Die Sprache der Mathematik: Gruppen

EinleitungBearbeiten

Um eine Gruppe formal einführen zu können, fehlt noch die Definition einer Verknüpfung.

Sei M eine Menge. Unter einer Verknüpfung   auf einer Menge M versteht man eine Abbildung  ,  .

Einfaches Beispiel einer Verknüpfung auf z.B. den ganzen Zahlen ist die übliche Addition oder Multiplikation.

Gruppe: DefinitionBearbeiten

Eine nicht-leere Menge   zusammen mit einer Verknüpfung  , kurz: ( ), nennt sich Gruppe, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

  1.  
  2. Für alle   gilt:   (Abgeschlossenheit)
  3. Für alle   gilt:   (Die Verknüpfung ist assoziativ)
  4. Es gibt ein Element  , so daß für alle   gilt:   (Existenz eines neutralen Elements)
  5. Für alle   gibt es ein  , so daß gilt:   (Existenz eines inversen Elements/Inversen)

Gilt außerdem:

Für alle   gilt:   (Kommutativität),

so nennt sich die Gruppe ( ) abelsch oder kommutativ.

BeispieleBearbeiten

  1.  : Die ganzen Zahlen zusammen mit der üblichen Addition bilden eine abelsche Gruppe. (das neutrale Element ist die 0 und das Inverse zu einer Zahl m ist -m)
  2.  : Die reellen Zahlen mit üblicher Addition sind ebenfalls eine abelsche Gruppe.
  3.  , die reellen Zahlen ohne Null mit üblicher Multiplikation sind eine abelsche Gruppe.(neutrales Element ist die 1, Inverses zu einem Element   ist  ).
  4.   ist keine Gruppe, da die Existenz eines Inversen nicht gegeben ist.(z.B.hat 2 kein Inverses, da -2 nicht mehr zu den natürlichen Zahlen gehört)
  5.   ist keine Gruppe, da es nicht für alle ganzen Zahlen Inverse gibt.
  6.  : Die Menge der bijektiven Funktionen von   nach   zusammen mit der Hintereinanderausführung ist eine Gruppe, aber nicht abelsch.