und somit theoretisch eine unendliche Zahl verschiedener Teilchen entstehen lassen. Somit liefert die Stringtheorie auf elegante Weise eine Erklärung für die Vielfalt an bekannten Teilchen. In der Stringtheorie unterscheidet man zwischen relativistischen und nichtrelativistischen Strings, wobei letztere eine Wellengeschwindigkeit ${v_{w}}\$ weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit besitzen. Bei diesen Strings gilt typischerweise für die Wellenlänge:

$\lambda _{n}={\frac {2l_{s}}{n}}$

und somit für die Frequenz:

$f_{n}={\frac {n\cdot v_{w}}{2l_{s}}}$,

wobei ${l_{s}}\$ die Länge des Strings und $n\$ die ganzzahlige allgemeine Lösung der eindimensionalen Wellengleichung ist [72]. Das Bemerkenswerte an der Stringtheorie ist, dass viele Lösungen von Problemen (z.B. das gerade beschriebene Problem der Fülle an Teilchen) einfach eine logische Konsequenz aus ihr sind. Wie zuvor erläutert entdeckten Schwarz und Scherk in den 70er Jahren, dass eines der Stringschwingungsmuster genau den Eigenschaften des Gravitons entspricht, so dass die Gravitation in den quantenmechanischen Rahmen der Stringtheorie mit einbezogen wird [14]. Des Weiteren stellte sich, als man Eigenschaften von Strings bezüglich der Raumzeit untersuchte, überraschenderweise heraus, dass sich die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie völlig von selbst, d.h. ohne eine einzige der Gleichungen vorauszusetzen, aus der Stringtheorie ergaben. So konnte auch die Raumzeit elegant in den stringtheoretischen Rahmen eingegliedert werden [15]. Wie eine Gitarrensaite, so hat auch ein String eine gewisse Spannung, allerdings eine sehr viel höhere. Für die

Schwerpunktschwingung eines Strings

Stringspannung gilt:

$T_{0}={\frac {1}{2\pi \cdot \alpha ^{\prime }\cdot \hbar \cdot c}}$

mit

$\alpha ^{\prime }={\frac {{l_{s}}^{2}}{(\hbar \cdot c)^{2}}}$ [16].

Ein Schwingungsmuster mit einer hohen Spannung besitzt mehr Energie als ein gleiches mit geringerer Spannung. Die Masse eines Strings hängt also neben der Art seiner Schwingung auch von seiner Spannung ab. Wie Schwarz und Scherk zeigen konnten, entspricht die Spannung des Gravitons der Planckspannung, woraus folgt, dass ein typischer String die Größe der Plancklänge hat [17]. Dies ist entscheidend für die Vereinheitlichung von allgemeiner Relativitätstheorie und Quantenmechanik (Punkt 3.5).

Offene und geschlossene Strings

Strings können eine offene oder geschlossene Form besitzen. Offene Strings haben zwei lose Enden, während Stringschleifen in sich geschlossen sind [18]. Im Folgenden wird ausschließlich von geschlossenen Strings ausgegangen, die Bedeutung von offenen Strings wird ab Punkt 7.1 behandelt.

Zu viel Energie

Die enorme Spannung, die Strings besitzen, erweist sich auf den ersten Blick als problematisch. Die durch die Schwingungsmuster ausgedrückten Energien sind immer ganzzahlige Vielfache von kleinsten Energiewerten, die, wie Berechnungen zeigen, der Stringspannung proportional sind. Weil diese so gewaltig ist, sind auch die Mindestenergien sehr groß, sie sind Vielfache der Planckenergie. Da Energie sich in Masse umwandeln lässt und umgekehrt, bedeutet dies, dass auch die entsprechenden Massenäquivalente typischer Strings enorm sind, viel größer als z.B. die Massen der Teilchen aus den 3 Teilchenfamilien. Sie sind Vielfache der Planckmasse. Wie kann also die Stringtheorie die Eigenschaften der bekannten Teilchen erklären, wenn die typische Masse eines Strings z.B. um den Faktor $10^{23}$ größer als die Masse des Elektrons, oder um den Faktor $10^{19}$ größer als die des Protons ist [20]? Mit der Zeit wurden mehrere Strategien entwickelt, um dieses Problem zu lösen. Eine Erklärung dafür ist der Umstand, dass schwere Teilchen ziemlich instabil sind und nach kurzer Zeit in viele, leichtere Teilchen mit geringen Massen zerfallen. Das gilt vermutlich auch für Strings, so dass, wenn überhaupt, nur noch sehr wenige dieser im frühen Universum entstandenen massereichen Strings existieren [21]. Eine andere Lösung bietet die Unschärferelation. Sie besagt, dass alles im Universum Quantenbewegungen unterworfen ist, so auch ein String. Es zeigte sich, dass die Energien der Quantenschwingungen im Bezug auf die Schwingungsenergien eines Strings negativ sind und sie sich gegenseitig aufheben. Die Energie eines Strings wird somit ungefähr um den Betrag der Planckenergie reduziert. Da die energieärmsten Stringschwingungsmuster in etwa Energien besitzen, die der Planckenergie entsprechen, werden diese fast vollständig ausgelöscht. Übrig bleiben geringe Energien und dazugehörige Massenäquivalente, die den Werten der bekannten Bosonen und Fermionen ähnlich sind. Im Falle des Gravitons heben sich die Energien vollkommen auf, so dass das Teilchen, wie erwartet, keine Masse besitzt. Da ein String jedoch wie erwähnt in der Lage ist, in unendlich vielen Arten zu schwingen, stellen diese energiearmen Schwingungsmuster eine Besonderheit dar, wohingegen typischere Strings viele Millionen mal energie- und massereicher sind [22]. Aufgrund der extrem hohen Energien, die zur Entdeckung solch schwerer Teilchen nötig sind, wurden diese bis heute noch nicht entdeckt.

Wechselwirkungen von Strings

Punktteilchenwechselwirkung von Elektron und Positron

Vereinigung zweier geschlossener Strings

Vereinigung und anschließende Aufteilung zweier geschlossener Strings

Im Standardmodell wird die Wechselwirkung von Teilchen durch Eichbosonen erklärt, die zwischen diesen übertragen werden und deren Bahnen verändern. In der Stringtheorie hingegen wechselwirken Strings miteinander, indem sie sich zu einem einzigen String vereinigen oder sich in weitere aufteilen [68]. Dies lässt sich an einem Beispiel verdeutlichen: In der Quantenmechanik kann es vorkommen, dass sich ein Elektron-Positron-Paar gegenseitig vernichtet und ein virtuelles Photon erzeugt, welches eine kurze Strecke zurücklegt und anschließend seine Energie wieder freisetzt, indem es ein neues Elektron-Positron-Paar erzeugt, jedoch mit veränderten Richtungen. Im Kontext der Stringtheorie betrachtet bedeutet dies, dass sich die beiden Strings (${e^{-}}\$ und ${e^{+}}\$) zu einem dritten String zusammenschließen, welcher dem Photon entspricht. Dieser legt einen kurzen Weg zurück und teilt sich anschließend wieder in zwei Strings (${e^{-}}\$ und ${e^{+}}\$) auf [23]. Aufgrund des winzigen Maßstabs erscheinen Stringinteraktionen jedoch aus der Entfernung wie der Austausch von Eichbosonen [68]. Da ein String zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte Position im Raum einnimmt, lässt sich seine Geschichte als Fläche in der Raumzeit, als „Weltfläche“ in Form einer Röhre, bzw. „Weltvolumen“ darstellen [24] [73]. Somit kann auch die Wechselwirkung von Strings als Weltvolumen dargestellt werden.

Verschmelzung von allgemeiner Relativitätstheorie und Quantenmechanik

Feynman Diagramm: Wechselwirkung von Punktteilchen aus der Sicht zweier sich in Relativbewegung zueinander befindenden Beobachter

Wechselwirkung von Strings aus der Sicht zweier sich in Relativbewegung zueinander befindenden Beobachter

Wie bereits erläutert, erwächst der Konflikt der beiden Theorien aus der Tatsache, dass die allgemeine Relativitätstheorie auf einer glatten Raumzeit basiert, während die Quantenmechanik besagt, dass alles im Universum Quantenfluktuationen unterworfen ist, die bei immer kleineren Abständen immer heftiger werden. Bei Abständen unterhalb der Plancklänge gelten die Gesetze der Relativitätstheorie nicht mehr, weil die Raumzeit schwankt und heftigsten Fluktuationen ausgesetzt ist. Da die Teilchen des Standardmodells punktförmig also nulldimensional sind, können sie in Abstände unterhalb der Plancklänge „eintauchen“ und die Quantenfluktuationen erfassen. Die Stringtheorie ist in der Lage dieses Problem zu umgehen, der Schlüssel dazu ist die räumliche Ausdehnung von Strings. Da diese typischerweise die Größe der Plancklänge besitzen und die fundamentalen Bausteine des Universums sind, gibt es keine Möglichkeit, Abstände unterhalb der Plancklänge zu erfassen. Es treten zwar Quantenfluktuationen auf, allerdings in einem Maße, welches die Gültigkeit der Relativitätstheorie bewahrt. Der fatale Quantenschaum ist also nicht messbar und somit nicht mehr relevant. Nun ist es aber so, dass bei Punktteilchen eine Erhöhung ihrer Energie zu einer Verkürzung ihrer Quantenwellenlänge führt, womit die Sondierung immer feinerer physikalischer Strukturen möglich wird. Dies könnte zu der Überlegung führen, eine Erhöhung der Energie eines Strings führe ebenfalls zu der Fähigkeit, in immer kleinere Bereiche des Raums vorzudringen. Es konnte jedoch nachgewiesen werden, dass eine Erhöhung der Energie eines Strings über den Wert hinaus, der für die Sondierung im Bereich der Plancklänge erforderlich ist, den String zum Größenwachstum veranlasst, was seine Fähigkeit, kurze Abstände zu erfassen, verringert [25]. Die Stringtheorie vermeidet allerdings noch aus einem anderen Grund die fatalen Quantenfluktuationen. Geht man wie im Standardmodell von Punktteilchen aus, so finden ihre Wechselwirkungen an einem bestimmten Punkt in der Raumzeit statt. Befinden sich zwei Beobachter in Relativbewegung zueinander, so sind sie sich einig über den Ort der Wechselwirkung, da diese an einem einzigen Punkt der Raumzeit zusammengepfercht ist. Wenn die Kraft der Wechselwirkung die Gravitation ist, so ergeben sich die oben erwähnten unendlichen Resultate [28]. Dies vermeidet die Stringtheorie. Die Interaktion von Strings kann als Weltröhre dargestellt werden, deren räumliche Ausdehnung dazu führt, dass zwei sich in Relativbewegung zueinander befindende Beobachter sich nicht einigen können, an welchem Punkt der Raumzeit die Interaktion stattfindet. Dadurch wird der Ort der Wechselwirkung „verwischt“, da diese nicht mehr auf einen einzigen Punkt in der Raumzeit konzentriert ist. Somit vermeidet die Stringtheorie die unendlichen Resultate und reduziert die katastrophalen Auswirkungen der Quantenfluktuationen bei Abständen unterhalb der Plancklänge soweit, dass die Gravitation in einen quantenmechanischen Rahmen eingegliedert werden kann [68]. Die Stringtheorie schafft also die lang erhoffte Verbindung von allgemeiner Relativitätstheorie und Quantenmechanik als Quantenfeldtheorie der Gravitation und ist somit heißer Kandidat für eine TOE.

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