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Collatzfolgen und Schachbrett: Zahlenfolgen in anderen Zahlensystemen


4. Zahlenfolgen in anderen Zahlensystemen



4. Zahlenfolgen in anderen Zahlensystemen

4.1 Bemerkungen zum Dezimalsystem
4.2 Dual- oder Zweiersystem
4.3 Dreiersystem


4.1 Bemerkungen zum Dezimalsystem

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Im täglichen Leben verwenden wir das Dezimalsystem mit folgenden Eigenschaften:

  • Es gibt die zehn Ziffern von 0 bis 9.
  • Von rechts nach links steigt der Stellenwert der einzelnen Ziffern, beginnend mit 1, jeweils um den Faktor 10.
  • Eine Multiplikation einer Zahl mit 10 oder einer anderen Zehnerpotenz bedeutet das Anhängen von einer oder mehreren Nullen an diese Zahl.
Beispiel: 3245
Die 5 hat den Stellenwert 1 und den Wert 5.
Die 4 hat den Stellenwert 10 und den Wert 40.
Die 2 hat den Stellenwert 100 und den Wert 200.
Die 3 hat den Stellenwert 1000 und den Wert 3000.
Insgesamt hat die Zahl also den Wert 3000 + 200 + 40 + 5 = 3245.
  • Eine Division einer Zahl durch 10 oder durch eine andere Zehnerpotenz bedeutet das Abschneiden von einer oder mehreren Nullen am rechten Ende dieser Zahl.
Beispiel: 3245000
Dividiert man die Zahl durch 10, so erhält man 324500.
Dividiert man die Zahl durch 100, so erhält man 32450.
Dividiert man die Zahl durch 1000, so erhält man 3245.
  • Eine Zahl ist durch 3 bzw. durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 bzw. durch 9 teilbar ist.

4.2 Dual- oder Zweiersystem

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Im Zweiersystem haben wir folgende Eigenschaften:

  • Es gibt nur die Ziffern 0 und 1
  • Von rechts nach links steigt der Stellenwert der einzelnen Ziffern, beginnend mit 1, jeweils um den Faktor 2.
Beispiel: 11001
Die rechte 1 hat den Stellenwert 1 und den Wert 1.
Die folgende 0 hat den Stellenwert 2 und den Wert 0.
Die zweite 0 hat den Stellenwert 4 und den Wert 0.
Die folgende 1 hat den Stellenwert 8 und den Wert 8.
Die linke 1 hat den Stellenwert 16 und den Wert 16.
Insgesamt hat die Zahl also (in dezimaler Schreibweise) den Wert 16 + 8 + 1 = 25.
  • Die Multiplikation einer Zahl mit 2, 4 oder einer anderen Zweierpotenz bedeutet das Anhängen von einer, zwei oder mehren Nullen an die Zahl.
Multipliziert man die Zahl 11001 mit 2, so erhält man 110010.
Multipliziert man die Zahl 11001 mit 4, so erhält man 1100100 usw.
  • Da eine Zahl mit einer 1 an der letzten Stelle nicht durch zwei zu teilen ist („Abschneiden“ einer 0 – Umkehrung der Multiplikation), muss sie also ungerade sein.


Eine Multiplikation mit 3 muss im Zweiersystem also folgendermaßen erfolgen: z · 3 = z · (2 + 1) = z · 2 + z

Rechenbeispiel für z = 1101 

 1101·10 (z·3)
=  11010 (2z)
+   1101 (+z)
= 100111 (3z)

Addiert man hierzu noch 1, so erhält man 101000. Diese beiden Teilschritte sind für einen M-Schritt notwendig. Außerdem erkennt man sofort, dass man drei D-Schritte anschließen kann, da die Zahl drei endständige Nullen enthält.

4.3 Dreiersystem

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Im Dreiersystem haben wir folgende Eigenschaften:

  • Es gibt nur die Ziffern 0, 1 und 2.
  • Von rechts nach links steigt der Stellenwert der einzelnen Ziffern, beginnend mit 1, jeweils um den Faktor 3.
Beispiel: 1021
Die rechte 1 hat den Stellenwert 1 und den Wert 1.
Die folgende 2 hat den Stellenwert 3 und den Wert 6.
Die 0 hat den Stellenwert 9 und den Wert 0.
Die linke 1 hat den Stellenwert 27 und den Wert 27.
Insgesamt hat die Zahl also (in dezimaler Schreibweise) den Wert 27 + 6 + 1 = 34.
  • Multipliziert man die Zahl 1021 mit 3, so erhält man 10210 (eine Null angehängt).
    Multipliziert man die Zahl 1021 mit 9, so erhält man 102100 (zwei Nullen angehängt), usw.


Frage 1: Wie erkennt man, ob eine solche Zahl im Dreiersystem durch 2 teilbar ist?

Frage 2: Wie teilt man im Dreiersystem eine Zahl durch zwei?

(Antworten siehe Anhang)


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