Datei:SVG SternSpitzenwinkel01.svg

mit zwei Radien und mit bekanntem Spitzenwinkel:

Ist n die Anzahl der Strahlen größer als 0, so ist (in Einheiten einer vollen Drehung) der Winkel zwischen zwei Strahlen w= 1/n (in der Abbildung Strahlenwinkel genannt).

Sei R der Radius eines Strahls und r der Radius mittig zwischen zwei Strahlen.

Sei s der gegebene Spitzenwinkel größer als 0, so ergibt sich, falls s+w keine ganze Zahl ist:

r/R = sin(πs)/sin(π(s+w))

Ist s+w eine ganze Zahl, so handelt es sich nicht um einen Typ von Stern, der sinnvoll durch eine endlich große Figur beschrieben werden kann.

Zu erkennen ist dabei, daß bei besonderen Spitzenwinkeln r größer als R werden kann, Außen- und Innenspitze tauschen dabei also die Rollen.

Ist sin(πs) = sin(π(s+w)), ergibt sich offenbar r=R, also ein reguläres Polygon mit 2n Ecken.

Spezielle Untertypen dieser Sternfamilie mit zwei Radien werden oft auf Flaggen oder in der Heraldik verwendet. Dies ist die äußere Umrandung eines nicht konvexen, regulären Polygons, etwa eines Pentagrammes. Solch ein nicht konvexes, reguläres Polygon wird durch eine weitere Zahl bestimmt. Während bei einem konvexen regulären Polygon jeweils mit der nächsten Ecke verbunden wird, wird bei diesem nicht konvexen Typ eine der nächsten Ecken verwendet, die zweite Zahl d gibt dann an, zur wievielte Ecke gesprungen werden soll. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit soll hier d kleiner oder gleich n/2 betrachtet werden, bei größeren gibt es allenfalls eine Umkehrung der Drehrichtung bei der Erzeugung des Polygons, kein neues Polygon (und die folgende Formel ist sinngemäß anzupassen).

Jedenfalls ergibt sich der Spitzenwinkel dieses speziellen Untertyps dann zu: s=(1-2d/n)/2.

Dies schließt übrigens auch die Umrandung ähnlicher Sterne ein, zu denen der Davidsstern gehört, diese Sterne bestehen dann anders als die nicht konvexen regulären Polygone aus mehreren Unterpfaden, haben aber eine ähnliche Erscheinung..