Die Sprache der Mathematik: Mengen

Eine Menge nach Cantor ist eine Zusammenfassung M von wohldefinierten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente von M.

BezeichnungenBearbeiten

Sei M eine Menge. Dann gelten folgende Bezeichnungen:

  •   bedeutet: m ist Element von M.
  • Sind a,b,c,d Objekte, so ist   die Menge die genau die Elemente a,b,c,d enthält.
  • Sei   eine Aussageform. Dann ist   die Menge aller Elemente von M, für die A wahr ist. Für diese Menge schreibt man auch:  .

MengenbildungBearbeiten

Es gibt drei Möglichkeiten, eine Menge zu bilden:

  1. Durch Angeben der Elemente: Man bildet zu Objekten   die Menge, die diese Element enthält.
  2. Durch Selektion: Man bildet die Menge aller Objekte, für die eine bestimmte Aussageform   wahr ist.
  3. Aus anderen Mengen: Seien M,N Mengen.
    1.   ist die Menge  , genannt die Vereinigung von M und N
    2.   ist die Menge  , genannt der Schnitt von M und N.
    3.   ist die Menge  , genannt die Differenz von M und N.
    4. Ist jedes Element von M auch ein Element von N, so ist   die Menge  , das sogenannte Komplement von M in N.
    5.   ist die Menge der Paare (oder 2-Tupel)  , das sogenannte Kreuzprodukt der Mengen M und N.

Bemerkung zu 3.1 und 3.2: Da   ( ) wieder Mengen bilden, kann man beliebig viele Mengen so verknüpfen. Für die Vereinigung (den Schnitt) von n Mengen   schreibt man dann    ( ).

Bemerkung zu 3.4: Offenbar gilt:  .

Die deMorganschen RegelnBearbeiten

Sind A,B,C Mengen, so gilt:

  1.   und   (Kommutativität)
  2.   und   (Assoziativität)
  3.   und   (Distributivgesetze)
  4.  


Beziehungen zwischen MengenBearbeiten

Zwischen zwei Mengen M und U können bestimmte Beziehungen gelten:

  •   bedeutet:  
  •   bedeutet:   und  
  •   bedeutet:   und  
  •   bedeutet:  
  •   bedeutet: Es gibt einen Isomorphismus von M nach U. Man sagt auch: M und U sind isomorph.

Die leere MengeBearbeiten

Eine Menge, die keine Elemente enthält, nennt man leere Menge. Aussagen, die für alle Elemente einer leeren Menge gelten, sind immer wahr. Hieraus folgt schnell, dass es genau eine leere Menge gibt, denn wären M und N leere Mengen, wäre jedes Element von M auch Element von N und umgekehrt. Ebenso folgt für jede Menge M:  . Die leere Menge wird mit   bezeichnet.

Mächtigkeit und GleichmächtigkeitBearbeiten

Die Mächtigkeit einer Menge M ist die Anzahl ihrer Elemente, geschrieben als  . Es ist auch   möglich. Es gilt:   Die Mächtigkeit ist das Urbeispiel für ein Maß. Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn sie die selbe Anzahl von Elementen enthalten. Um die Gleichmächtigkeit auch bei unendlich großen Mengen verwenden zu können, definiert man: Zwei Mengen M und U heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von M nach U gibt.

Unendliche MengenBearbeiten

Eine Menge M heißt unendlich, falls sie unendlich viele Elemente enthält. M heißt abzählbar unendlich , falls M gleichmächtig zur Menge   der natürlichen Zahlen ist. Ist M abzählbar unendlich oder endlich, so sagt man auch M ist abzählbar. Ist M nicht abzählbar, so sagt man, M ist überabzählbar.

PotenzmengeBearbeiten

Zu einer Menge M definieren wir die Potenzmenge   durch:  . Die Potenzmenge von M ist also die Menge aller Teilmengen von M (Beispiel weiter unten).

Für alle Mengen M gilt:  .

Beweis:Bearbeiten

Sei M eine Menge.

Ist M die leere Menge, so gilt:  , da  .

Sei also M nicht leer und endlich. Dann enthält   für jedes   das Element   sowie die Menge M selbst, also  .

Ist M nun unendlich, so enthält auch   unendlich viele Elemente da für alle   gilt:  . Damit hat man schon   gezeigt. Bleibt noch, dass auch für unendliche Mengen M gilt:  .

Dies kann man mit "Beweis durch Widerspruch" zeigen, d.h. wir nehmen an, es gäbe eine unendliche Menge M mit  . Dann gibt es (s.o.) eine bijektive Abbildung  . (Für ein Element   ist   also ein Element von   und somit eine Teilmenge von M, in Formeln  )

Sei  , damit ist auch A eine Teilmenge von M. Da wir angenommen haben, es gäbe eine bijektive Abbildung  , muss es auch ein   geben, mit  .

Wäre b in A enthalten, so würde nach Definition gelten, dass  , also dass b nicht in A enthalten ist, ein Widerspruch. Wäre b nicht in A enthalten, hiesse das, dass  , also dass b in A enthalten ist, wieder ein Widerspruch. Fazit: die Annahme, dass   führt auf einen Widerspruch, muss also falsch sein. Da also keine Gleichheit sein kann und wir "kleiner gleich" schon gezeigt haben, gilt

 . q.e.d.

BeispielBearbeiten

Sei  , dann ist  

AnmerkungBearbeiten

Es lässt sich auch noch zeigen, dass   (Für endliche Mengen per Induktion.)

Nichtexistenz eines UniversumsBearbeiten

Es ist zu bemerken, dass die Menge aller Mengen (auch Universum genannt) nicht existiert. Zum Beweis führen wir zunächst die Russelmenge ein: Für jede Menge M sei die Russelmenge  . Mit dieser Definition folgt für alle Mengen M, dass   ist, denn wäre  , so wäre   als festes Element entweder Element von   oder nicht. In beiden Fällen würde gelten:  . Da dies ein Widerspruch ist, ist offenbar  . Wäre nun U die Menge aller Mengen, so wäre, wie eben gezeigt,  . Da aber U die Menge aller Mengen ist, ist dies ein Widerspruch.