Collatzfolgen und Schachbrett: Das 'Collatz-Schachbrett'

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6. Das Collatz-Spiel auf dem Collatzbrett

6. Das Collatz-Spiel auf dem Collatzbrett 6.1 Voraussetzungen 6.2 Startbedingungen 6.3 Die Umwandlungsregeln(UR's - "Hilfsregeln") 6.4 Collatz-Regeln ( die eigentlichen „Spielregeln“)

6.1 Voraussetzungen

Als Grundlage für das „Spiel“ benötigt man ein Schachbrett, ein Damebrett oder ein ähnlich strukturiertes „Spielfeld“ sowie eine Reihe von Damesteinen. Die Farbe der Steine oder Felder ist dabei von untergeordneter Bedeutung. Ebenso kann die Seitenlänge des „Spielfeldes“ acht Felder überschreiten. Kleiner als acht Felder sollte die Kantenlänge jedoch sinnvollerweise nicht sein.

6.2 Startbedingungen

Für die Startstellung gibt es zwei Möglichkeiten:

Man wählt eine beliebige Zahl von Steinen und verteilt sie willkürlich auf dem „Spielbrett“.

Man wählt eine (ungerade) Zahl und zerlegt sie in eine Summe von echten Januszahlen und 1 bzw. schreibt sie als Dualzahl bzw. (nicht empfehlenswert, aber möglich) als „Dreierzahl“. Die den einzelnen Summanden entsprechenden Steine werden nun auf dem „Spielfeld“ gesetzt.

6.3 Die Umwandlungsregeln (UR's - "Hilfsregeln")

Nach jedem Zug entsprechend den Collatz-Regeln (CR) s.u. ist zu prüfen, ob eine oder mehrere der folgenden Umwandlungsregeln (UR) ausführbar ist. Ist dies der Fall, so sind vorrangig diese UR’s auszuführen, solange bis keine UR mehr greift. Erst danach kann mit einer CR das „Spiel“ fortgesetzt werden.

UR 1: Liegen auf einem Feld zwei oder mehr Steine, so sind jeweils zwei von ihnen nach folgendem Schema durch einen Stein zu ersetzen:

Vorher	Nachher
Abb.1  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12+12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	Abb.2  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

UR 2: Liegen zwei Steine nebeneinander auf benachbarten Feldern, so sind sie immer nach folgendem Schema durch einen Stein zu ersetzen.

Vorher	Nachher
Abb.3  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	Abb.4  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

UR 3: Liegen zwei Steine übereinander auf benachbarten Feldern – aber kein Stein im blauen oder roten Bereich, so sind sie immer nach folgendem Schema durch einen Stein zu ersetzen.

Vorher	Nachher
Abb.5  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	Abb.6  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

UR 4: Liegt ein Stein auf einem blauen Feld, so ist er nach folgendem Schema durch zwei Steine zu ersetzen:

Vorher	Nachher
Abb.7  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4	Abb.8  4  16 48 144 432 1296  3  8 24 72 216 648  2  4 12 36 108 324  1  2 6 18 54 162  0  1 3 9 27 81   0 1 2 3 4

(!! Diese UR's sind u.U. mehrfach anzuwenden !!)

6.4 Collatz-Regeln (die eigentlichen „Spielregeln“)

CR 1: Liegen alle Steine bis auf einen im gelben oder weißen Bereich und dieser auf dem roten Feld, so werden alle Steine um ein Feld nach rechts verschoben. Außerdem wird ein neuer Stein auf das rote Feld gelegt (M-Schritt).

CR 2: Liegen alle Steine im gelben oder weißen Bereich, so werden sie alle gemeinsam solange nach unten verschoben, bis der erste Stein die unterste Reihe (rotes oder blaues Feld) erreicht (ein oder mehrere D-Schritte).

CR 3: Liegt der letzte vorhandene Stein auf dem roten Feld, so ist das Spiel beendet und die zugehörige Folge ist bei '1' angekommen und somit eine Collatz-Folge.

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